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核按钮高中数学 课时导学练必修一

青于蓝考试研究院编

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青于蓝考试研究院编

图书在版编目(CIP)数据

核按钮高中数学课时导学练：必修一／青于蓝考试研究院编.一广州：广东经济出版社，2022.7(2025.5重印)ISBN978-7-5454-8399-4

1 ① 核…Ⅱ . { ① } 青…Ⅲ ① 中学数学课-高中-教学参考资料V ① G634

中国版本图书馆CIP数据核字(2022)第112743号

责任编辑：谢善德责任校对：黄奕瑕责任技编：陆俊帆封面设计：青于蓝创意

核按钮高中数学课时导学练：必修一 HEANNIUGAOZHONGSHUXUEKESHIDAOXUELIANBIXIUYI

出版人：刘卫平
出版发行：广东经济出版社(广州市水荫路11号11\~12楼)
印刷：京山德兴印刷有限公司(京山经济开发区人民大道一中西路)

开 本：890毫米 x 1 2 4 0 毫米 1/16 印 张：25.75版 次：2022年7月第1版 印 次：2025年5月第3次书 号：ISBN978-7-5454-8399-4 字数:812千字定 价：99.80元

发行电话：（020)87393830
如发现印装质量问题，请与本社联系，本社负责调换。版权所有·翻印必究

前言 Preface

高中数学教材，以发展学生核心素养为宗旨，注重整体性，突出四条主线，体现内容有机融合，强调自主探究和学以致用.教材的理念新、亮点多、变化大，为了帮助师生用好教材，提升教学质量，促进学生全面发展，我们在细致研究新课程新教材的基础上，组织名师编写了本书.

本书具有以下特点：

一是立足课标与教材.全书依照《普通高中数学课程标准（2017年版2020 年修订)》中规定的课程性质、基本理念、核心素养、课程目标、课程结构、课程内容等要求精心打造，紧扣教材与教参，对高中阶段的数学知识进行了全面而系统的梳理.对于抽象性强、内涵丰富和易错易混的知识点，本书除了进行深入浅出的解读外，还创设了问题情境，让学生探究概念的内涵与外延，使学生知其然且知其所以然.对于散落教材或教参的知识点，本书通过例题、习题、思考、探究、拓展等栏目也一并做了梳理总结，以帮助学生建立完整的知识体系，提高解题能力.在题目的编排上，本书还选编了大量广受一线教师青睐的教材题的类题，这些类题紧扣核心知识和关键能力，是传授方法、高效训练的不二之选.

二是设计科学分层合理.在课堂教学上，本书不仅精心设计了各课时的内容，还编排了旨在针对教学重难点的提升专题.在课后训练上，本书不仅分三层设计作业，还安排了专题强化练.在评价反馈上，本书不仅设计了章末整合，还设计了滚动训练、章末检测，以及旨在评价全书学习效果的综合检测.这样的编排设计，使得本书形成了一个完备且高效的学习系统，这既夯实了学生的共同基础，也满足了教师差异化教学的需要.

三是加强教考衔接.高考考查的重难点内容一般也都是教学的重难点，所以我们在书中设计了相应的微专题，方便师生对这些内容进行有针对性的突破.在习题编排上，本书选编了大量高考真题，这些真题都经过高考命题专家的精心设计，是巩固强化训练、把准高考方向、提升实战经验的宝贵资源.此外，我们还根据高考命题特点，精心设计了“教考衔接"栏目，联系教材与高考，探寻真题源头，探索命题规律，拓宽学生视野.

四是强化探究意识渗透.新课程强调自主探究，故本书设计了“合作探究"栏目，帮助教师和学生以探究点为抓手共研共探.基于国家创新人才选拔的需要，本书加强了对创新探究问题的考查，在课后作业中设计了素养拓展类试题，在章末整合中设计了创新探究类试题.这些题目立意深远，设计新颖，考法灵活，思维开放，是培养学生思维能力和创新意识、提升学生迁移应用和自主探究能力的重要载体.当然，这些题目中不乏有一定难度的题目，需要教师因材施教，灵活安排.

五是精益求精细致入微.在内容编排上，全书既关注知识的内在逻辑性，也关注核心素养发展的连续性与阶段性，循序渐进，螺旋上升.在难度调控上，全书按照最新的数学试题难度理论，结合教材课后习题的分层标准，精准调控各类型试题、练习的难度与梯度.在知识融合上，全书根据知识发生、发展的不同阶段，谨慎布设交汇融合题型，坚决杜绝超标内容与偏难怪题.在问题情境上，全书创设了更加真实的问题情境，尽可能地贴近学生生活和学习的实际，让学生切实体会到学有所用、学有所获.在题目答案上，全书所有习题均配备了详细的答案解析，这些答案既坚持通性通法，又尽可能一题多解、巧解，这对拓宽学生的解题思路大有裨益.

愿本书能成为你学习路上的好朋友.

编者

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念 1
1.2 集合间的基本关系 4
1.3 集合的基本运算 7
第1课时 并集、交集 7
教考衔接点集 10
第2课时 补集及集合的综合应用 10

1.4充分条件与必要条件 13

1.4.1 充分条件与必要条件 13
1.4.2 充要条件 15
1.5全称量词与存在量词 17
章末整合(一) 20

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质 22

第1课时 不等关系与比较大小 22
第2课时 不等式的性质 24

2.2 基本不等式 26

第1课时基本不等式第2课时基本不等式的应用教考衔接求双变量的取值范围

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 3
第 1 课时一元二次不等式的解法 3
第2课时一元二次不等式的应用 3

微专题一不等式恒成立、能成立问题

章末整合(二) 36

第三章 函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示 39

3.1.1 函数的概念 39
第 1 课时 函数的概念 39
第2课时 函数概念的应用 42

3.1.2 函数的表示法 44

第 1 课时 函数的表示法 44
第2课时 分段函数 46
教考衔接 最值函数问题 48

微专题二函数的值域 49

3.2 函数的基本性质 50

3.2.1单调性与最大(小)值 50
第 1 课时 函数的单调性 50
第2课时 函数单调性的应用 52
第3课时 函数的最大(小)值 53

微专题三 二次函数的最值 55

3.2.2 奇偶性 57
第 1 课时 奇偶性的概念 57
第2课时 奇偶性的应用 60

3.3 幂函数 61

教考衔接 函数 f ( x ) = a x + { / { b } { x } } 的图象 与性质

3.4 函数的应用(一)

章末整合(三) 68

第四章 指数函数与对数函数

4.1指数 71
4.1.1 n 次方根与分数指数幂 71
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 73

4.2指数函数 75

4.2.1 指数函数的概念 75
4.2.2 指数函数的图象和性质 77
微专题四指数型复合函数 80

教考衔接双曲函数的图象与性质 81

4.3对数 81

4.3.1 对数的概念 81
4.3.2 对数的运算 84
第1课时 对数的运算性质 84
第2课时 换底公式 86

4.4对数函数 89

4.4.1 对数函数的概念 89
4.4.2 对数函数的图象和性质 90
教考衔接比较对数式的大小 93
微专题五对数型复合函数 94

教考衔接 函数 _ { y = \log _ { a } { / { 1 + x } { 1 - x } } } 的图象与性质95

4.4.3 不同函数增长的差异 95

4.5 函数的应用(二) 98

4.5.1 函数的零点与方程的解 98教考衔接 一元二次方程根的分布问题100

4.5.2 用二分法求方程的近似解 101

4.5.3 函数模型的应用 102
微专题六 函数图象的变换 105
微专题七 函数图象的应用 107
章末整合(四) 108

数学建模建立函数模型解决实际问题110

第五章 三角函数

5.1 任意角和弧度制 112
5.1.1 任意角 112
5.1.2 弧度制 114
5.2 三角函数的概念 116
5.2.1 三角函数的概念 116
5.2.2 同角三角函数的基本关系 119
5.3 诱导公式 121
第1课时 诱导公式二、三、四 121
第2课时 诱导公式五、六 123

5.4三角函数的图象与性质 125

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 125
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 127
第1课时周期性与奇偶性 127
第2课时 单调性与最值 130
第3课时三角函数性质的综合应用 133

教考衔接 含绝对值的三角函数的图象与性质

5.4.3 正切函数的性质与图象 135
微专题八 函数的周期性与对称性 137
微专题九 1 周期性、对称性与单调性的综合问题139

5.5 三角恒等变换 140

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切

公式 140
第1课时 两角差的余弦公式 140
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式 142
第3课时 两角和与差的正切公式 144
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 146

5.5.2 简单的三角恒等变换 147

5.6 函数 \scriptstyle y = A \sin ( \omega x + \varphi ) 150第1课时 函数 \scriptstyle y = A \sin ( \omega x + \varphi ) 的图象 150第2课时 函数 \scriptstyle y = A \sin ( \omega x + \varphi ) 的性质及其应用 153

5.7三角函数的应用 155

微专题十 三角函数中的最值问题 159
章末整合(五) 160

第三章 函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示

3.1.1 函数的概念

第1课时 函数的概念

学习目标

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素.

2.重点提升直观想象、数学运算、数学抽象、数学建模素养.

知识梳理

1.函数的概念

一般地，设 A , B 是 的实数集，如果对于集合 A 中的一个数 x ,按照某种确定的对应关系 f ,在集合 B 中都有确定的数 y 和它对应，那么就称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 .其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 \{ f ( x ) | x \in A \} 叫做函数的

显然，值域是集合 B 的

2.函数的三要素

【解读】函数概念的理解.

① 初中对函数的定义是从运动变化的观点出发，高中是从集合的观点出发，表述方式有所不同，但本质是一致的.
{ 2 } ^ { \ast } y = f ( x ) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y = g \left( x \right) ”“ y = h (x)""y=F ( x ) ”等都可以.
{ 3 } A , B 是非空的实数集，一方面强调了 A ,B 只能是实数集，即 A ， B 中的元素只能是实数，另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说，定义域为空集的函数是不存在的.

④ 函数的定义域是 A ，值域是集合 B 的子集.

【思考】 ① 函数符号“ \scriptstyle * _ { y } = f ( \boldsymbol { x } ) ”中的 f ( x ) 是f 乘 x 吗？② 如何理解函数定义中的“三性”？

3.区间及有关概念

(1)一般区间的表示.设 \mathbf { \boldsymbol { a } } , \mathbf { \boldsymbol { b } } \in \mathbf { \mathbf { R } } ，且 a < b ，规定如下：

(2)特殊区间的表示.

【解读 ① 区间实质上是一类特殊数集的符号表示，区间是集合；另外区间中的元素都是实数，并且必有无限多个.形式上，注意区间 \scriptstyle ( a , b ) 与点 \scriptstyle ( a , b ) 的区别.

② 对于只有一个元素的集合，我们仍然用集合来表示，如{2}，而不能写为[2，2]；对于用区间或集合均可表示的情形，一般首先考虑与原题保持一致，在原题没有明确要求的情况下，?？悸鞘褂酶虮慊蚋肮叩谋硎痉椒?

