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核按钮高中数学 课时导学练必修一
目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念··
1.2 集合间的基本关系··· 3
1.3 集合的基本运算·· 5
第 1 课时 并集、交集 5
第2课时 补集及集合的综合应用 7
1.4充分条件与必要条件 9
1.4.1 充分条件与必要条件 9
1.4.2充要条件 11
1.5 全称量词与存在量词 13
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 15
第 1 课时 不等关系与比较大小 15
第2课时 不等式的性质 17
2.2 基本不等式 19
第 1 课时 基本不等式 19
第 2 课时 基本不等式的应用 21
2.3二次函数与一元二次方程、不等式· 23
第 1 课时一元二次不等式的解法 23
第 2 课时一元二次不等式的应用 25
微专题一不等式恒成立、能成立问题 26
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 27
3.1.1 函数的概念 27
第 1 课时 函数的概念 27
第2课时 函数概念的应用 29
3.1.2 函数的表示法 31
第 1 课时 函数的表示法 31
第2课时 分段函数 33
微专题二 题二函数的值域· 34
3.2 函数的基本性质 35
3.2.1 单调性与最大(小)值 35
第 1 课时 函数的单调性 35
第2课时 函数单调性的应用 37
第3课时 函数的最大(小)值 39
微专题三二次函数的最值 41
3.2.2 奇偶性 43
第1课时 奇偶性的概念 43
第2课时 奇偶性的应用 45
滚动训练1· 47
3.3 ’幂函数 49
3.4 函数的应用(一) 51
第四章 指数函数与对数函数
4.1指数 53
4.1.1 n 次方根与分数指数幂 53
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 ...55
4.2 指数函数 57
4.2.1 指数函数的概念 57
4.2.2 指数函数的图象和性质 59
微专题四 指数型复合函数· 60
4.3 对数 61
4.3.1 对数的概念 61
4.3.2 对数的运算 63
第 1 课时 对数的运算性质 63
第2课时 换底公式 65
4.4 对数函数 67
4.4.1 对数函数的概念 67
4.4.2 对数函数的图象和性质 69
微专题五 对数型复合函数· 71
4.4.3 不同函数增长的差异 73
4.5 函数的应用(二) 75
4.5.1 函数的零点与方程的解 75
4.5.2 用二分法求方程的近似解 77
4.5.3 函数模型的应用 79
专题六 函数图象的变换 81
专题七 函数图象的应用·· 82
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 83
5.1.1 任意角 83
5.1.2 弧度制 85
5.2 三角函数的概念 87
5.2.1 三角函数的概念 87
5.2.2 同角三角函数的基本关系 89
5.3 诱导公式 91
第 1 课时诱导公式二、三、四 91
第2课时诱导公式五、六 93
5.4三角函数的图象与性质 95
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象· 95
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质· 97
第 1 课时 周期性与奇偶性 97
第2课时 单调性与最值 99
第3课时 三角函数性质的综合应用·…···101
5.4.3 正切函数的性质与图象· 103
微专题八 函数的周期性与对称性· 105
微专题九 周期性、对称性与单调性的综合问题·：106
衮动训练2 107
5.5三角恒等变换· 109
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式109
第 1 课时 两角差的余弦公式·· 109
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式·：111
第3课时 两角和与差的正切公式··...．113
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
115
5.5.2 简单的三角恒等变换· 117
5.6函数 \scriptstyle y=A\sin(\omega x+\varphi) 119第1课时函数 \scriptstyle y=A\sin(\omega x+\varphi) 的图象119第2课时 函数 y=A\sin(\omega x+\varphi) 的性质及其应用· 121
5.7三角函数的应用 123
微专题十三角函数中的最值问题 125
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念
基础过关·
1.下列图象中，可以表示函数的图象的是 ( 1
2.集合 \{x\vert-1{<x<=slant5}\} 用区间可表示为 ( 1
A.(—1,5) B.[—1,5] C.(-1,5] D.[-1,5)
3.已知 f(√(x)-1)=x-1 ，则 f(2)= C 1
A.9 B.8 C.3 D.1
4.已知等腰三角形的周长为 40~cm ，底边长 y （单位：cm)是腰长 x （单位： cm )的函数,则该函数的定义域为 C
A.(10,20) B.(0,10) C.(5,10) D.[5,10)
5.【多选题】下图是函数 f(x) 的图象,则下列说法中正确的是 1
A.f(0)=-2 \operatorname{B}_{*}f(x) 的定义域为[一3,2]\operatorname{C}_{*}f(x) 的值域为[—2,2]D.若 f(x){=}0 ,则 x{=}(1)/(2) 或2
6.【多选题】下列对应关系中是从集合 P 到集合 Q 的函数的是 C ）
_{A.P=\mathbf{N},Q=\mathbf{N}^{*}} ，对应关系 f ：对集合 P 中的元素取绝对值与 Q 中元素对应
B.P=\left\{-1,1,2,-2\right\},Q=\left\{1,4\right\} ，对应关系 f x{\rightarrow}y{=}x^{2},x{\in}P,y{\in}Q
C.P=\left\{-1,1,2,-2\right\},Q=\left\{1,2,4\right\} ,对应关系 f x{\rightarrow}y{=}x^{2},x{\in}P,y{\in}Q
D P= （三角形〉， \scriptstyle Q=\{x\mid x>0\} ，对应关系 f ：对 P 中元素求面积与 Q 中元素对应
7.若函数 y=x^{2}-3x 的定义域为 \{-1,0,2,3\} ,则其值域为
8.已知区间 (4p-1,2p+1) ，则 \boldsymbol{\mathscr{p}} 的取值范围为
9.根据下列各图中的函数图象，写出各函数的定义域和值域.
10.(1)将数集 \{x\vert x^{2}+1{>}0\} 用区间表示.(2)求函数 f(x){=}(1)/(2)x^{2}{-}x{+}1,x{\in}[0,4] 的值域.
13.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 \scriptstyle y=x+{(8)/(x)} 来描述。
综合运用
11.【多选题】已知集合 M=\{-1,1,2,4\},N=\{1,2, 4,16），则下列四个对应关系中能构成从 M 到 N 的函数的是 ( ）
12.已知集合 A=\{1,2,3\} ， B=\{5,6\} ，则能建立个从 A 到 B 的函数；能建立 个从 B 到 A 的函数.