【思考 \boldsymbol { { l } } ( 3 ) 区间 [ a , b ] 的左、右端点的大小关系是怎样的？
④ “”是一个数吗？［ ∞ ，-2],[2,+]的写法是否正确？

合作探究

探究点一 函数的概念

典例①（1)下列图形中，可以为函数图象的是（ ）

(2)判断下列对应关系是否为从集合 A 到集合B 的函数.若是函数，写出定义域和值域

图1

图2

图3

图4

【点睛】 ① 判断一个图象是否为函数图象，只需看图象与任意平行于 _ y 轴（或 _ y 轴)的直线是否最多只有一个交点，若是，则为函数图象.
② 判断一个对应关系是否能确定 _ y 是 x 的函数，须满足自变量 x 在定义域内任取一个值，对应 y 的取值必须唯一，即“取元任意，取值唯一”

探究点二 函数的三要素

典例②(1)已知函数 y = f \left( x \right) 的图象如下图所示，则该函数的定义域为 ，值域为

变式1 判断下列对应关系中 y 是否为 x 的函数：
( 1 ) y = / { 2 } { x } , x \in \left\{ x \left| x \neq 0 \right. \right\} , y \in \mathbf { R } ;
( 2 ) { y } ^ { 2 } = { x } , { x } \in \mathbf { N } , { y } \in \mathbf { R } ; （204号

(2)下表表示 y 是 x 的函数，则函数的值域是（ ）

{ A } . \{ y | - 1 { <=slant } y { <=slant } 1 \} B.R{ C } _ { \bullet } \{ { y } | 2 { <=slant } y { <=slant } 3 \} D.{-1,0,1}笔记：

【点晴】函数的三要素的理解.

① 函数的定义域即集合 A ，在坐标系中是横坐标 x 的取值范围.② 函数的值域不一定是集合 B ，是函数值的集合 \{ f ( x ) | x \in \vert A ? ，在坐标系中是纵坐标 y 的取值范围.
③ 函数的对应关系 f 反映了自变量 x 的运算、对应法则，通过这种运算，得到唯一的函数值 y

变式②(1)若函数 y = f ( x ) 的定义域 M = \{ x \mid - 2 <=slant \scriptstyle x <=slant 2 \} ，值域 N = \{ y \vert 0 { <=slant } y { <=slant } 2 \} ，则函数 y = f ( x ) 的图象可能是 （ ）

(2)已知函数 f ( x ) , g ( x ) 与 x 的对应关系如下表：

则 f \ ( \boldsymbol { \ g } \ ( \ 1 \ ) ) = \_ ；满足 f { ~ ( ~ g ~ ( ~ } x { ~ ) ~ ) ~ } > g ( f ( x ) ) 的 x 的值是

探究点三 构建问题情境

典例③ 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它反映了两个量之间的对应关系，可以广泛地刻画一类事物中的变量关系和规律.

(1)试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 \scriptstyle y = { / { 4 x - x ^ { 2 } } { 2 } } 描述；

(2)求第(1)问中函数的最大值，并解释其实际意义

【点睛】构建问题情境的步骤如下.
① 综合考虑构建具体的实际问题.
② 赋予每个变量具体的实际意义.
③ 根据变量关系，设计出所求的实际问题，注意定义域.

变式③构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 y = / { a } { x } ( a > 0 ) 来描述.

探究点四 用区间表示数集

典例把下列数集用区间表示：

(1) \{ x \vert x > 0 \} ： （204号 ( 2 ) \{ x | x { <=slant } { - } 1 \} (3) \{ x \mid - 2 < x < 2 \} ； ( 4 ) \{ x | x >=slant - 1 ，且 \nmathop { x \ne 0 } ? ·( 5 ) \{ x \ : | \ : 0 { < } x { <=slant } 1 ，或 \scriptstyle 2 <=slant x <=slant 3 \} ：

【点睛】用区间表示数集的方法如下.

① 区间左端点值小于右端点值.
② 区间两端点之间用“，”隔开.
③ 含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
④ 以“一0”“十0”为区间的一端时，这一端必须用小括号.

变式4（1）集合 \{ x \vert x { < } sqrt { 2 } \} 用区间表示为(2)集合 bf { R } 用区间表示为(3)集合 \{ x \mid x < 9 \} \cup \{ x \mid 9 < x < 2 0 \} 用区间表示为(4)已知区间 ( a + 1 , 2 ] ,则实数 a 的取值范围为

随堂检测

1.下面图象中，不能表示函数的图象的是 （

2.集合 \{ x \vert x > 0 \} 且 \scriptstyle x \neq 2 \} 用区间表示为 （

A.(0,2) { B } _ { \bullet } ( 0 , + ∞ ) （20
{ C } _ { * } ( 0 , 2 ) \bigcup ( 2 , + ∞ ) （20 { D } . ( 2 , + ∞ )

3.观察下表，得 f ( f ( - 1 ) - g ( 3 ) ) =

A.-4 B.-3 C.3 D.5

4.已知矩形的周长为定值 a ，设它的一条边长为 x ，则关于矩形面积的函数 S { = } f ( x ) 的定义域为（）

{ A } . ( 0 , + ∞ ) （204号 \operatorname { B } . ( 0 , a ) （204号{ C . } [ 0 , + ∞ ) { D } . \big ( 0 , / { a } { 2 } \big )

第2课时 函数概念的应用

学习目标

1.能求简单函数的定义域，
2.重点提升直观想象、数学运算、数学抽象素养.

知识梳理

1.定义域

函数的定义域就是自变量 x 的取值范围.

2.值域

对于定义域 A 内的函数 y = f ( x ) ，其值域就是指集合 \{ \boldsymbol { y } 一y = f ( x ) , x \in A \} .

3.同一个函数

函数的三要素为： 和.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.

4.常见函数的定义域与值域

【解读】有时函数的定义域可以省略不写，如果未特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数 x 的集合.在实际中必须考虑自变量 x 所代表的具体量的取值范围.如函数 y = { / { 1 } { x } } 的定义域为 \{ x \in \mathbf { R } | \boldsymbol { x } \ne 0 \} .圆面积 s 与圆半径 \boldsymbol { r } 间的函数关系为 S { = } _ { π r ^ { 2 } } ，其定义域为 \{ r | r > 0 \} ：

【解读】表示的字母不同，但对应关系和定义域相同的函数是同一个函数.“同一个函数”也可以用“两个函数相等”来描述.

【思考】以下三个函数 u = t ^ { 2 } t \in ( - ∞ , + ∞ ) x = y ^ { 2 } . y \in ( - ∞ , + ∞ ) 与 y = x ^ { 2 } ， x \in ( - ∞ , + ∞ ) 是同一个函数吗？为什么？

【解读】用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数 x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在 x 轴上的投影对应的实数集合；用解析法表示的函数的定义域，实质是解不等式(组)，即把需要满足的条件转化为解不等式（组）的问题，必须把满足条件的不等式列全.

合作探究

探究点一 函数的定义域与求值问题

典例① 已知函数 f ( x ) = sqrt { x + 3 } + / { 1 } { x - 2 } . （204号

(1)求 f ( x ) 的定义域;
(2)求 f ( 1 ) 的值;
(3)当 a { > } 2 时，分别求 f ( a ) , f ( a + 1 ) 的值.

【点晴】函数有意义的准则如下.

① 整式的定义域为R.
② 分式的分母不为0.
③ 偶次根式的被开方数非负.
{ { 4 } } y = x ^ { 0 } 要求 x { \neq } 0
另外，当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式.

变式① 已知 f ( x ) { = } / { sqrt { x + 7 } } { 3 { - } x } , g ( x ) { = } x ^ { 2 } { + } 2 .

(1)求 f ( x ) 的定义域;
(2)求 f ( 2 ) 的值；
(3)求 f ( g ( 3 ) 的值.

探究点二 同一个函数的判断

典例② f ( x ) 与 g ( x ) 表示同一个函数的是（{ A } . f ( x ) = x ^ { 2 } , g ( x ) = sqrt { x ^ { 2 } } { B } . f ( x ) = 1 , g ( x ) = ( x - 1 ) ^ { \circ } { C } . f ( x ) = / { x ^ { 2 } - 9 } { x + 3 } , g ( x ) = x - 3 { D } . f ( x ) { = } / { ( sqrt { x } ) ^ { 2 } } { x } , g ( x ) { = } / { x } { ( sqrt { x } ) ^ { 2 } } 笔记：

【点睛】只有当两个函数的定义域、值域和对应关系都相同时，两个函数才表示同一函数.由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以只要定义域及对应关系相同，两函数即表示同一函数.表示的字母不同，但对应关系和定义域相同的函数是同一个函数.

变式②【多选题】下列各组函数中表示同一函数的是 （）

探究点三 抽象函数的定义域

典例③(1)已知函数 \scriptstyle y = f ( x ) 的定义域为[-1,5]，则函数 y = f ( 2 x ^ { 2 } - 1 ) 的定义域为 （ ）

A.[0,3] B.[-3,3]{ C . } [ - sqrt { 3 } , sqrt { 3 } ] D.[-3,0](2)已知函数 y = f ( 2 x + 1 ) 的定义域为[3,5]，则 \scriptstyle y = f ( x ) 的定义域为

(3)已知 f \left( x ^ { 2 } - 1 \right) 的定义域为[1，3]，则 f ( 2 x - 1 ) 的定义域为

笔记：

【点睛】两类抽象函数的定义域的求法如下.

① 已知 f ( x ) 的定义域，求 f ( g ( x ) ) 的定义域：若 f ( x ) 的定义域为 [ a , b ] ，则 f ( g ( x ) ) 中 a <=slant g \left( x \right) <=slant b ，从中解得 x 的取值范围即为 f ( g ( x ) 的定义域.② 已知 f \left( g \left( x \right) \right) 的定义域，求 f \left( x \right) 的定义域：若f ( g ( x ) ) 的定义域为 [ a , b ] ，即 a { <=slant } x { <=slant } b ，求得 g \left( x \right) 的取值范围， g \left( x \right) 的值域即为 f \left( x \right) 的定义域.对于已知f ( g ( x ) ) 的定义域，求 f ( h \left( x \right) ) 定义域的情形，由上可知，先求 f ( x ) 的定义域，再求 f ( h ( x ) ) 的定义域.

变式③已知函数 f ( 2 x - 1 ) 的定义域为 \{ x \vert 0 { < } x { < } 1 \} ，则函数 * { / { f ( x - 1 ) } { x ^ { 2 } - 1 } } 的定义域为 （ ）

A.(0,1) B.(1,2) C.(0,1)U(1,2) D.(-8,-1)U(-1,1)

随堂检测

1.函数 _ { y = / { 1 } { x - x ^ { 0 } } } 的定义域为

{ A } _ { \bullet } \{ x \in \mathbf { R } | x \neq 0 \} { B } . \{ x \in \mathbf { R } | x \neq 1 \} { C } _ { \bullet } \{ { x \in \mathbf { R } \vert x { \neq } - 1 } \} D. \{ x \in \mathbf { R } | x \neq 0 ，且 \scriptstyle x \neq 1 \} （204号

2.若函数 f ( x ) 的定义域为[1，5]，则函数 f ( x ^ { 2 } +
1)的定义域为 （ ）

A.[-2,2] B.[0,26] C.[2,26] D.[0,2]

3.【多选题】下列函数中，与 y = x 是同一个函数的是

4.已知函数 f ( x ) { = } 3 x { - } 2 则 f { \big ( } f { \big ( } { / { 7 } { 9 } } { \big ) } { \big ) } = . （2042

3.1.2 函数的表示法

第1课时 函数的表示法

学习目标

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.

2.重点提升数学抽象、数学建模素养.

知识梳理

^ { 1 . } 函数的三种表示法

^ { \ast } 2 . 几个常用概念

(1)解析式：也称解析表达式，即表示自变量、常量与运算符号的组合，其中的运算符号至多有可数个.除了算术运算、代数运算外，还可以是复合、求极限、求导、求积分等，这些运算统称为解析运算，故有解析式这个名称.

(2)函数的图象：函数的自变量与因变量之间关系的几何表示.若f ( x ) 是以 D 为定义域的函数，则集合 \{ ( x , f ( x ) ) | x \in D \} 称为 f ( x ) 的图象.

(3)抽象函数：没有给出具体解析式的一类函数.

【解读】函数三种表示法的优缺点，

合作探究

探究点一 函数的表示法

典例①某超市新进了6个玩具，每个售价3元，试求售出个数 x （ \boldsymbol { x } \in \mathbf { N } ^ { * } ）与收款数 y （单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.

【点睛】列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在应用这三种方法表示函数时要注意如下问题.
① 解析法必须注明函数的定义域.
② 列表法要求选取的自变量具有代表性，能反映定义域的特征.
③ 图象法必须清楚是否需要连线.

变式①以下形式中，不能表示“ _ y 是 x 的函数"的是（ ）

{ C } _ { * , y } = _ { x ^ { 2 } } { D } . x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1

探究点二 函数的图象及应用

典例②作出下列函数的图象，并求其值域：( 1 ) _ { } y = 1 - _ { } x ( \boldsymbol { x } \in \mathbf { Z } ) ; ( 2 ) _ { } y = 2 x ^ { 2 } - 4 x ^ { - } 3 ( 0 <=slant \boldsymbol { x } < 3 ) .

【点睛】作函数图象的步骤及需要注意的问题如下.

① 作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数的解析式，最后画出图象.
② 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.

变式②函数 y = { / { 1 } { x } } 的图象分别与函数 s = / { 1 } { x - 1 } x-1，函数s = / { 1 } { x + 1 } x+1函数y=1+的图象有何关系？

探究点三 求函数的解析式

典例③(1)已知 f ( x ) 是一次函数，且 f ( f ( x ) ) = 1 6 x - 2 5 ，则 f ( x ) 的解析式为

(2)已知函数 f \left( x + 1 \right) = x ^ { 2 } - 2 x ，则 f \left( x \right) = (3)已知函数 f ( { sqrt { x } } + 1 ) = x + 2 { sqrt { x } } ，则 f ( x ) 的 解析式为

(4)若函数 f ( x ) 满足方程 2 f ( x ) + f \bigl ( / { 1 } { x } \bigr ) = 2 x 则 f ( x ) 的解析式为

笔记：

【点晴】求函数解析式的常见类型及方法如下.

① 换元法及配凑法.已知 f ( g ( x ) ) { = } h \left( x \right) ，求 f ( x ) _ { * } ( \mathfrak { i } ) 换元法：令 \scriptstyle t = g ( x ) ，解出 \scriptstyle { { x } } = _ { \varphi } ( t ) ，代入 h \left( x \right) 中，得到一个含\mathbf { \chi } _ { t } 的解析式，再将 \mathbf { \chi } _ { t } 换成 x ，即得到 f ( x ) 的函数解析式.注意换元后新元的取值范围.(ii)配凑法：从 f ( g ( x ) ) 的解析式中配凑出“ \overset { * } { g } ( \boldsymbol { x } ) ”，即用 g ( x ) 来表示 h \left( x \right) ，然后将解析式中的 g ( x ) 用 x 代替即可.

② 待定系数法.

③ 解方程组法.已知关于 f ( x ) 与 f { \Bigl ( } { / { 1 } { x } } { \Bigr ) } 或 f ( - x ) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f ( x )
求函数的解析式均应考虑函数的定义域，

变式③（1）已知 f ( x ) 是一次函数，且满足 3 f ( x + 1 ) - 2 f ( x - 1 ) = 2 x + 1 7 ，则 f ( x ) = { { . } }

(2)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1)，且过点(2，2),则该二次函数的解析式为 （ ）

(3)已知 f \left( { / { 1 } { x } } \right) = { / { x } { 1 - x ^ { 2 } } } ，则 f \left( x \right) 的解析式为

(4)已知 f ( x ) + 2 f ( - x ) = x ^ { 2 } + 2 x ，则 f \left( x \right) =

随堂检测

1.已知函数 f \left( x \right) 的定义域和值域均为[0，2]，则f ( x ) 的图象可能为 （ ）

2.下表表示 y 是 x 的函数，则该函数的值域是（

A.[2,5] B.N C.(0,20] D.{2,3,4,5}

3.已知 f ( x ) 为一次函数，且 f ( 3 ) = 7 , f ( 5 ) = - 1 ，则f ( 1 ) = （ ）

A.15 B.-15 C.9 D.-9

4.已知函数 f ( x - 1 ) = x ^ { 2 } - 1 ，则 f ( x ) = { { . } }

第2课时 分段函数

学习目标

1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
2.重点提升数学抽象、数学建模素养.

知识梳理

1.分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段函数.

^ { \ast } 2 . 教材中几个常见的分段函数

【解读】分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.

【思考】 ① 如何求分段函数的定义域？② 如何求分段函数的值域？

合作探究

探究点一 分段函数的求值

典例①已知函数 f ( x ) = \left\{ x ^ { + 2 , x <=slant - 1 , } \atop { x ^ { 2 } , - 1 < x < 2 , } \right. （204号 (1)求 f ( - π ) 及 f \bigl ( f \bigl ( / { 3 } { 2 } \bigr ) \bigr ) 的值;

(2)若 f ( a ) { = } / { 1 } { 2 } ，求a的值；

(3)若 f ( a ^ { 2 } + 2 ) { >= } a + 4 ，求实数 a 的取值范围.

(2)求 \varphi ( x ) 的定义域和值域.

【点睛】 ① 分段函数求值，当出现 f ( f ( x _ { 0 } ) ）的形式时，应从内到外依次求值.
② 由分段函数的函数值求对应的自变量，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的取值范围，确定解析式后再求解.
③ 分段函数易被误认为是多个函数，但它其实是一个函数.

变式① 设函数 f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle / { 1 } { 2 } x - 1 , x >=slant 0 , } \\ { \displaystyle / { 1 } { x } , x < 0 . } \end{array} \right. 若 f ( a ) = a ， 则 a = - f ( f ( 0 ) ) = / { \phantom { f ( 0 ) } } { \phantom { f ( 0 ) } } ; 不等式 f ( x ) { <=slant } - { / { 1 } { 2 } } 的解集为

【点晴】作分段函数的图象时，分别作出各段的图象.在作每一段图象时，可先不考虑定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意端点和接点处点的虚实，保证不重不漏.

变式②已知函数 f ( x ) = 1 + / { | x | - x } { 2 } ( - 2 < x <=slant 2 ) .

(1)用分段函数的形式表示 f ( x ) ·(2)画出 \scriptstyle y = f ( x ) 的图象；(3)写出 f ( x ) 的值域.

探究点二 分段函数的图象及应用

典例②已知函数 f ( x ) { = } { - } x ^ { 2 } { + } 2 , g ( x ) { = } x .设函数 \varphi ( x ) { = } \operatorname* { m i n } \left\{ f \left( x \right) , g \left( x \right) \right\} [即 f \left( x \right) 和g ( x ) 中的最小者]

(1)分别用图象法和解析法表示 \varphi ( x ) ：

探究点三 分段函数的实际应用

典例③国家规定个人稿费纳税的办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的 14 % 纳税；超过4000元的按全部稿费的 11 % 纳税，

(1)根据上述规定建立某人所得稿费 x (元)与纳税额 y (元)之间的函数关系式；

(2)某人出了一本书，共纳税660元，则这个人的稿费是多少元？

变式③如下图，在等腰梯形ABCD中， B C / / A D \angle B = 4 5 ^ { \circ } B C = 1 2 , A B = 4 { sqrt { 2 } } ，动点 F 在线段 B C 上运动，过点 F 且垂直于线段 B C 的直线 \mathbf { \xi } _ { l } 将梯形 A B \boldsymbol { C D } 分为左、右两个部分，设左边部分的面积为 y

(1)当 B F { = } 3 与 B F { = } 6 时，求 y 的值；
(2)设 B F = x ，试写出 y 关于 x 的函数解析式，并注明定义域.

【点晴】数学建模是新课标六大核心素养之一，数学建?；疃岽┯谡龈咧惺Ы滩?，而函数模型的建立是其重中之重.根据已知条件确定分段函数的解析式、定义域，是利用分段函数模型解决实际问题的基础环节和重要一步，要特别留意实际问题中函数各段的定义域.

随堂检测

1.已知函数 f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } + 1 , x < 2 , } \\ { { sqrt { x } } - 3 , x >= 2 , } \end{array} \right. } 则 f ( f ( 4 ) ) = C

A.-1 B.0 C.1 D.2

2.函数 f ( x ) = x + { / { | x | } { x } } 的图象是

3.已知函数 f ( x ) { = } \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle | x | , x { < } 1 , } \\ { \displaystyle | x { + } 1 , x { >= } 1 } \end{array} \right. 若 f ( t ) { <=slant } 2 ，则 \mathbf { \Psi } _ { t } 的 取值范围为

4.某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过1 0 0 ~ { k m } ，票价是每千米0.5元;如果超过 1 0 0 ~ { k m } ，超过部分按每千米0.4元定价.则客运票价 y (单位：元)与行程 x （单位： { { k m } } ) 之间的函数关系式是

教考衔接

最值函数问题

总结延伸一般将 M \left( x \right) = \operatorname* { m a x } \left\{ f \left( x \right) , g \left( x \right) \right\} 称为最大值函数，将m（x）=\operatorname* { m i n } \{ f ( x ) , g ( x ) \} 称为最小值函数，统称为最值函数.相关问题常用图象法或代数法求解，一般首选图象法.如果两个函数的图象容易作出来，可以采用图象法;如果两个函数的表达式方便比较大小，可以采用代数法分类讨论比较大小，求解问题.这类问题重在考查学生的符号意识、数学抽象素养及逻辑思维能力.

链接高考（1)（2022年天津卷节?。┥?{ \boldsymbol { a } } \in \mathbf { R } ，对任意实数 x ，记 f ( x ) = \operatorname* { m i n } \{ | x | - 2 . x ^ { 2 } - a x + 3 a - 5 \} 已知 f ( 2 ) = - 1 ，则实数 a = ；方程 f ( x ) = 5 的解集为

【源】教材第68页例6：例6给定函数 f ( x ) = \mid x + 1 , g ( x ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } , x \in \mathbf { R } (1)在同一直角坐标系中画出函数 f ( x ) , g ( x ) 的图象；( 2 ) \forall x \in \mathbf { R } ，用 M ( x ) 表示 f ( x ) , g \left( x \right) 中的最大者，记为 M （ x ) = \vert \operatorname* { m a x } \{ f ( x ) , g ( x ) \} 例如，当 \scriptstyle x = 2 时， M ( 2 ) = | \ m a x { \{ \it f ( 2 ) , \it g ( 2 ) \} } = m a x \{ \it 3 \dot { \{ \ : \mathfrak { g } \} } = 9

(2)已知函数 f ( x ) = x + 1 , g ( x ) = ( x - 1 ) ^ { 2 } . \forall x \in \mathbf { R } 记 M ( x ) = \operatorname* { m a x } \left\{ f ( x ) , \right. g ( x ) \} ，则 M ( x ) 的值域为

请分别用图象法和解析法表示函数 M ( x ) ：

教材第69页练习第3题：
3.给定函数 f ( x ) = - x + 1 , g ( x ) = ( x - 1 ) ^ { 2 } , x \in \mathbf { R } (1)画出函数 f \left( x \right) .g ( x ) 的图象；( 2 ) \forall x \in \mathbf { R } ，用 m ( x ) 表示 f \left( x \right) , g \left( x \right) 中的最小者，记为 m \ ( { \boldsymbol { \mathscr { x } } } \ ) = \operatorname* { m i n } \{ f ( x ) ， g ( x ) \} ，请分别用图象法和解析法表示函数 m ( x ) ：

微专题二 函数的值域

求函数的值域，不仅要注意对应关系的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用，在此基础上，还要
熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数的值域，它是求复杂函数值域的基础.求函数值域的
基本原则有：(1)当函数 y = f ( x ) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合(2)当函数 \scriptstyle y = f ( x ) 用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所对应的实数 y 的集合.(3)当函数 \scriptstyle y = f ( x ) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定，(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定，

合作探究

典例①求下列函数的值域：

典例②求下列函数的值域：

(1)y=2x-1,x∈N\*；（2)y=2+x2;( 3 ) { y } = { x } ^ { 2 } - { x } + 1 . （204号

【点睛】求值域的基本方法.