素养拓展
14.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“李生函数”.解析式为 y= x^{2}-2x+1 ,值域为{0,4,16}的“李生函数"共有（）
A.4个 B.5个 C.8个 D.9个
第2课时 函数概念的应用
基础过关
1.下列函数中，定义域为 bf{R} 的是 Y
2.下列四个函数中，与 y=2x 表示同一个函数的是
3.函数 f(x){=}(x^{0})/(√(x+2)) 的定义域为
4.若集合 \scriptstyle M=\left\{x{\Big|}y={(1)/(√(2x-1))}\right\},N=\left\{y{\Big|}y={(1)/(x)}\right\}
5.已知函数 f(x{+}1) 的定义域为 (-1,1) ，则 f(\left|x\right| ）的定义域为 ( ）
6.【多选题】下列各组函数中表示同一函数的是(
A.y{}=f(x) 与 y=f(x+1)
B{*}y{=}f(x),x{\in}\mathbf{R} 与 {\boldsymbol{y}}={\boldsymbol{f}}(t),t\in\mathbf{R}
C.f(x){=}{x}^{2} 与 g\left(x\right)=(x^{3})/(x)
D f(x)=|2x+1| 与 g(x){=}√(4x^{2)+4x+1}
7.(2022 年北京卷)函数 f(x)={(1)/(x)}+{√(1-x)} 的定义域是
8.已知全集 U=\mathbf{R} ，集合 A=\{x\mid√(x+3)>2\},B= \{y\mid y=x^{2}+2\} ，则 A\cap({\complement_{U}B})=.
9.已知函数 f(x)=√(x^{2)-4}+(1)/(x-7). (1)求 f(x) 的定义域；(2)求 f(-2)+f\Bigl((5)/(2)\Bigr) 的值；(3)当 a{>}6 时，求 f(a+1) 的值.
f(x){=}(2x+1)/(2x-1) 10.已知函数 (1)求 f\Bigl((1)/(3)\Bigr)+f\Bigl((2)/(3)\Bigr),f(0)+f(1). (2)猜想 f(x) 与 f(1-x) 有什么关系？并证明 你的猜想.
一综合运用·
11.若函数 f(x)=√(3-x)+√(1+x) ,则函数 f(x^{2}-
1)的定义域为 ( ）
A.(0,2) B.[-2,0)U(0,2] C.[-2,2] D.[0,2]
12.【多选题】若函数 f(x) 的定义域为 bf{R} ，且 f(x+ y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1 ,则（ ）
13.已知函数 y=(k x+1)/(k^{2)x^{2}+3k x+1} 的定义域为 bf{R} 求实数 k 的取值范围.
素养拓展
14.【多选题】德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于 x 的每一个值， y 总有一个完全确定的值与之对应，那么 y 是 x 的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个 \mathbf{\Psi}_{x} ，有一个确定的 y 和它对应即可，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.例如狄利克雷函数 D(x) ,即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数 D(x) 的性质中,正确的有 ( ）
A.D({√(2)})=1 B.D(x) 的值域为[0,1]C.D(x) 的定义域为 bf{R} D.D(x-1){=}D(x)
3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
·基础过关·
1.已知函数 y=f(x) 的图象如下图所示，则 f(x) 的定义域是 ( ）
A.R
B_{*}(-∞,1)\cup(1,+∞) C_{*}(-∞,0)\bigcup(0,+∞) D.(-1,0)
2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 s 与时间 \mathbf{\Psi}_{t} 的函数关系如下图所示，则 （）
A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点
3.已知函数 f(x) 的对应关系如下表，函数 g\left(x\right) 的图象如下图所示,则 f(g(3))= ）
| x | 0 | 1 | 4 |
| f(x) | 2 | 6 | 9 |
A.2 B.6 C.9 D.0
4.已知函数 f\left(x\right) 满足 f(x)+2f(-x)=x ，则f(1)= ）
A.-1 B.1 C.-{(1)/(3)} D.{/{1{3}}}
5.【多选题】下列结论中正确的是
x 有理数 无理数
A. 可以表示 y 是 x 的函数y 1 -1
B.函数 y=x ， x\in\left\{1,2,3,4\right\} 的图象是一条直线
C.函数 y=2x+1 不能用列表法表示y
D. 可作为函数 y=f(x) 的图象o
6.【多选题】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1~L~ 汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( ）
A.消耗 ^rm{\scriptsize1L} 汽油，乙车最多可行驶 5~km
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C.甲车以 80~km/h 的速度行驶 ^rm{\scriptsize1h} ，消耗 10~L~ 汽油
D.某城市机动车最高限速 80~km/h ，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
7.若函数 f(√(x)+1)=x-6 ，则 f(x)={.}
8.一个面积为 100~cm^{2} 的等腰梯形，上底长为 x{~cm} ，下底长为上底长的3倍.设它的高为 y\cm ，则 _y 关于 x 的函数为
9.求下列函数 f(x) 的解析式：
(1)f(x) 是一次函数，且满足 3f(x+1)-f(x)= 2x+9{;}
(2)f(x) 是二次函数，且 f(0)=1,f(x+1)- f(x){=}2x
10.作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
| (1) | x | -4 | -2 | 2 | 4 |
| y | 1 | -3 | 2 | 3 |
\left(2\right)\boldsymbol{y}=-(4)/(x),\boldsymbol{x}\in\left[-3,0\right)\bigcup\left(0,1\right]; (3)y=x^{2}+4x+1,x\in[-3,0]
综合运用
11.【多选题】已知函数 \scriptstyle y=f(x) 用列表法表示如下表：
| x | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | 3 | 4 | 2 | 3 |
若 * f(f(x)){=}x{-}1 ，则 x 可取 （
A.2 B.3 C.4 D.5
12.若函数 y=x^{2}-4x-4 的定义域为 [0,m] ,值域 为 \left[-8,-4\right] ，则 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是
13.根据下列条件，求函数 f(x) 的解析式：
(1)f(x)+2f(-x)=2x+3; (2)2f{\Big(}{(1)/(x)}{\Big)}+f(x)=x(x\neq0).