( 1 ) _ { { \cal { y } } } = / { 4 x - 2 } { 2 x + 1 } ; （20 ( 2 ) _ { 3 } = 2 x + sqrt { 1 - x } , （204号( 3 ) _ { \mathscr { y } } = / { \mathscr { x } ^ { 2 } - 2 \mathscr { x } + 5 } { \mathscr { x } - 1 } .

① 直接法：也称观察法，可根据解析式的特征，通过常见初等函数的值域及不等式的性质直接观察出值域.② 不等式法：利用不等式性质和基本不等式求值域.③ 配方法：当所给函数是形如 y = a \left[ g \left( x \right) \right] ^ { 2 } + b g \left( x \right) + c 中 \scriptstyle \left( a \neq 0 \right) )的函数时，可利用配方法求其值域.此时要注意g ( x ) 的取值范围.

【点睛】求值域的进阶方法.

① 分离常数法：适用于求某些分式函数的值域，思路是用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量，再求值域，这里，可借助反比例函数 { \boldsymbol { y } } = { / { \boldsymbol { k } } { x } } ( { \boldsymbol { k } } \neq 0 ) 的定义域是 \{ x \vert x \neq \left. 0 \right\} ，值域是 \{ y | y { \neq } 0 \} ，结合图象平移加以理解，② 换元法：利用代数代换（及后面将要学到的三角代换），将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如 y = a x + b ± sqrt { c x + d } ( a c \neq 0 ) 的函数都可以用换元法求值域.应用换元法求值域时，应注意新变量的取值范围.

③ 判别式法：形如 y = / { a x ^ { 2 } + b x + c } { d x ^ { 2 } + e x + f } 其中 a ^ { 2 } + d ^ { 2 } \neq 0 ) 的函数一般可转化为关于 x 的一元二次方程 ( d y - a ) x ^ { 2 } + ( e y - b ) _ { { X } } + ( f y - c ) = 0 ，由方程有实根的条件 \Delta >=slant 0 来求函数值域.在运用此法的过程中要注意检查值域的完备性及纯粹性.可从以下角度理解此原理：若函数 f ( x ) 的定义域为 \boldsymbol { \mathscr { A } } ，则函数的值域就是所有能使关于 x 的方程f ( x ) = y 在集合 A 中有解的 y 的值构成的集合.由于要使方程 f ( x ) = y 在集合 A 中有解，而不一定是在实数范围内，所以有时仅考虑判别式还不够.

3.2 函数的基本性质

3.2.1 单调性与最大(小)值

第1课时 函数的单调性

学习目标

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义.
2.重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理素养.

知识梳理

1.增函数与减函数

① 函数的单调性是函数最重要的性质之一，体现的是函数值的大小随着 x 取值的增大而增大(减小）的变化规律，如 x 越大， y 的值也越大(小)，且这一规律对于定义域上的任意一个 x 都成立.
② 根据教参及课后习题，可知函数单调性有以下等价形式.
设函数 \scriptstyle y = f ( x ) 的定义域为 D ，区间 I { \subseteq } D
\forall x _ { 1 } x _ { 2 } \in I ，记 \Delta x = x _ { 1 } - x _ { 2 } ， \Delta y = f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) . (i)若 \Delta x { < } 0 , \Delta y { < } 0 ，则 f ( x ) 在区间 I 上单调递增；若 \Delta x < 0 , \Delta y > 0 ，则 f ( x ) 在区间 I 上单调递减.( \operatorname { i i } ) { / { \Delta y } { \Delta x } } { > } 0 \Longleftrightarrow f ( x ) 在区间 I 上单调递增； / { \Delta y } { \Delta x } < 0 \Longleftrightarrow f ( x ) 在区间 I 上单调递减.
( \operatorname { i i i } ) \Delta x \bullet \Delta y > 0 { \Longleftrightarrow } f ( x ) 在区间 I 上单调递增； \Delta x ·\Delta y { < } 0 { \Longleftrightarrow } f ( x ) 在区间 I 上单调递减.

2.函数的单调性与单调区间

如果函数 \scriptstyle y = f ( x ) 在区间 I 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y = f \left( x \right) 在这一区间具有(严格的)，区间 I 叫做 \scriptstyle y = f ( x ) 的

【解读】函数单调性的理解.
① 单调区间是定义域的子集.
② “严格”即 > 或 < ，相应的“不严格”即≥或≤.
③ 单调性是函数的一种“局部性质”，是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域内不同的区间上可以有不同的单调性.
④ 单调性又是函数在某一单调区间上的“整体性质”.

【思考】所有函数都具有单调性吗？

合作探究

探究点一 函数单调性的证明

典例①用单调性定义证明函数 f \left( x \right) = / { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 1 } 在区间(0，1)上单调递减.

【点晴】利用定义证明函数单调性的步骤，

① 取值：设 x _ { 1 } , x _ { 2 } 是该区间内的任意两个值，且 x _ { 1 } < x _ { 2 } ：② 作差变形：作差 f ( x _ { 1 } ) { - } f ( x _ { 2 } ) 或 f ( x _ { 2 } ) { - } f ( x _ { 1 } ) ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式.
③ 定号：确定差 f ( x _ { 1 } ) { - } f ( x _ { 2 } ) 或 f ( x _ { 2 } ) { - } f ( x _ { 1 } ) 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.
④ 结论：根据定义得出结论.

变式①证明：函数 f ( x ) = x + { / { 4 } { x } } 在区间 ( 2 , + ∞ ) 上单 调递增.

探究点二 函数单调性的判断

典例②（1)【多选题】下列函数中，满足“任意 x _ { 1 } x _ { 2 } ( x _ { 1 } \neq x _ { 2 } ) \in ( 0 , + ∞ ) ，都有 / { f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } < 0”的有 （ ）

(2)若函数 \scriptstyle y = a , x 与 y = - { / { b } { x } } 在 ( 0 , + ∞ ) 上单调 递减，则 y = a x ^ { 2 } + b x 在 ( 0 , + ∞ ) 上 （

A.单调递增
B.单调递减
C.先单调递增后单调递减 D.先单调递减后单调递增

笔记：

【点晴】判断函数单调性的常用方法如下.① 定义法.
② 定义的等价形式，详见“知识梳理”③ 利用已知函数的单调性.

变式②（1）【多选题】函数 \scriptstyle y = f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ )上单调递减，且 0 { < } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } ，则 （）

（2)【多选题】下列函数中，在区间 ( 0 , + ∞ )上单调递增的是 （）

探究点三 函数单调区间的探求

典例③(1)已知 y = f ( x ) 的图象如下图所示，则该函数的单调递增区间为 （ ）

A.[-1,3]
B.[—1,2]和[4,5] C.[-1,2]
D.[-1,2]U[4,5]

(2)画出函数 y = - x ^ { 2 } + 2 | x | + 1 的图象并写出函数的单调区间.

(3)函数 \scriptstyle { y = { sqrt { - x ^ { 2 } - 2 x + 3 } } } 的单调递增区间是（）

A.[-3,-1] B.[-1,1] C.(-8,-1] D.[-1,+0)

笔记：

【点晴 ① 根据函数的图象求函数单调区间的方法：先作出函数图象，再把函数图象向 x 轴作正投影，图象上升对应增区间，图象下降对应减区间.② 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.例如函数 f ( x ) { = } / { 1 } { x } 在 ( - ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) 上都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( - ∞ , 0 ) \cup ( 0 , + ∞ ) 上单调递减[如 f ( - 1 ) { < } f ( 1 ) ] ，只能分开写，即函数的单调递减区间为 ( - ∞ , 0 ) 和 ( 0 , + ∞ ) .{ 3 } f ( g ( x ) ) 的单调性遵循“同增异减”的原则，即若 f ( x ) 与g ( x ) 单调性相同，则 f ( g ( x ) ) 单调递增，若相反，则f ( g ( x ) ) 单调递减.对于 y = sqrt { g ( x ) } ，应注意 g ( x ) { >=slant } 0

变式③ （1）函数 y = { / { 1 } { x - 1 } } x1的单调递减区间是（2）已知函数 \begin{array} { r } { f \left( x \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 x + 1 , x < 0 , } \\ { - x ^ { 2 } + 2 x + 1 , x >=slant 0 , } \end{array} \right. } \end{array} 则f ( x ) 的单调递增区间为

(3)函数 y = sqrt { - x ^ { 2 } + 4 x } 的单调递增区间是

随堂检测

1.下列函数中，在区间 ( - ∞ , 0 ) 上单调递减的是（\operatorname { A } . f ( x ) = x { B } . f ( x ) { = } { - } { / { 1 } { x } } { C } . f ( x ) { = } x ^ { 2 } { + } 2 x \qquad { { D } } . f ( x ) { = } | x |

2.已知函数 f ( x ) 的定义域是 \mathbf { R } . 若对于任意两个不相等的实数 ^ { } x _ { 1 } , x _ { 2 } ，总有 / { f ( x _ { 2 } ) - f ( x _ { 1 } ) } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } { > } 0 , 则 f ( x ) （ ）

A.先增后减 B.先减后增

C.是增函数 D.是减函数

3.如下图所示，函数 y = f ( x ) , x \in [ - 4 , 4 ] 的单调递减区间为 （ ）

A.[-4,4]
B.[-4,-3]和[1,4]
C.[-3,1]
D.[-3,4]

4.函数 f ( x ) { = } / { x } { 1 { + } x } 的单调递增区间为

第2课时 函数单调性的应用

合作探究

探究点一 比较大小

典例①若函数 f ( x ) 在 ( - ∞ , - 1 ] 上单调递增，则 （ ）

笔记：

【点睛】当两个自变量在同一个单调区间上时，比较两个函数值的大小可以转化为比较两个自变量的大小.

变式①函数 \scriptstyle y = f ( x ) 是定义域为 bf { R } 的减函数.若 a \neq 0，则 （）

探究点二 解不等式

典例②已知函数 f ( x ) 的定义域为 bf { R } ,且对任意两个不相等的实数 a , b ，都有 \left( a - b \right) \left[ f ( b ) - \left( b \right) \right] f ( a ) ] { > } 0 ，则不等式 f ( 3 x - 1 ) { < } f ( x { + } 5 ) 的解集为 （ ）

A.（一0,3） { B } . ( 3 , + ∞ ) { C } . ( - ∞ , 2 ) { D } . ( 2 , + ∞ )

笔记：

【点睛】解与抽象函数有关的不等式，其关键是利用单调性“脱去”函数符号“ f ”，从而转化为熟悉的不等式.

变式②已知函数 f ( x ) 是定义域为 [ 0 , + ∞ ) 的单调递减函数.若 f ( 2 a - 1 ) { > } f { \Bigl ( } { / { 1 } { 3 } } { \Bigr ) } ，则 a 的取值范围是（ ）

探究点三 求参数（范围）

典例③(1)(教材题改编)已知函数 y = k x ^ { 2 } + ( k + 1 ) x + 1 , x \in [ 2 , + ∞ ) 是减函数，则实数 k 的取 值范围是

(2)若 f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle / { a } { x } } , { x >=slant 1 } , } \\ { \displaystyle - { x + 3 a } , { x < 1 } } \end{array} \right. 是减函数，则实数 a 的取值范围为

笔记：

【点睛】已知函数的单调性求参数（范围）问题的处理方法.① 若函数为一次函数，则由一次项系数的正负求参数(范围).② 若函数为二次函数，则由抛物线的开口方向和对称轴求参数（范围）.③ 若函数为分段函数，则数形结合，由每一段函数的单调性及分段点处函数值的大小关系求参数（范围）.

变式③(1）已知函数 f \left( x \right) = x ^ { 2 } + 2 a x + 3 在区间 ( - ∞ , 1 ] 上单调递减，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围是 ；若函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ( - ∞ , 1 ] 则实数 a = （20

(2)若函数 f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { x ^ { 2 } + 2 a x + 3 , x { <=slant } 1 } } \\ { { \qquad } } \\ { { \qquad } } \end{array} \right. 是减函数，则 实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围是

随堂检测

1.已知函数 f ( x ) 在区间 ( - 1 , 3 ] 上单调递减，则（

2.函数 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 k x 在 \big [ / { 1 } { 2 } , + ∞ \big ) 上单调递增,则k 的取值范围是 （ J

{ A } . \big ( / { 1 } { 2 } , + ∞ \big ) { B } . \left[ / { 1 } { 2 } , + ∞ \right)

{ c . } ( - ∞ , / { 1 } { 2 } ) （20 { D . } { \big ( } - ∞ , { / { 1 } { 2 } } { \big ] }

3.函数 f ( x ) 是定义域为 bf { R } 的增函数.若 f ( m - 9 ) > f ( - 2 m ) ，则 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取值范围为 （）

\therefore ( 0 , + ∞ ) B（一0,-3） { C } . ( 3 , + ∞ ) { D } . ( - ∞ , 3 )

4.已知函数 f ( x ) = \left\{ { 2 x , x <=slant a } , \right. 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上 单调递增，则实数 \mathbf { \Delta } _ { a } 的取值范围是

第3课时 函数的最大(小)值

学习目标

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.
2.重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模素养.

知识梳理

函数的最大(小)值

【解读 \mathsf { I } ① 函数的最值是函数重要性质之一，既包含了函数的最大值也包含了函数的最小值.
② 函数的最值是在定义域上求得的，不能脱离函数的定义域求函数的最值.③ 在函数的最值的概念里，“ x _ { 0 } \in D .使得 f ( x _ { 0 } ) { = } M ( m ) ”这一点很重要，例如 f \left( x \right) = x ^ { 2 } >=slant - 1 , ，但不能说函数f ( x ) 的最小值是一1.

【思考】函数的最值与值域之间是什么关系？

合作探究

探究点一 图象法求函数的最值

f ( x ) { = } \left\{ / { x ^ { 2 } } { x } , { - } 1 { <=slant } x \right. ≤1,典例① 已知函数 则 f ( x ) 的最大值、最小值分别为

笔记：

【点睛】图象法求最值的步骤如下. ① 作：作出函数图象.② 找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标， ③ 定：确定函数的最大（?。┲?

变式① (教材题改编)用 \operatorname* { m i n } \{ a , b \} 表示 { \mathbf { α } } _ { a } , { \mathbf { α } } _ { b } 两个数中的最小者.设 f ( x ) = \operatorname* { m i n } \{ x + 2 , 1 0 - x \} （ \scriptstyle \left( x >=slant 0 \right) ，则f ( x ) 的最大值为

探究点二 单调性法求函数的最值

典例② 已知函数 f ( x ) { = } / { 2 x } { x + 1 } 1(1)判断 f ( x ) 在区间 [ 1 , + ∞ ) )上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求 f ( x ) 在区间[2,4]上的最大值与最小值.

【点晴】利用函数的单调性求最值.

① 要熟练掌握基本函数的单调性及其单调区间.② 一般步骤：(i)判断函数的单调性；(ii)利用单调性写出最值.③ 若函数 \scriptstyle y = f ( x ) 有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中得出最大（小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(?。┲?

变式② (1)(教材题改编)函数 { _ { y } } = / { 1 } { x - 2 } + 1 在[3,4]上的最大值为

A.2 { B . } { / { 3 } { 2 } } / { 5 } { 2 } D.4 (2)函数 f ( x ) { = } x { - } { / { 2 } { x } } { + } 1 在[1,4]上的值域为（ { A } . \left[ 1 , { / { 9 } { 2 } } \right] B.[0,1] { C . } \Big [ 0 , / { 9 } { 2 } \Big ] \qquad { D . } \Big [ sqrt { 2 } , / { 9 } { 2 } \Big ]

探究点三 已知函数最值求参数的取值范围

典例③ 【多选题】已知函数 f （ x ) = \scriptstyle \left( x ^ { 2 } - 2 a x + 2 , x <=slant 1 , \right. \left\{ x + { / { 9 } { x } } - 3 a , x { > } 1 \right. 的最小值为 f ( 1 ) ，则 \mathbf { \Delta } _ { a } 的可能取值是 （

A.1 B.3 C.5 D.7笔记：

【点睛】最值应用的常见题型如下.
① 根据一次函数、二次函数、反比例函数、“双勾”函数等常见函数的单调性，结合最值的性质求解参数的值或范围.② 恒成立、能成立问题，

变式③(1)若函数 f ( x ) = a x ^ { 2 } + 2 a x + 1 在[-1,2]上有最大值4，则 a 的值为 （ ）

A / { 3 } { 8 } B.-3 C 或-3 D.4(2)(教材题改编） \forall x \in [ 1 , + ∞ ) , x ^ { 2 } + a x + 9 > 0 ，则实数 \scriptstyle a 的取值范围为

探究点四 函数最值的实际应用

典例4 2025 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，每年投入固定成本2500万元，每生产 x 百辆新能源汽车需另投入成本 C ( x ) 万元，且 C \left( x \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 0 x ^ { 2 } + 1 0 0 x , 0 < x < 4 0 , } \\ { \hfill } \\ { 5 0 1 x + / { 1 0 \ 0 0 0 } { x } - 4 \ 5 0 0 , x >= 4 0 . } \end{array} \right. 由市（20场调研，知每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润 = 销售额一成本)

(1)求2025年的利润 L ( x ) (万元)关于年产量 x (百辆)的函数关系式；
(2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【点晴】 ① 求解实际应用问题一般分四步，即设元一列式—求解一作答.② 求解实际应用问题要注意函数自变量的取值范围.

变式4为提倡低碳生活，某旅游景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金 x （元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y (元)表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).

(1)求函数 y = f ( x ) 的解析式及其定义域.(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？最多为多少元？

随堂检测

1.已知函数 f ( x ) { = } / { 1 } { x { + } 1 } , x { \in } [ 0 , 3 ] x+1x∈[0,3],则f(x）的最小值为 C ）

A.-1 { B } . { / { 1 } { 4 } } C.1 D.4

2.已知函数 f ( x ) { = } 2 x ^ { 2 } { - } 4 x { + } 3 ，则 f ( x ) 在[-1,1]上的最大值为 （ ）

A.9 B.8 C.3 D.-1

3.函数 \scriptstyle y = x + { / { 9 } { x + 1 } } x1在区间(－00，－1)上的最大值为 （ ）

A.-6 B.-7 C.5 D.6

4.某机器总成本 y (万元)与产量 x （台)之间的函数关 系式是 y = x ^ { 2 } + 2 5 x .若每台机器售价为75万元， 则该厂获利润最大时应生产的机器为 台.

专题三 二次函数的最值

作为贯穿初高中数学的一个重要内容，二次函数在解决函数求最值问题上起着举足轻重的作用.它的应用非常广泛，很多时候可以先把其他形式的函数转化为二次函数，再利用二次函数的性质最终解决问题.历届高考中，二次函数的最值问题也几乎是必考内容.对于二次函数最值的考查，常见的类型有四种：定轴定区间型、动轴定区间型、定轴动区间型、动轴动区间型，其中前三种尤为重要，

设二次函数 f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c ( a > 0 ) ，则 f ( x ) 在闭区间 [ m , n ] 上的最大值、最小值有如下的分布.

注：对于开口向下等情况，讨论类似，

合作探究

探究点一 定轴定区间型

典例①函数 f ( x ) = x ^ { 2 } + 3 x + 2 在[一5,5]上的最大值、最小值分别是 （ ）

{ A . 1 2 } , - { / { 1 } { 4 } } B.2,12{ c . 4 2 , - / { 1 } { 4 } } D.最小值是 / { 1 } { 4 } 无最大值

笔记：

【点晴】定轴定区间型：即求给定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性求其最值（可结合图象）.

探究点二 动轴定区间型

典例②已知函数 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 ( k + 1 ) x + 3 求f ( x ) 在区间[—2,2]上的最小值.

【点晴】动轴定区间型：即求给定区间含参二次函数的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解.

探究点三 定轴动区间型

典例③已知函数 f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + m x + n 的图象过 点 ( 0 , - 1 ) ，且满足 f ( - 1 ) = f ( 2 ) ·

(1)求 f ( x ) 的解析式;
(2)求 f ( x ) 在 [ a , a + 2 ] 上的最小值.

【点睛】定轴动区间型：即求给定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的对称轴的横坐标进行分类讨论.

探究点四 动轴动区间型

典例已知函数 f \left( x \right) = x ^ { 2 } - 2 a x \left( a > 0 \right) 在 [ t .t + 2 ] 上的最大值为0，最小值是一4,求实数 \mathbf { \Delta } _ { a } 和 \mathbf { \Psi } _ { t } 的值.

【点睛】动轴动区间型：即求含参的二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理.

3.2.2 奇偶性

第1课时 奇偶性的概念

学习目标

1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
2.重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理素养.

知识梳理

1.函数的奇偶性

^ { * } 2 . 几个重要结论

(1)如果一个奇函数 f ( x ) 在 x = 0 处有定义，即 f ( 0 ) 有意义，那么一定有f ( 0 ) { = } 0 .

(2)如果 f ( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) { = } f ( \mid x \mid ) 业

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f ( x ) = 0 , x \in D ，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集.

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量对应互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值对应互为相反数，取最值时的自变量也对应互为相反数

【解读】函数的奇偶性是函数的整体性质.
① 偶函数有 f \left( - x \right) = f \left( x \right) 或奇函数有 f ( - x ) { \stackrel { } { = } } - f ( x ) 是定义域上的恒等式.
② 奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简.【思考 ① 奇函数或偶函数的定义域有什么特点？
② 应用定义判断函数奇偶性还有哪些等价形式？

合作探究

探究点一 函数奇偶性的判断

典例①判断下列函数的奇偶性：

( 1 ) f ( x ) = 2 - | x |
\scriptstyle ( 2 ) f ( x ) = { sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } + { sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } ：
( 3 ) f ( x ) = / { x } { x - 1 } ;
\scriptstyle ( 4 ) f ( x ) = \left\{ { x + 1 , x > 0 , \atop - x + 1 , x < 0 . } \right.

【点晴】判断函数奇偶性的常用方法.

① 定义法.首先判断定义域是否关于原点对称，若否，则f ( x ) 是非奇非偶函数，若是，再判断 f ( - x ) 与 f ( x ) 之间的关系.若 f ( - x ) { = } { - } f ( x ) ，则 f ( x ) 为奇函数，若 f ( - x ) { = } f ( x ) .则 f ( x ) 为偶函数，若 f ( - x ) 与 f \left( x \right) 无上述关系，则f ( x ) 是非奇非偶函数.
② 图象法.函数 f ( x ) 的图象若关于原点对称，则 f ( x ) 为奇函数；若关于 y 轴对称，则 f ( x ) 为偶函数.
③ 还可用如下“运算”确定奇偶性（在共同定义域上）.(i)如果任意两个奇（偶）函数 f ( x ) 与 g \left( x \right) 的线性组合a f ( x ) + b g ( x ) 不为零，其中 { a , b } 是常数，那么 a f ( x ) + b g ( x ) 仍是奇(偶)函数.这里注意常数函数 \mathbf { \boldsymbol { y } } = \mathbf { \boldsymbol { t } } \left( \mathbf { \boldsymbol { t } } \right. 为常数）是特殊的偶函数，当 t = 0 时既是奇函数又是偶函数.（ii)任意奇函数与偶函数的积与商仍是奇函数（商的情况下，要求分母不为0).