素养拓展
14.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以 x(t) (单位：万)表示，被捕食者的数量以 y\left(t\right) (单位：万)表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法中正确的是 （）
A.若 y(t_{1}){=}y(t_{2}) ，则 {\boldsymbol x}(t_{1})={\boldsymbol x}(t_{2})
B.若 y(t) 的值是先增加后减少的，则 x(t) 的值一定也是先增加后减少
C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，捕食者数量也会达到最大值
第2课时 分段函数
基础过关
综合运用
1.（2024年上海卷）已知 f\left(x\right)=\left\{sqrt[]{x},x{>}0,\right. 则f(3)= ( ）
2.下列给出的式子中，不是分段函数的是 ({A}.f(x)={\left\{\begin{array}{l l}{x^{2}+1,x>=1,}\\ {2x,x<1}\end{array}\right.}{B}.f(x)=|x| C.f(x)=\left\{{\begin{array}{l l}{2x^{+}3,x>=slant1,}\\ {x^{2},x<=slant1}\end{array}}\right.\quad\quadD.f(x)=\left\{x^{2}+3,x\ll0,\right.\quad
3.函数 f(x)=\vert x-1\vert+1 的大致图象是 ( ）
f\left(x\right)=\stackrel{\left\{x^{2}-4x+6,x\right\}}{\left\lfloor x+6,x<0,\right.} ≥0,4.已知函数 则不等式f(x){\>}f(1) 的解集是 ( ）
A _{*,(-3,1)}\cup(3,+∞) B_{*}(-∞,-1)\cup(2,3) C_{\bullet}(-1,1)\bigcup(3,+∞) \operatorname{D}_{*}(-∞,-3)\cup(1,3)
5.【多选题】已知函数 f(x)=\left\{{x^{2},-2<=slant x<1}\right. 则下列结论中正确的是 ( ）
\operatorname{A}.f(x) 的定义域为 bf{R} \operatorname{B}_{*}f(x) 的值域为 (-∞,4] C.若 f(x){=}2 ，则 x=-{√(2)} D \phantom{}0.f(x){<}1 的解集为 (-1,1)
6.已知 f\ (\ x\ )=\left\{\begin{array}{l l}{3x^{2}-5,x<0,}\\ {f(x-3),x>=0,}\end{array}\right. 则 f\ (\ 10\ )\ =
7.已知函数 \scriptstyle y=f(x) 的图象由右图中的两条射线和抛物线的一部分组成，则函数的解析式为 f(x)={.}
8.已知函数 f(x)=\operatorname*{min}\left\{-x^{2},x-2\right\},\operatorname*{min}\left\{a,l 表示 {\mathbf{α}}_{a,b} 中的最小者.
(1)求 f(0),f(4) 的值；
(2)求 f(x) 的解析式；
(3)求 f\left(x\right)>-4 的解集.
f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{{x^{2}-2a x-2,x<=slant2}}\\ {{}}\\ {{\qquad\left(x+(36)/(x)-6a,x>2.\right.}}\end{array}\right. 9.已知函数 若 f(x) 的最小值为 f(2) ,则实数 \scriptstyle a 的取值范围为 ( ）
A.[2,5] B.[2,+∞) C.[2,6] D.(-∞,5]
10.设函数 f\left(x\right)=\left\{√(x),0{<}x{<}1,\right. {√x,0<x<l，若f(m）= ， f(m+1) ，则 m=\_
11.为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户每月用水采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过 10~t~ 的部分为2.20元/t；超过10~t~ 不超过 18~t~ 的部分为2.80元/t；超过 18~t~ 部分为3.20元/t.
(1)试求居民月水费 y (元)关于用水量 x (t)的函数关系式.
(2)若某户居民6月份、7月份共用水 36~t~ ,且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6月份、7月份各用水多少吨？
素养拓展
12.【多选题】高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 x ，符号 [x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y=[x] 称为高斯函数.例如 \operatorname{I}[π]=3,[-1.08]=-2. 定义函数 f(x)=x- [x] ，则 （）
A. f(x) 的最大值为1
\operatorname{B}.f(x) 的最小值为0
C.y{=}f(x) 的图象与直线 y=/12 有无数个交点
D.f(x+1){=}f(x)
微专题二 函数的值域
1.已知函数 x2+1x∈[0,],则该函数的值域为
A.[1,2] B.[0,1] C.[2,3] D.[0,2]
2.下列函数中，值域为 (1,+∞) 的是
A.y=2x+1(x>0)\qquadB.y=x^{2}(x>0) C.y=2x\left(x{>}0\right)\qquadD.y=(1)/(\left|x\right|)
3.函数 f(x){=}(4)/(x{-)3}{+}x(x{>}3) 的值域为 ( 1
4.已知 f({√(1-2x)})=x-{√(1-2x)} ,则函数 f(x) 的值域为 ( ）
5.函数 f(x)=x^{2}+4x-6 的定义域为 [m,0] ,值域为 [-10,-6] ，则 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是 ( ）
A.[—4,0] B.[-6,-4] C.[-6,—2] D.[—4,—2]
6.已知函数 \begin{array}{r}{f\left(x\right)=x^{2}-x+1,x\in\left[1,2\right],g\left(x\right)=}\end{array} a x-1,x\in[-1,1] .若对于任意 x_{1}\in[1,2] ，总存在 x_{2}\in[-1,1] ，使得 g\left(x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) 成立,则实数\mathbf{\Omega}_{a} 的取值范围是 ( ）
7.函数 \scriptstyle y={√(1+x)}+{√(1-x)} 的值域为
8.求下列函数的值域：
(1)y={(5x-1)/(4x+2)},x\in[-3,-1],(2)y={(x^{2}-2x)/(x^{2)-2x+3}}; (3)y=x+{√(1-2x)},\qquad(4)y={(2x^{2}-x+2)/(x^{2)+x+1}}.
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
基础过关
1.函数 y=x^{2}+x+2,x\in(-5,5) 的单调递减区间为 ( ）
2.下列四个函数中，在 (0,+∞ )上单调递增的是( ）
3.已知 f(x) 是定义域为 bf{R} 的增函数， g\left(x\right) 是定义域为 bf{R} 的减函数，则下列函数中一定是增函数的是 ）
4.(教材题改编)甲：函数 f(x) 在 bf{R} 上单调递减;乙：十 |x_{1}{<}x_{2},f(x_{1}){>}f(x_{2}) ，则甲是乙的 （）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.【多选题】下列说法中正确的是 （
A.若存在 x_{1} {\bf\Phi}_{1},x_{2}\in{\bf R} ，当 x_{1}<x_{2} 时，有 f(x_{1})< f(x_{2}) ，则 f(x) 在 bf{R} 上单调递增f(x){=}{(1)/(x)}
B.函数 在定义域内单调递减
C.函数 f\left(x\right)=x^{2}-2x+3 的单调递增区间是[1,+∞)
D.不等式 x^{2}-2x+1{>=slant}0 的解集是R
6.【多选题】（教材题改编)已知函数 f(x){=}(3{-}x)/(x+1) ，则( ）
A. f(x) 在 (-1,+∞ )上单调递减 \operatorname{B}_{*}f(x) 在 (-1,+∞) 上单调递增 \operatorname{C}_{*}f(x) 在 (-∞,-1) 上单调递减 D. f(x) 在 (-∞,-1) 上单调递增
f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l l}{x^{2}+x,x<=slant0}\\ {\qquad\hfill\left((1)/(x),x>0\right.}\end{array}\right. ，7.函数 的单调递减区间是
8.函数 f(x){=}√(x^{2)-2x{-}3} 的单调递增区间为
9.根据下列函数 y=f(x) 的图象（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性：
10.根据定义,判断函数f(x)=2 在区间[2,3]上的单调性.
综合运用
11.函数 \scriptstyle{y=x+{√(x+1)}} 的单调递增区间是
12.函数 f\left(x\right)=x\mid x-2\mid 的单调递增区间为
13.已知函数 f(x)=x^{2}+{(2)/(x)}
(1)判断 f(x) 在 (1,+∞ )上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求 f(x) 的单调区间.
素养拓展
14.已知函数 f\left(x\right)=a x^{2}+2. 若对于任意 1{<x_{1}<} x_{2}<2 ,都有 (f(x_{1})-f(x_{2}))/(x_{1)-x_{2}}{>}-2 ,则实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围是 ( ）
第2课时 函数单调性的应用
基础过关
1.若函数 f(x) 是定义域为 bf{R} 的增函数,则 ( J
2.若函数 f(x)=(m-1)x+b 是定义域为 bf{R} 的增函 数，则 1
3.函数 f(x)=x^{2}+(a+3)x+1 在区间 (-∞,3] 上单调递减，则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是 ( ）
4.已知函数 f(x)={\left\{\begin{array}{l l}{x,x<1,}\\ {x^{2},x>=1,}\end{array}\right.} 则不等式 f(-1)> f(x{-}1) 的解集是 C ）
A.(0,+∞) B.(-0∞,0) C.(-2,1) D.(-1,2)
9.已知函数 y=f(x) 在 [0,+∞ )上单调递减，比较f{\Bigl(}{(3)/(4)}{\Bigr)} 与 f(a^{2}-a+1) 的大小.
5.已知函数 y=f(x) 是 bf{R} 上的增函数,且 a+b>0 ，则 （ 0
6.【多选题】已知函数 f(x)=a x^{2}-2a x+2(a>0) ，则 ( ）
7.已知函数 y=f(x) 是定义域为 (-1,3) 的减函数， 且 f(2a-1){<}f(2-a) ，则实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围是
f(x)=\left\{{\begin{array}{l l}{(a-3)x+a+2,x<}\\ {-a x^{2}+x,x>=slant1}\end{array}}\right. 1 8.若函数 在（一∞， +∞ )上单调递减，则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围为
10.已知函数 f(x)={(x)/(x^{2)+1}},x\in[1,+∞).
(1)根据函数单调性的定义证明 f\left(x\right) 在区间[1,+∞ )上单调递减；
(2)若 f(a^{2}){>}f(2a+3) ，求实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围.
综合运用
11.【多选题】已知函数 f(x)={√(1-a x)} 在[2,3]上单调递减，则 \mathbf{α}_{a} 的取值可以是 ( ）
A.{(1)/(12)} B.{(1)/(6)} C.(1{3}} D.{/{1)/(2)}
12.已知函数 f(x)=\left|x-a\right| 在区间[0,4]上具有单 调性，则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是
13.已知二次函数 f(x)=a x^{2}+b x+c\left(a,b,c\in\mathbf{R}\right) 只能同时满足下列三个条件中的两个：①f(x)<0 的解集为 \{x\mid-1{<x<3}\} 中 ②a=-1 ；③f(x) 的最小值为一4.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求f(x) 的表达式；(2)解关于 x 的不等式 f\left(3x^{2}+2x+2\right)> f(-2x^{2}+4x-5).
素养拓展
14.已知定义域为 (0,+∞) 的减函数 f\left(x\right) 满足f(x y){=}f(x)+f(y) ，且 f(2)=-1 ，则不等式f(x+2)+f(x+4)>-3 的解集为
第3课时 函数的最大(小)值
基础过关
1.设函数 f(x)=x-{(1)/(x)} ，则 f(x) 在 [1,+∞] )上的最小值为 ( ）
A.0 B.2 C.-1 D.-2
2.函数 y={(x+2)/(x-1)}(x\neq1) 在区间[2,5)上的最大值、最小值分别是 ( ）
A.{(7)/(4)},4 B.无最大值，最小值为7C.4,0 D.最大值为4,无最小值
3.函数 y=\left\{{\begin{array}{l}{2x+3,x<=slant0,}\\ {x+3,0<x<=slant1}\\ {-x+5,x>1}\end{array}}\right. ,的最大值是 ( ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.函数 y=-{√(1-2x)} 的值域为 （
5.【多选题】已知函数 f(x) 的定义域是[一2,4]，且f(x) 在区间 [-2,1] 上单调递增，在区间[1,4]上单调递减,则 （）
A.f(1){>}f(4)\qquadB.f(-2){=}f(4) C_{*}f(-1){<}f(2) \ensuremath{D}\ensuremath{:}f(\ensuremath{\boldsymbol{x}}) 的最大值为 f(1)
6.【多选题】下列函数中，最小值为2的是 ( 1
7.关于 x 的不等式 x+{(1)/(x)}>a 在(1,2)上恒成立,则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是
f(x)=\left\{_{x+(1)/(x),x>0.}^{-x+a,x<=slant0}\right. 8.设函数 若 f(0) 是 f(x) 的最小值,则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是
9.已知函数 f(x)=\left\{x^{2},-1<x<=slant2,\right.