变式①（1）【多选题】下列函数中为奇函数的是（{ A } . f ( x ) { = } / { \left| x - 1 \right| } { x } { B } . f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 3 } + 1 , x > 0 , } \\ { 0 , x = 0 , } \\ { x ^ { 3 } - 1 , x < 0 } \end{array} \right. \scriptstyle { C } . f ( x ) = { sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } - { sqrt { 4 - x ^ { 2 } } } { D } . f ( x ) { = } / { sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } { | x + 3 | - 3 }

（2)【多选题】下列函数中，既是偶函数，又在区间( 1 , + ∞ )上单调递增的是 （）

探究点二 奇、偶函数的图象特征

典例②（1）右图是奇函数y = f \left( x \right) 的部分图象，则f ( - 4 ) f ( - 2 ) = .
（2）右图是偶函数 y = f ( x ) 的部分图象，比较f ( 1 ) 与 f ( 3 ) 的大小的结果为

(3)已知函数 \scriptstyle y = f ( x ) 是偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f ( x ) = 0 的所有实根之和是 一 ）

A.4 B.2 C.1 D.0笔记：

【点睛】 ① 如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数，其图象与 x 轴的交点个数必为奇数.如果函数图象不经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数，其函数图象与 x 轴的交点个数必为偶数.② 若奇函数在原点处有定义，则 f ( 0 ) { = } 0

变式②(1)下列图象表示的函数为奇函数或偶函数的是 （ ）

(2)设奇函数 f ( x ) 的定义域为[ - \ 6 , \ 6 ] 当 x \in [ 0 , 6 ] 时，f ( x ) 的图象如右图所示，则不等式 f ( x ) { < } 0 的解集为

探究点三 利用函数奇偶性求值

角度1 求函数值

典例③(1)已知函数 y = f ( x ) + x ^ { 2 } 是奇函数，且f ( 1 ) { = } 1 ，则 f ( - 1 ) = （ ）

A.-3 B.-1 C.0 D.2

(2)已知 f ( x ) = x ^ { 5 } + a x ^ { 3 } + b x - 8 , 且 f ( - 2 ) = 10,则 f ( 2 ) = （ 1

A.-26 B.-18 C.-10 D.10

笔记：

【点睛】 ① 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( - a ) + f ( a ) = 0 . ② 若 f ( x ) 为奇函数， g ( x ) = f ( x ) + k ( k 为常数），则g \left( a \right) + g \left( - a \right) = 2 k

变式③(1）若函数 f ( x ) 是定义域为 bf { R } 的奇函数，当x { > } 0 时， f ( x ) { = } x ^ { 2 } - 6 x ，则 f ( - 1 ) = （）

A.-7 B.-5 C.5 D.7

(2)已知 f ( x ) = a x ^ { 3 } + b x - 4 ，其中 { \boldsymbol { a } } , { \boldsymbol { b } } 为常数，若f ( - 2 ) = 2 ，则 f ( 2 ) 的值为 （）

A.-10 B.-6 C.-4 D.-2

角度2 求参数

典例（1）若 f ( x ) = { / { ( x + 1 ) ( x + a ) } { x } } 为奇函数，则 a = \_

(2)若 f ( x ) = ( x + a ) ( x - 4 ) 为偶函数，则实数a = \_

(3)若 f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + 3 a + b 是偶函数，定义域为 [ a - 1 , 2 a ] ，则 a = \_ ， b = .

笔记：

【点睛】由函数的奇偶性求参数值的思路.

① 若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.② 一般化策略：对 x 取定义域内的任一个值，利用f ( - x ) 与 f ( x ) 的关系式恒成立来确定参数的值.③ 特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去.

变式4（1）若 f ( x ) = { / { x } { ( 2 x + 1 ) ( x - a ) } } (2x+1)(x-a)为奇函数，则 a = .

(2)设f(x)=x+a+1 为奇函数，则实数 a = (3)若 f ( x ) { = } ( x + a ) ( b x + 2 a ) ( a , b 是常数)是偶函数，且它的值域为 ( - ∞ , 4 ] ，则该函数的解析式f ( x ) = { { . } }

随堂检测

1.下列函数中是偶函数的是

{ { A } } . f ( x ) = { / { 1 } { x } } { B } . f ( x ) { = } { - } x ^ { 2 } \operatorname { C } _ { * } f ( x ) = 2 x + 1 { D } . f ( x ) { = } sqrt { x }

2.已知 f ( x ) 是定义域为 bf { R } 的奇函数，当 x > 0 时，f ( x ) = x ^ { 3 } + 1 ，则 f ( - 1 ) = （）

A.-2 B.-1
C.0 D.2

3.(2022年天津卷)函数 \scriptstyle y = { / { \displaystyle | \ x ^ { 2 } - 1 | } { \ x } } 的图象大致为(

4.(2024年上海卷)已知 f \left( x \right) = x ^ { 3 } + a . { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } ，且f ( x ) 是奇函数，则 a =

第 2 课时 奇偶性的应用

合作探究

探究点一 利用函数奇偶性求解析式

典例①(1）已知 f ( x ) 是定义域为R的奇函数，当x { > } 0 时， f ( x ) = { sqrt { x } } + 1 ，求 f ( x ) 的解析式.

(2)设 f \left( x \right) 是偶函数, g \left( x \right) 是奇函数，且f ( x ) + g \left( x \right) = / { 1 } { x - 1 } x-1求f(x),g(??）的解析式.

【点晴】利用函数奇偶性求函数解析式的步骤：

① “求谁设谁”，即求哪个区间上的解析式， x 就应设在哪个区间上；
② 转化到已知区间上，代入已知的解析式；
③ 利用 f ( x ) 的奇偶性写出一 f ( - x ) 或 f ( - x ) ，从而解出 f ( x )

变式①（1）已知 y = f ( x ) 是定义域为 bf { R } 的奇函数，当x { >=slant } 0 时， f ( x ) { = } x ( x { - } 2 ) ，则当 x { < } 0 时， f ( x ) = （ ）

{ A } . { \boldsymbol { x } } ( { \boldsymbol { x } } - 2 ) { B } . x ( x + 2 ) { { C } } _ { \bullet } - { x } ( { { \boldsymbol { { x } } } } - 2 ) { D } { * } - x ( x { + } 2 )

(2)已知 f ( x ) , g ( x ) 分别是定义域为 bf { R } 的偶函数和奇函数，且 f ( x ) - g ( x ) = x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 1 ，则 f ( 1 ) = C ）

A.-3 B.1 C.2 D.3

探究点二 函数的奇偶性与单调性

角度1 比较大小

典例②(1)已知 f ( x ) 是奇函数，且对任意正实数x _ { 1 } , x _ { 2 } ( x _ { 1 } \neq x _ { 2 } ) ，恒有 / { f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { > } 0 ，则下列不等式中一定正确的是 （ ）

{ A } . f ( 3 ) { > } f ( - 5 ) \qquad { B } . f ( - 5 ) { > } f ( - 3 ) { C } . f ( - 5 ) { > } f ( 3 ) \qquad { D } . f ( - 3 ) { > } f ( - 5 )

(2)定义域为 bf { R } 的偶函数 f ( x ) 满足对任意的x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - ∞ , 0 ] ( x _ { 1 } \neq x _ { 2 } ) , / { f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } < 0,则 （ ）

{ A } . f ( - 2 ) { < } f ( 3 ) { < } f ( 4 ) { B } . f ( - 2 ) { \ > } f ( 3 ) { \ > } f ( 4 ) { C } . f ( 3 ) { \ < } f ( 4 ) { < } f ( - 2 ) { D } . f ( 4 ) { < } f ( - 2 ) { < } f ( 3 )

笔记：

【点睛】利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一单调区间内，然后利用单调性比较大小.

变式②若 f ( x ) { = } ( m { - } 1 ) x ^ { 2 } { + } 2 m x { + } 3 是 bf { R } 上的偶函数，则 （ ）

角度2 解不等式

典例③(1)已知函数 y = f ( x ) 在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数.若 f \left( 1 - a ^ { 2 } \right) + \quad f ( 1 - a ) { < } 0 ，则实数 a 的取值范围是

(2)已知 f ( x ) 是定义域为 [ - 2 , 2 ] 的偶函数，且 在区间[0,2]上单调递减.若 f ( 1 - m ) { < } f ( m ) + 则实数 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取值范围是

(3)已知函数 f \left( x \right) = x ^ { 3 } + x ，则不等式 f ( x + 2 ) + f ( x ) { < } 0 的解集为 （ ）

A * ( - ∞ , - 1 ) { B } _ { * } ( - 1 , + ∞ ) { C } _ { \bullet } ( - ∞ , 0 ) （204号 { D } . ( 0 , + ∞ )

笔记：

【易错】利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，首先要弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式（组)并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响.分析函数的单调性，应先考虑定义域.函数的单调区间一定是其定义域的子集.

【点睛 ① 抽象不等式问题，解题步骤是：

(i)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；（ii)利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“ f ”，转化为解不等式(组)的问题.② 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“ f ”时，需转化为含符号1 \dot { \boldsymbol { f } } ”的形式，如 0 { = } f ( 1 ) , f ( x { - } 1 ) { < } 0 , 则 f ( x - 1 ) { < } f ( 1 ) ③ 利用好偶函数性质 f ( x ) { = } f ( | x | ) 可以避免讨论，简化计算.④ 对于一些给出了表达式的较复杂函数，先判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性求出不等式的解集，此时应注意定义域的限制.

变式③(1)已知定义域为 ( - 2 , 2 ) 的奇函数 f ( x ) 是增函数，且 f ( t ) + f ( 2 t + 1 ) > 0 ，则实数 \mathbf { \Psi } _ { t } 的取值范围是 （）

(2)设函数 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称，在 ( 0 , + ∞ ) 上单调递减，且 f ( 1 ) = 0 ，则不等式 / { f ( - _ { { x } } ) + f ( _ { { x } } ) } { x } { < } 0 的解集为 （ ）

A.(-1,0)U(0,1){ B } _ { * } ( - 1 , 0 ) \cup ( 1 , + ∞ ) { C } _ { * } ( - ∞ , - 1 ) \bigcup ( 0 , 1 ) （204号 { D } . ( - ∞ , - 1 ) \bigcup ( 1 , + ∞ )

(3)已知函数 f \left( x \right) = / { x ^ { 2 } + 4 } { x ^ { 4 } } 若 f ( a + 1 ) < f ( 3 - 2 a )，则实数 a 的取值范围是 （ ）

{ A } . { \big ( } - ∞ , { / { 2 } { 3 } } { \big ) }
{ B } . \bigl ( / { 2 } { 3 } , / { 3 } { 2 } \bigr ) \cup \bigl ( / { 3 } { 2 } , 4 \bigr )
{ C } _ { \bullet } ( 4 , + ∞ )
{ D } . \big ( - ∞ , / { 2 } { 3 } \big ) \cup ( 4 , + ∞ )

随堂检测

1.设 f ( x ) 是定义域为R的偶函数，且 f ( x ) 在[0,+ ∞ ) 上单调递增，则 （）

{ A } . f ( - 2 ) { < } f ( 3 ) { < } f ( - π ) { B } . f ( 3 ) { < } f ( - 2 ) { < } f ( - π ) { C } . f ( - π ) { < } f ( 3 ) { < } f ( - 2 ) { D } . f ( - π ) { < } f ( - 2 ) { < } f ( 3 )

2.已知函数 f ( x ) 是定义域为 bf { R } 的偶函数，且当 x { >=slant } 0 时， f ( x ) { = } x ^ { 2 } - 2 x ，则 （ ）

3.已知 f ( x ) + x ^ { 2 } 为奇函数， f ( x ) { - } x 是偶函数，则

4.已知函数 f \left( x \right) 是 bf { R } 上单调递增的奇函数.若f ( 1 + m ) + f ( 2 m - 4 ) > 0 ，则 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取值范围是

3.3 幂函数

学习目标

\mathbf { λ } ^ { 1 . } 通过具体实例，结合 \scriptstyle y = x , y = { / { 1 } { x } } , y = x ^ { 2 } , y = { sqrt { x } } , y = x ^ { 3 } 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
2 . 重点提升数学运算、直观想象、逻辑推理素养.