(1)求 f(3),f(f(-1)) 的值；(2)画出这个函数的图象，并写出 f(x) 的最大值，
10.已知函数 f(x)=x+{(m)/(x)} ，且 f(2)=4 ，
(1)求实数 \mid m 的值；
(2)判断 f(x) 在 [2,+∞ )上的单调性，并证明你的结论；
(3)求 f(x) 在[3,4]上的最值.
综合运用
11.(2021年北京卷）已知 f(x) 是定义在[0,1]上的函数，那么“函数 f(x) 在[0，1]上单调递增”是“函数 f(x) 在[0,1]上的最大值为 f(1) ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.【多选题】已知函数 f(x){=}{\left\{}_{x^{2},x<= a,}^{x^{3},x>a,}\right.} 则
A.f(0){=}0
B.f(1){=}1
\operatorname{C}.f(x) 一定不存在最大值
D. f(x) 一定不存在最小值
13.某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为1百万件，每件销售价格为20元，成本为16元.今年计划投人适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量 P 百万件与年广告费用 x\left(0<=slant x<=slant 2)百万元满足 P=4-{(3)/(x+1)} x1现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的 (1)/(t)(t>0) 与原销售价之和.
(1)当投人广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求 \mathbf{\Psi}_{t} 的取值范围；
(2)若 t=4 ,则当投入多少百万元广告费该玩具厂获得最大利润.
素养拓展
14.已知 \operatorname*{max}\{a,b\} 表示 {\mathbf{α}}_{a},{\mathbf{α}}_{b} 中的最大者.若对任意{\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，函数 f(x)=\operatorname*{max}\{-x+3,x^{2}-4x+3\} 则 f(x) 的最小值是
微专题三 二次函数的最值
1.函数 y=x^{2}-2x+2 在区间[一2,3]上的最大值、最小值分别是
A.10,5 B.10,1C.5,1 D.以上都不对
2.已知函数 f(x){=}x^{2}-4x .若 f(x) 的定义域为[0,m]，值域为 *[-4,0] ，则 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是 ( ）
A.(0,2] B.(0,4]C.[2,4] D.[2,+∞)
3.（教材题改编）已知函数 y=x^{2}-2x+3 在区间[0m]上有最大值3，最小值2，则 \mid m 的取值范围是?
A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-0,2] D.[1,2]
4.已知定义域为 bf{R} 的函数 f(x) 满足 f\left(x+1\right)= 3f(x) ，且当 x\in(0,1] 时， \scriptstyle* f(x)=4x(x-1) ,则当x\in(-1,0] 时， f(x) 的最小值为 ( ）
A.-9 B.-3 C.{-}(1)/(9) D.-{(1)/(3)}
5.已知函数 f(x){=}{-}x^{2}+2m x+m\left(m\in\mathbf{R}\right). 当 x\in [一1,1]时,设 f(x) 的最大值为 M ，则 M 的最小值为 ( ）
A.{(1)/(4)} B.0
C.-{(1)/(4)} D.-1
6.【多选题】若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的值域为[k a,k b] ，则称 [k a,k b] 为 f(x) 的“ k 倍跟随区间".当 k=1 时，称 \left[a,b\right] 为 f(x) 的“跟随区间”下列结论中正确的是 ( >
A.[-2,2]是函数 f(x){=}2x 的“2倍跟随区间”B.若 [1,b] 为 f(x)=x^{2}-2x+2 的“跟随区间”,则b{=}2 C.函数 f(x)=1+{(1)/(x)} 存在“跟随区间”D.二次函数 f(x){=}{-}(1)/(2)x^{2}+x 存在"3倍跟随区间”
f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{-a x+1,x<a,}\\ {}\\ {(x-2)^{2},x>= a.}\end{array}}\right. 办7.(2022年北京卷)设函数 若f(x) 存在最小值,则 \mathbf{\Delta}_{a} 的一个取值为 ；a的最大值为
8.已知函数 f(x)=2x^{2}+m x+n 的图象过点（1,^{-1)} ，且满足 f(-2)=f(3) ：
(1)求 f(x) 的解析式.
(2)求 f(x) 在 [a,a+2] 上的最大值.
(3)若 x_{0} 满足 f\left(x_{0}\right)=x_{0} ，则称 x_{0} 为函数 y= f(x) 的不动点.函数 g\left(x\right)=f\left(x\right)-t x+t 有 两个不相等且都为正实数的不动点，求 \mathbf{\Psi}_{t} 的取 值范围.
3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
基础过关
1.函数 f(x)=x^{2}+{(9)/(1+|x|)} Y
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
2.函数 f(x){=}{(1)/(x)}{-}x 的图象关于
A.y轴对称 B.直线 y=-x 对称C.原点对称 D.直线 y=x 对称
3.已知 f(x) 为奇函数,且当 x{>}0 时， f(x)=x-2 ，则 f{\big(}-{(1)/(2)}{\big)} 的值为 ( ）
A.-(5)/(2) B.-{(3)/(2)} C.(3)/(2) D.{(5)/(2)}
4.设 f(x) 和 g\left(x\right) 分别是 bf{R} 上的偶函数和奇函数，则 Y
A.f(x)+\vert g(x) 1是偶函数B.f(x){-}\vert g(x) |是奇函数C \therefore\vert f(x)\vert+g(x) 是偶函数D. \vert f(x)\vert{-g(x)} 是奇函数
5.【多选题】若 y=f(x)\left(x\in\mathbf{R}\right) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 \scriptstyle y=f(x) 图象上的是( >
6.【多选题】下列判断中正确的是{A.}f(x)=(x-1){√((1+x)/(1-x))} 是偶函数{B}.f(x)=\left\{{\begin{array}{l l}{x^{2}+x\left(x<0\right),}\\ {-x^{2}+x\left(x>0\right)}\end{array}}\right. 是奇函数\scriptstyleC.f(x)={√(3-x^{2)}}+{√(x^{2)-3}} 是偶函数D f(x)={(√(1-x^{2)})/(|x+1|-1)} lx+1|-1是非奇非偶函数
7.已知 f\left(x\right)=x\mid2x+a\mid 是奇函数，则 a=
8.若 f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{{x^{2}+2x,x>=0,}}\\ {{-x^{2}+a x,x<0}}\end{array}}\right. 为奇函数，则 f(a)= (结果用数字表示).
9.已知函数 f(x)=x^{3}+{(2)/(x)}
(1)判断 f(x) 的奇偶性；
(2)求 f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(1)+ f(2)+f(3) 的值.
10.已知 y=f(x) 是定义域为 bf{R} 的偶函数,且当 x>=slant 0时， f(x){=}x^{2}-4x+1
(1)画出 y=f(x) 的图象；
(2)根据图象写出 \scriptstyle y=f(x) 的单调区间.
13.已知函数 f(x)={(x^{2})/(1+x^{2)}} (1)判断 f(x) 的奇偶性(2)求 f(2)+f{\Bigl(}{(1)/(2)}{\Bigr)},f(3)+f{\Bigl(}{(1)/(3)}{\Bigr)} 的值.
(3)证明： f(x)+f{\Bigl(}{(1)/(x)}{\Bigr)} 为定值.
综合运用
11.(2021年全国乙卷)设函数 f(x)={(1-x)/(1+x)} 1，则下列函数中为奇函数的是 ( ）
12.已知函数 f\left(x\right)=x^{2025}+a x^{3}+b x+1 ，且 f(-2\ 026)=10 ，则 f(2\ 026){=}
素养拓展
14.设 f(x) 是定义域为 bf{R} 的奇函数，对任意 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} 有 f{\bigl(}{(3)/(2)}+x{\bigr)}=-f{\bigl(}{(3)/(2)}-x{\bigr)} 若 f(1)=2 ,则 f(2)+ f(3)=\_\qquad.
第2课时 奇偶性的应用
基础过关
1.已知 f\left(x\right) 是定义域为R的偶函数，且 f(x) 在[0,+∞] 上单调递减，则 ( ）
A.f(3){<}f(-2){<}f(1) B.f(1){<}f(-2){<}f(3) C.f(-2){<}f(3){<}f(1) 一 ).f(3){<}f(1){<}f(-2)
2.已知函数 g\left(x\right){=}f(x){-}x ,其中 _{y}=_{g}(\boldsymbol{x}) 是偶函数，且 f(2)=1 ，则 f(-2)= ( ）
3.已知奇函数 f(x) 的定义域为 [a-4,a+2] ，当 x\in [a-4,0) 时 \mathbf{\nabla}* f(x)=-{(x)/(3)} 则 f(a)= ( ）
4.已知函数 f(x)=x^{3} ，则不等式 f(1-x){>}-f(1) 的解集为 ( ）
5.已知函数 f\left(x\right) 是定义域为 bf{R} 的偶函数，且在(-∞,0] 上单调递增.若 f(a){>=slant}f{\Bigl(}{(1)/(3)}{\Bigr)} ,则 \scriptstyle a 的取值范围是 ( ）
6.【多选题】已知 f(x) 是定义域为 bf{R} 的偶函数，且在(0,+∞) 上单调递减.若 x_{1}<0 ，且 x_{1}+x_{2}>0 ，则（）
A.f(x_{1}){\>}f(-x_{2})\qquadB.f(-x_{1}){\>}f(-x_{2}) C.f(-x_{1}){<}f(-x_{2})D.f(-x_{1}){<}f(x_{2})
7.设函数 f(x) 为奇函数，且在 (-∞,0) 上单调递减， f(-2)=0 ，则 x f(x){<}0 的解集为
8.已知函数 f\left(x\right) 是奇函数， g\left(x\right) 是偶函数，且f(x)+g(x)=3x+(2)/(x-2) x-2则 f(x)=
9.已知 f(x) 是定义域为 bf{R} 的偶函数，且当 x{<=slant}0 时，
f(x){=}x(x{-}1). (1)求 f(2) ；(2)求当 x{>}0 时， f(x) 的解析式.
10.已知定义域为 (-2,2) 的奇函数 f(x) 是增函数，且 f(3a-1)+f\left(a-1\right)<0 ，求实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围.
综合运用
11.【多选题】（2023年四省联考）已知 f(x) 是定义在bf{R} 上的偶函数， g\left(x\right) 是定义在 bf{R} 上的奇函数，且f(x),g(x) 在 (-∞,0] 上单调递减,则（）
\begin{array}{r}{A.f(f(1)){<}f(f(2))\quadB.f(g(1)){<}f(g(2))}\end{array} \begin{array}{r}{C.g(f(1)){<}g(f(2))\quadD.g(g(1)){<}g(g(2))}\end{array}
12.【多选题】已知定义域为 bf{R} 的函数 f(x) 的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①\forall x\in\mathbf{R} ，f(-x){=}f(x),{{\supset}}\forall x_{1},x_{2}\in(0,+∞) ，当 x_{1}\neq x2时,f(x)-f(x2) *{(f(x_{1})-f(x_{2}))/(x_{1)-x_{2}}}{<}0;③f(-1)=0. 下列选项中成立的是 ( ）
\A.f(3){\>}f(4)
B.若 f(m-1){<}f(2) ，则 m{<}{-}1 或 m{>}3
C.若 x f(x){>}0 ，则 x\in(-1,1)
D.3 m\in\mathbf{R} ，使得 f(x){<=slant}m
13.已知 f\left(x\right) 是定义域为 [-1,1] 的奇函数，且f(1){=}1, 若 \forall a,b\in[-1,1] ，当 a+b\neq0 时，{(f(a)+f(b))/(a+b)}>0.