知识梳理

1.幂函数的概念

一般地，函数 y = 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数.

2.幂函数的图象和性质

(1)五个常用幂函数的图象

对于幂函数，我们着重研究 α { = } 1 , 2 , 3 , / { 1 } { 2 } , - -1时的图象与性质.在同一坐标系中，画出函数 y = x y = x ^ { 2 } \scriptstyle y = x ^ { 3 } y = x ^ { / { 1 } { 2 } } 和 y = x ^ { - 1 } 的图象如下图.

【解读】 ① 借助图象研究函数性质（由形到数），是研究函数性质的常用方法，常用描点法作图，当精度要求较高或不易描点时，可考虑用计算器或计算机作图.② 研究这五个常见幂函数的图象与性质，既是对前面所学知识的一次总结和应用，又可借助研究过程中的思路、方法和所得结论，对更多、更复杂的函数进行研究.

【思考】 ① 幂函数的图象都不过第四象限，为什么？

(2)五个常用幂函数的性质.

【解读】 ① 当 α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[ 0 , + ∞ ) 上单调递增.特别地，当α { > } 1 时，幂函数的图象下凸；当0 { < } α { < } 1 时，幂函数的图象上凸.② 当 α { < } 0 时，幂函数的图象在区间 ( 0 , + ∞ ) 上单调递减.在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 _ y 轴右方无限地逼近_ y 轴正半轴，当 x 趋于 + ∞ 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

【思考】 ② 所有幂函数的图象在第一象限都有公共点吗？

合作探究

探究点一 幂函数的概念

典例①(1)在函数 y = x ^ { - 2 } , y = 2 x ^ { 2 } , y = ( x + 1 ) ^ { 2 } ,

y = 1 中，幂函数有 一

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

(2)已知幂函数 y = f ( x ) 的图象过点 \scriptstyle ( 2 , { sqrt { 2 } } )，则
f ( 9 ) = { } _ { . }
笔记：

【点睛】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 { \boldsymbol { y } } = _ { \boldsymbol { x } ^ { a } } ( _ { α } 为常数)的形式，即指数为常数、底数为自变量、系数为1.

变式①(1)在函数 { { 1 } } y = { / { 1 } { x } } , { 2 } y = x ^ { 2 } , { 3 } y = x + { / { 1 } { x } } , { 4 } y = 1 , { 5 } y = 2 x ^ { 2 } { 6 } y = x ^ { - / { 1 } { 2 } } 中,是幂函数的是（

{ A } . { 1 } { 2 } { 4 } { 5 } { B } . { 3 } { 4 } { 6 } { C . } { 1 } { 2 } { 6 } { D } . { { 1 } } { 2 } { 4 } { 5 } { 6 }

(2)已知幂函数 f ( x ) 的图象过点(64，4)，则 f ( 8 ) = （

A.2 B.3 C.4 D.5

探究点二 幂函数的图象及其应用

典例②(1）已知点 ( { sqrt { 2 } } , 2 ) 与点 ( - 2 , - / { 1 } { 2 } ) 分别在幂函数 { \bf \ddot { \it f } } ( \boldsymbol { x } ) , g ( \boldsymbol { x } ) 的图象上，问当 x 为何值时,有：\begin{array} { r } { { 1 } f ( x ) > g ( x ) ; { 2 } f ( x ) = g ( x ) ; { 3 } f ( x ) < g ( x ) . } \end{array} (2)幂函数 f ( x ) = ( m ^ { 2 } - 2 m - 2 ) x ^ { { / { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } + m } 在(0,+ ∞ ) 上单调递减，则 m = \_

笔记：

【点晴】解决幂函数图象问题应把握的两个原则.

① 依据图象确定幂指数 α 与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于 y = x ^ { - 1 } 或 y = x ^ { / { 1 } { 2 } } 或 y = x ^ { 3 } 的图象)来判断.
② 幂函数的图象特征与指数的大小关系，可以通过幂函数的图象与直线 \scriptstyle x = 2 或 \scriptstyle x = { / { 1 } { 2 } } 的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴（简记为“指大、图低”)，在区间 ( 1 , + ∞ ) 上，幂函数中指数越大，图象越远离 x 轴[不包括幂函数 y = x ^ { 0 } ( x \neq 0 ) ]

变式②(1)如右图所示，图中的曲线是幂函数 y = x ^ { n } 在第一象限的图象，已知 n 取± 2 , ± / { 1 } { 2 } 四个值，则曲线C _ { 1 } , C _ { 2 } , C _ { 3 } , C _ { 4 } 对应的 n 的值依次为

（ ）

(2)若幂函数 f \left( x \right) = \left( m ^ { 2 } - 4 m + 4 \right) x ^ { m - 2 } 在（0,+ ∞ )上单调递增，则 m = （ ）

A.3 B.1或3 C.4 D.4或6

探究点三 幂函数的性质及其应用

典例③比较下列各题中两个数的大?。?/p>

山 { \Big ( } { / { 2 } { 5 } } { \Big ) } ^ { / { 1 } { 2 } } 与 { \bigl ( } { / { 1 } { 3 } } { \bigr ) } ^ { / { 1 } { 2 } } ; (2) \big ( - / { 2 } { 3 } \big ) ^ { - 1 } 与 \big ( - / { 3 } { 5 } \big ) ^ { - 1 } （204【点睛】 ① 比较幂大小的三种常用方法.

(i)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
(ii)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再运用单调性比较大小.
（iii)中间量法：当底数不同且幂指数也不同（或不易化为相同底数或指数）时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的.
② 利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题：比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小.

变式③比较下列各题中两个数的大小：

3 2 1 . 8 ^ { - / { 2 } { 3 } } (1)1.5（3)(） * ^ { \left( / { 3 } { 1 0 } \right) ^ { - 0 . 4 } }

典例求满足 \left( a + 3 \right) ^ { - / { 1 } { 5 } } < \left( 5 - 2 a \right) ^ { - / { 1 } { 5 } } 的实数 \mathbf { \Delta } _ { a } 的 取值范围.

变式4若 \left( 3 a + 1 \right) ^ { - / { 2 } { 3 } } < \left( 3 - a \right) ^ { - / { 2 } { 3 } } ,求实数 a 的取值范围.

【点晴】由幂函数性质求参数范围时，应注意当 α 取不同的有理数时，幂函数 y = x ^ { α } 的定义域的变化.具体如下.① 当 { \boldsymbol { α } } \in \mathbf { N } ^ { * } 时，定义域为 bf { R }
② 当 \scriptstyle α = 0 时，定义域为 \{ x \mid x \in \mathbf { R } ，且 \scriptstyle x \neq 0 \}
③ 当 α 为负整数时，定义域为 \{ x \vert x \in \mathbf { R } ，且 \scriptstyle x \neq 0 \}
另外， a ^ { - { / { m } { n } } } = / { 1 } { sqrt [ n ] { a ^ { m } } }

随堂检测

1.下列函数中是幂函数的是{ A } . y = x ^ { 2 } - 1 { B } . y { = } 0 . 3 x { C } _ { * y } { = } sqrt { 2 x } （204号 { D } . y = x ^ { 0 . 3 } （204号

2.若函数 f \left( x \right) 是幂函数，且 f \left( 9 \right) = 3 f \left( 1 \right) ，则f ( 3 6 ) = （）

A.a<b<c<d B.b<a<c<d C.a<b<d<c D.b<a<d<c

A.4 B.5 C.6 D.7

4.0.33 \phantom { - } 0 . 2 ^ { / { 1 } { 3 } } .(填 > ”或“ \ c = "或“<”)

3.下图是四个幂函数在第一象限内的图象，则（

教考衔接

函数 f ( x ) = a x + { / { b } { x } } 的图象与性质

总结延伸函数 f ( x ) = a x + { / { b } { x } } 是高考常考的一类函数，如 \scriptstyle y = x + { / { 1 } { x } } , y = x - { / { 1 } { x } } 其图象与性质如下表所示.

【溯源】教材第86页习题第8题：

8.(1)根据函数单调性的定义证明函数 y = x + / { 9 } { x } 在区间 [ 3 , + ∞ ）上单调递增.

(2)讨论函数 \scriptstyle y = x + { / { 9 } { x } } 在区间 ( 0 , + ∞ ) 上的单调性.

(3)讨论函数 \scriptstyle y = x + { / { k } { x } } 心 * k > 0 ）在区间（0，+ ∞ )上的单调性.

教材第92页“探索与发现”：探索函数 _ { y = x + / { 1 } { x } } 的图象与性质.

教材第101页复习参考题第12题：

12.试讨论函数 \scriptstyle { y = x - { / { 1 } { x } } } 的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.

链接高考（1)(2020年天津卷)函数 \scriptstyle y = { / { 4 x } { x ^ { 2 } + 1 } } 的图象大致为(2)(2020年全国Ⅱ卷)设函数 f ( x ) = x ^ { 3 } - { / { 1 } { x ^ { 3 } } } f ( x )

A.是奇函数，且在 ( 0 , + ∞ ) 上单调递增 B.是奇函数，且在 ( 0 , + ∞ ) 上单调递减C.是偶函数，且在 ( 0 , + ∞ ) 上单调递增 D.是偶函数，且在 ( 0 , + ∞ ) 上单调递减

3.4 函数的应用（一）

学习目标

1.在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.
2.重点提升数学建模、数学运算、逻辑推理素养.

知识梳理

1.常见函数模型

【解读】函数的应用，主要是指用函数的有关知识解决实际问题.常见的问题有运用解析式、挑选解析式、建立解析式、设计解析式等，可见解析式居于相对核心的位置，因此常见函数模型及其对应解析式要熟练掌握，相关的技巧、方法等都要能熟练运用，这是解决函数应用问题必须具备的能力.

2.解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论，(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示为：

合作探究

探究点一 一次函数模型

典例①某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元.该商店现推出两种优惠办法： ① 买一个茶壶赠送一个茶杯; ② 按购买总价的 92 % 付款.

某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数)，若购买茶杯数为 x （个），付款数为 y （元），试用两种优惠办法分别建立 y 与 x 之间的函数解析式，并指出如果顾客需买40个茶杯，应选择哪种优惠办法.

【点晴】用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点.

原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么、设什么、列什么”的原则来处理，求解过程也较简单.
关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题，可先结合图象利用待定系数法求出解析式，对于一次函数 y = a x + b ( a \neq 0 ) ，当 a > 0 时为增函数；当a<0时为减函数.另外，要结合题目理解(0,6)或（一，0)这些特殊点的意义.