(1)判断 f(x) 在 [-1,1] 上的单调性，并证明；
(2)解不等式 f{\bigl(}x+{(1)/(2)}{\bigr)}<f{\bigl(}{(1)/(x-1)}{\bigr)}
素养拓展
14.已知函数 f(x) 是定义在 (-2,2) 上的增函数，且f(x) 的图象关于点 (0,-2) 对称，则关于 x 的不等式 f(x)+f(x+2)+4>0 的解集为
滚动训练 1
（范围：3.1函数的概念及其表示 ~3.2 函数的基本性质)
一、单项选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共35分).
1.下列各组函数中，表示同一函数的是 (
2.函数 f(x)=√(x+4)+(1)/(x-1) 的定义域为 (
3.函数 y=f(x) 的图象如下图所示，其单调递增区间是 (
A.[—4,4] B.[—4,—3]U[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4]
4.小明离开家去学校上学，刚开始步行一段时间后感觉要迟到，改为跑步完成余下的路程.下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下面四个图象中较符合该学生走法的是 （）
5.已知函数 f(x+1) 的定义域为[—1,3],则 f(x^{2})
的定义域是
A.[—2,2] B.[0,4] C.[1,9] D.[0,8]
6.已知定义域为 bf{R} 的函数 f\left(x\right)+1 为奇函数,且f(-1)=-2 ，则 f(1)= （ ）
A.-2 B.0 C.1 D.2
7.已知二次函数 f(x)=a x^{2}+b x+c 的最大值为f(4) ，则 ( DA.f(5){\gg}f(2){>}f(8)\qquadB.f(8){>}f(5){>}f(2) C.f(8){\gg}f(2){>}f(5)\qquadD.f(2){>}f(8){>}f(5)
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共 12 分).
8.下列函数中，既是偶函数又在区间（0， +∞ )上单调递增的是 ( ）
9.已知函数 f(x) 的定义域为 \mathbf{R},f(x){>}f(x{-}1)+ f(x{-}2) ,且当 x{<}3 时， f(x)=x ，则 ( ）
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分).
10.已知函数 f(x) 为偶函数,且当 x{<}0 时， f(x)= _{x+1} ,则当 x{>}0 时， {},f(x)=\quad-
11.若函数 f(x)=(x-a)(x+2) 为偶函数，则实数a=
12.已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{(-a-5)x-2,x>=slant2,}\\ {x^{2}+2(a-1)x-3a,x{\<}2}\end{array}\right. 若对任意 x_{1},x_{2}\in\mathbf{R}(x_{1}\neq x_{2}) ，都有 *{(f(x_{1})-f(x_{2}))/(x_{1)-x_{2}}}{<}0, 则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是
四、解答题(本大题共3小题，共38分).
13.(10 分)已知函数f(x)=2+2lxl f(x){=}2{+}(x{-}2|x|)/(3)({-}2{<}x{<=}3)
(1)求 f(-1) 与 f(f(3)) ；
(2)用分段函数的形式表示 f(x) ；
(3)画出 f(x) 的图象，并写出 f(x) 的值域.
14.(13分)若二次函数 y=f(x) 图象的对称轴为x=1 ,最小值为一1,且 f(0){=}0 ，
(1)求 f(x) 的解析式；
(2)若关于 \mathbf{\Psi}_{x} 的不等式 f(x){>}m{-}2x 在 *[0,3] 上恒成立，求实数 \mid m 的取值范围.
15.（15分）已知函数 f(x){=}{(x)/(x^{2)+1}} x2+1'x∈[-1,1].
(1)判断 f(x) 的奇偶性并证明.
(2)证明： f(x) 在 [-1,1] 上单调递增，
(3)若实数 \mathbf{\Psi}_{t} 满足不等式 f(t-1)+f(2t){<}0 ，求 \mathbf{\Psi}_{t} 的取值范围.
3.3 幂函数
基础过关
1.已知下列函数： y=(1)/(x^{3)},y=2x+1,y=x^{3}+x,y= sqrt[4]{x^{5}} .其中是幂函数的有 ( ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.设 a\in\left\{-1,1,(1)/(2),3\right\} ,则使函数 y=x^{a} 的定义域为R,且为奇函数的所有 \mathbf{\Omega}_{a} 的值是 ( ）
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
3.已知幂函数 f(x)=(m^{2}+m-1)x^{m} 的图象与坐标轴没有公共点，则 f(2)= ( ）
A.{(1)/(4)} B{√(2)} C.2 D.2{√(2)}
4.已知幂函数的图象经过点 P\left(16,{(1)/(4)}\right) ,则该幂函数的大致图象是 （ >
5.(2025年上海春季高考卷）幂函数 y=x^{a} 在（0，+∞ )上是严格递减函数，且其图象过点 (-1 ，^{-1)} ，则 \mathbf{α}_{a} 的值可能是 ( ）
A.-{(2)/(3)} B.-{(1)/(3)} c./{1{3}} D.3
6.【多选题】关于幂函数 y=x^{α}\left(α\in\mathbf{R},α 是常数)，下列结论中正确的是 ( 1
A.幂函数的图象都经过原点（0，0)B.幂函数的图象都经过点(1，1)C.幂函数的图象有可能关于 y 轴对称D.幂函数的图象不可能经过第四象限
7.已知函数 f(x){=}(m^{2}-2m{-}2)x^{m^{2}+m+3} 是幂函数，且在 (0,+∞) 上单调递增，则实数 m=\_
8.若幂函数 f(x) 满足 \forall x>=slant0,f(x)=f(-x) ，且f(x){<}f(x{+}1) .写出一个 f(x) 的解析式： f(x)=
9.比较下列各题中两个数的大小：(1) 2.5^{-3} 与 3.1^{-3} ；(2) 1.7^{(3)/(2)} 与 1.6^{(3)/(2)} ；(3) 3.1^{(2)/(5)} 与 3.8^{-(2)/(3)} ：
10.如下图,幂函数 f(x){=}x^{3m-7}\left(m\in\mathbf{N}\right) 的图象关于y 轴对称，且与 x 轴、 .{\boldsymbol{y}} 轴均无交点.
(1)求 f(x) 的解析式；(2)求不等式 f(x+2){<}16 的解集
综合运用
11.已知幂函数 f(x)=m x^{m-(1)/(2)} 满足条件 f(3-a)> f(a) ，则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是 ( ）
A.[0,1) B_{*}\left[0,(3)/(2)\right) C.\left[0,(3)/(2)\right] D.[0,3]
12.不等式 (2x+1)^{(2)/(3)}<(x-3)^{(2)/(3)} 的解集为
13.已知幂函数 f(x)=(k^{2}-2k-2){x^{m^{2}-2m-3}}(m\in \mathbf{N}^{*} )的图象关于 y 轴对称，且在 (0,+∞ )上单调递减.
(1)求 \mid m 和 k 的值；
(2)求满足 (a+1)^{-m}{<}(3{-}2a)^{-m} 的 \mathbf{α}_{a} 的取值范围.
素养拓展
14.已知 α\in\left\{-2,-1,-(2)/(3),0,(1)/(3),(2)/(3),1,2\right\} ，1,2}.若函数f(x)=x^{α} 满足当 x\in(-1,0)\cup(0,1) 时，f(x)>|x| 恒成立，则 α 的取值为 .（写出满足条件的所有取值)
3.4 函数的应用(一)
基础过关
1.(教材题改编）小明从家门口步行 20~min 到离家900~m 的书店，停留 10~min 后，用 15~min 返回家中.下图中能表示小明离家的时间 x (单位：min)与离家的距离 y （单位： \mathbf{m} )之间关系的图象是（）
2.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.已知某种茶叶的茶水温度 y （单位： \ensuremath{{}°C} )和泡茶时间 \mathbf{\Psi}_{t} （单位：y=\left\{(-10t+100,0<=slant t<=slant)/(t)\right. min)满足关系式y=250 若该茶水的最佳口感水温大约是 60~^{\circC} ,则泡茶时间为( >
A.1.5 min B.2 min {C.3\min} D.4 min
3.某企业一个月生产某种商品 \mathbf{\Psi}_{x} 万件时的生产成本为 C(x){=}x^{2}+2x+4 （万元），每件商品售价为22元，假设每月生产的产品能全部售完.当月所获得的总利润用e(x)（万元)表示,用() 表示当月生产商品的单件平均利润，则 ( ）
A.当生产10万件时，当月能获得最大总利润124万元
B.当生产10万件时，当月能获得最大总利润100万元
C.当生产2万件时，当月能获得最大单件平均利润12元
D.当生产2万件时，当月能获得最大单件平均利润16元
4.【多选题】甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到
公园的距离与乙同学家到公园的距离都是 2~km. 如图，表示甲同学从家出发跑步到乙同学家经过的路程 y （单位： km )与时间 x （单位： \mathbf{min}_{*} 的关系（中途在公园短暂休息），则 ）
A.甲同学从家出发到乙同学家跑了 30~min B.甲从家跑步到公园所用的时间是 15~min C.甲从家跑步到公园的速度比从公园跑步到乙同学家的速度快D.当 0≤x≤15 时,y与x的函数关系式为y=
5.【多选题】购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠，具体如下：
① 购物总额不超过50元，不给予优惠；
② 购物总额超过50元但不超过100元，可使用一张15元优惠券；
③ 购物总额超过100元但不超过300元，按标价给予8折优惠；
④ 购物总额超过300元，其中300元内的按第 ③ 条给予优惠，超过300元的部分给予7折优惠，
某人购买了部分商品，则下列说法中正确的是
( >
A.若购物总额为66元，则应付款为51元 B.若应付款为208元，则购物总额为260元 C.若购物总额为360元，则应付款为252元 D.若应付款为380元，则购物总额为500元
6.小杨准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作他用），根据市场调查，此汽车使用n(n\in\mathbf{N}^{*} ， \scriptstyle n<=slant8) 年的总支出为 (0.25n^{2}+0.25n) 万元，每年的收入为5.25万元.(1)此汽车从第几年起开始实现盈利？(2)此汽车使用多少年报废最划算？
① 利润 = 收入一支出； ② 出租车最划算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数）
综合运用
7.空气质量指数（AQI)是定量描述空气质量状况的指标.当AQI大于200时，表示空气重度污染（或严重污染），不宜开展户外活动.某地某天 0~24 时的空气质量指数 y 随时间 \mathbf{\Psi}_{t} 变化的趋势由函数y=\left\{{\begin{array}{l}{-10t+290,0{<=slant}t{<=slant}12}\\ {56{√(t)}-24,12{\<}t{<=slant}24}\end{array}}\right. 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为 ）
A.5~h~ B.6~h~ C.7 h D.8~h~
8.【多选题】（教材题改编）图1是反映某条公交线路收支差额 y 与乘客量 x 之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整建议，如图2、图3所示，则 （）
A.图2的建议是提高成本，并提高票价B.图2的建议是降低成本，并保持票价不变C.图3的建议是提高票价,并保持成本不变D.图3的建议是提高票价，并降低成本
9.某企业计划在2025年利用新技术生产一种新产品.通过市场分析，生产此产品全年需投人固定成本300万元，每生产 x (千件)产品，需另投入成本 \mathbf{\partial}* R({\boldsymbol{x}}) 万元，且
R(x)=\left\{\begin{array}{l l}{10x^{2}+200x,0<x<40,}\\ {\qquad~}\\ {801x+\displaystyle(10\ 000)/(x)-9\ 500,x>=40.}\end{array}\right. 由市场调研，知每件产品售价0.8万元，且全年内生产的产品当年能全部销售完.
(1)求2025年的利润 W(x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数关系式(利润 \circleddash 销售额一成本).
(2)2025年该产品产量为多少千件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
素养拓展
10.【多选题边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数 f(x) 的边际函数 M f(x) 定义为： M f(x)=f(x+1)-f(x) .某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产 x 台 (x\in\mathbf{N}^{*} )的收人函数为 R(x){=}3~000x{-}20x^{2} （单位：元)，其成本函数为 C(x)=500x+4~000 （单位：元），利润为收人与成本之差，设利润函数为 P(x) ，则
C >
A.当 P(x) 取得最大值时，每月的产量为63台
B.边际利润函数的表达式为 M P(x){=}2~480{-}40x (x\in\mathbf{N}^{*} >
C.利润函数 P(x) 与边际利润函数 M P\left(x\right) 不具有相同的最大值
D.边际利润函数 M P\left(x\right) 说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少