变式①某车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元.若设自行车停放的辆次为 x ，总保管费为 y 元

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式;

(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于 2 5 % ，但不大于 40 % ，求该车管站这个星期日最大的总保管费.

探究点二 二次函数模型

典例②为了?；せ肪?，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月都有处理量，且处理量最多不超过 3 0 0 { ~ t ~ } ，月处理成本 y (元)与月处理量 x \left( \mathfrak { t } \right) 之间的函数关系可近似地表示为 y = x ^ { 2 } - 2 0 0 x + 4 0 ~ 0 0 0 ，且处理 x { ~ t ~ } 二氧化碳可得到价值为 3 0 0 x 元的化工产品(1)设该单位每月获利为 S (元)，试写出 s 与 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围；
(2)若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
(3)该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【点睛】形如 y = a x ^ { 2 } + b x + c \left( a \neq 0 \right) 的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题.

变式②为了落实"提速降费"的要求，某市移动公司计划下调移动用户的消费资费.已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降 x % ( x { > } 0 ) ,则用户人数会增加 / { x } { 8 } 万人.若要保证该公司月总收入不减少，则 x 的取值范围是

探究点三 分段函数模型

典例③某冰雪装备生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产 x 千件，需另投入成本 C ( x ) 万元.经计算，若年产量 x 低于100千件，则产品成本 C \left( x \right) = / { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 1 0 x + 1 \ 1 0 0 年产量 x 不低于100 千件，则产品成本 C ( x ) = 1 2 0 x + { / { 4 \ 5 0 0 } { x - 9 0 } } - 5 \ 4 0 0 .每千件产品售价为100万元.假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润 L ( x ) (万元)关于年产量 x 的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【点晴】 ① 实际问题往往是复杂的，许多实际问题都要使用分段函数模型求解.
② 解分段函数模型要注意定义域区间的分界点，
③ 含有参数的实际应用题要注意分类讨论.
④ 建立分段函数模型求解，关注以下两点.
(i)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.
(ii)分段函数的最值是各段的最大（或最小）值中的最大（或最小）值.

变式③【多选题】某市出租车收费标准如下：起步价为10元，起步里程为 3 ~ { k m } （不超过 3 ~ { k m } 按起步价付费);超过 3 ~ { k m } 但不超过 8 ~ { k m } 时，超过部分按每千来2元收费；超过 8 ~ { k m } 时，超过部分按每千米3元收费.下列结论中正确的是 （）

A.出租车行驶 2 ~ { k m } ，乘客需付费10元
B.出租车行驶 1 0 ~ { k m } ，乘客需付费24元
C.某人乘出租车行驶 5 ~ { k m } 两次的费用超过他乘出
租车行驶 1 0 ~ { k m } 一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费32元，则此次出租车行
驶了 1 2 ~ { k m }

随堂检测

1.某停车场规定：停车时间在 3 { ~ h ~ } 内，车主需交费5元，若停车超过 3 { ~ h ~ } ，每多停 ^ { { ~ 1 ~ h ~ } } ，车主要多交3元，不足 ^ { { ~ 1 ~ h ~ } } 按 ^ { rm { 1 h } } 计算.一辆汽车在该停车场停了7 . 5 { ~ h ~ } ，则在离开时车主应交的停车费为 （）

A.16元 B.18元 C.20元 D.22元

2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 \scriptstyle y = \left\{ { 2 x + 1 0 , 1 0 < x <=slant 1 0 0 } \right. 4x，1≤x≤10， ,其中 x (1.5x，x>100,

代表拟录用人数， y 代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用 （）

A.15人 B.25人C.40人 D.70人

3.某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量 y (单位：件)与销售价格 x （单位：元)之间满足关系式 y = - 1 0 x + 5 0 0 ( 2 0 < x <=slant 4 0 , 且 x \in N)，则该灯具商店每月的最大利润为 元.

章末整合(三)

知识构建

要点整合

要点一 函数的概念及其表示

1.理解函数的概念，要紧扣函数的三要素：定义域、对应关系、值域.判断两个函数是否相同，主要看定义域、对应关系是否相同，这是因为，若定义域、对应关系相同，则值域必然相同.

2.函数的表示方法，主要有解析法、列表法、图象法.求函数的解析式，主要利用待定系数法、换元法、解方程组法.

3.分段函数是一个函数，而不是若干个函数.解决分段函数问题，一是要注意在各区间内分段讨论;二是要注意数形结合.

题组一

1.某天凌晨，小明开始发烧.早晨他烧得比较厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常.下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降，直到半夜才感觉身上不那么烫了.下列各图中，能大致反映出小明这一天（0时 { ~ } 2 4 时)的体温随时间变化情况的是 （ ）

2.【多选题】下列说法中正确的是 一

A.函数 \scriptstyle y = f ( x ) 的图象与直线 \scriptstyle x = 1 的交点个数不超过1个
B.函数f(x)=x-1,g(x）=2 表示的是同一个函数
C.若函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 3 ] ，则函数 g ( x ) = / { f ( x ^ { 2 } - 1 ) } { x ^ { 2 } - 1 } 的定义域为[-2,-1)U(1,2]
D.若函数 f ( { sqrt { x } } - 1 ) = x - 3 { sqrt { x } } ，则 f ( x ) = x ^ { 2 } - x - 2 ( x { >=slant } - 1 )

3.(2024年上海春季高考卷)已知函数 f \left( x \right) = x ^ { 2 } .g \left( x \right) = \left\{ { - f \left( { - } x \right) , x { >=slant } 0 , } \right. 则满足 g \left( x \right) { <=slant } 2 - x 的（20x 的取值范围是

要点二 函数的基本性质

1.利用定义证明函数的单调性，一般分四步：取值、作差、定号、结论.判断函数的单调性，常用定义法（或定义等价形式）、性质法、同增异减法(对于复合函数)、图象法等.

2.常利用函数的单调性求最值、比大小、求参数、解不等式等，在研究这些问题之前，注意先确定函数的定义域.

题组

1.下列说法中正确的有

A.若函数 f \left( x \right) 的定义域为 bf { R } ，且满足 f \left( 1 \right) <
f ( 2 ) ，则 f ( x ) 是增函数
B.若 f ( x ) , g ( x ) 分别是定义域为 bf { R } 的奇函数和偶
函数，则 h \left( x \right) = \vert f ( x ) \vert g ( x ) 是奇函数
C.函数 f ( x ) { = } x { - } { / { 6 } { x } } 在 [ 1 , 3 ] 上的最大值为－1
D.若函数 f ( x ) = - x ^ { 2 } + k x 在区间[1,3]上具有单
调性，则 k { <=slant } 2 ，或 k { >=slant } 6

2.已知 f \left( x \right) 是定义域为 bf { R } 的奇函数，且 f ( x ) 在( - ∞ , 0 ) 上单调递增， f ( 1 ) = 0 ，则 x f ( x ) { >=slant } 0 的解集为 （）

{ A . } [ - 1 , 0 ] \cup [ 1 , + ∞ ) B.[-1,1] { C } . ( - ∞ , - 1 ] \mathsf { U } [ 1 , + ∞ ) \operatorname { D } . ( - ∞ , - 1 ] \cup [ 1 , + ∞ ) \cup \{ 0 \}

3.已知 f \left( x \right) = / { a x + b } { 4 - x ^ { 2 } } 4-x2，x∈（-2,2）是奇函数，且f ( - 1 ) = - { / { 1 } { 3 } } .

(1)求 f ( x ) 的解析式；(2)判断 f ( x ) 的单调性，并用定义证明；(3)解不等式 f ( 3 x - 1 ) - / { 1 } { 3 } > 0 .

要点三 幂函数

1.判断一个函数是否为幂函数，主要看它是否是{ \mathfrak { y } } = _ { { X } ^ { α } } ( _ { α } 为常数)的形式.幂函数的图象恒过点(1,1).

2.幂函数的图象与 α 的值关系密切，当 α { > } 0 时，函数的图象在第一象限上升，且过原点；当 α { < } 0 时，函数的图象在第一象限下降，但不过原点.

题组目

1.如下图,已知幂函数 y = x ^ { / { p } { q } } （ \mathbf { \nabla } _ { \boldsymbol { P } } , q \in \mathbf { Z } ，且 \phi , q 互质)的图象关于 y 轴对称，则 （ ）

A. \phi , q 均为奇数，且 / { \ d p } { \ d q } > 0 B. q 为偶数， \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \phi } } } _ { { P } } 为奇数，且 \scriptstyle { / { p } { q } } < 0 { C } . q 为奇数， \boldsymbol { \mathscr { p } } 为偶数，且 / { \ d p } { \ d q } > 0 D. q 为奇数， \boldsymbol { \mathscr { p } } 为偶数，且 \scriptstyle { / { \boldsymbol { p } } { \boldsymbol { q } } } < 0

2.【多选题】已知幂函数 y = f ( x ) 的图象经过点（2，sqrt { 2 } ),则下列命题中正确的是 （ ）

A. f ( x ) 为非奇非偶函数
B. f ( x ) 的值域是 ( 0 , + ∞ )
C.若 \scriptstyle 0 < x _ { 1 } < x _ { 2 } ，则 / { f ( x _ { 1 } ) + f ( x _ { 2 } ) } { 2 } < f \big ( / { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } \big )
D.函数 g \left( x \right) = [ f \left( x \right) ] ^ { 2 } + / { 1 } { \left[ f \left( x \right) \right] ^ { 2 } } 在頭 ( 2 , + ∞ ) 上
单调递减

要点四 函数的应用

1.解决函数的应用问题，一般分四步：审题、建模、解模、还原.常用一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型及分段函数模型等.解题过程中，确定函数的解析式是关键，主要用待定系数法确定，

2.构建分段函数模型时，一是要注意问题的实际意义；二是要注意分段合理、不重不漏.

题组四

1.(教材题改编)下图中实线是某景点收支差额 y 关于游客量 x 的图象.由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图象用虚线表示.以下图象能直观反映上述事实的是 （）

2.某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行^ { rm { 1 h } } ，但不超过 2 0 \ { h } . 假设该设备每小时的平均耗电量C ( x ) （单位： \mathbf { k W } ) 与每天的运行时间 x （单位： \mathbf { h } ) 满足\Big | / { 3 6 0 } { x ^ { 2 } } - / { 1 1 2 } { x } + 1 0 , 1 { <=slant x } { <=slant } 1 0 , 如下函数关系：C(x)=18426，10<x≤20.x

(1)当 1 { <=slant } x { <=slant } 1 0 时，若该设备每小时的平均耗电量不超过 2 ~ { k W } ，求 x 的取值范围；
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及取最小值时设备当天的运行时间.

要点五 函数中的创新探究问题

因为函数的概念和性质具有一定的抽象性，所以在解决函数中的创新探究问题时，注意把抽象问题具体化，分析题目的考查目标，综合运用相关知识解题.

题组五

1.（2022年浙江卷）已知函数 f C : x ) = \lceil - x ^ { 2 } + 2 , x <=slant 1 \left\{ x + { / { 1 } { x } } - 1 , x > 1 \right\} 则 f { \big ( } f { \big ( } { / { 1 } { 2 } } { \big ) } { \big ) } = . （20 ;若当x \in [ a , b ] 时， 1 { <=slant } f ( x ) { <=slant } 3 ，则 b - a 的最大值是

2.(2025年八省联考)已知曲线 C : y = x ^ { 3 } - { / { 2 } { x } } ，两条直线 l _ { 1 } , l _ { 2 } 均过坐标原点 O , l _ { 1 } 和 C 交于 M , N 两点， l _ { 2 } 和 C 交于 P , Q 两点.若 \triangle { O P M } 的面积为sqrt { 2 } ，则 \triangle M N Q 的面积为

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