该页无缩略图
云教研·星教师·新成长区域教研共同体流灌下的学习之花
区域教研共同体
DIGITALEMPOWERMENT 几何数的探究
目录 CONTENTS
是否有三角形数呢？
长方形数·
圆形数·
关于三角形数的相关资料的搜索与整理·
长方形和数与形中的关系·
三角形数··
“数形结合”的探究· 10三角形数的探讨 11探究三角形数· 12正方形数· 13数学广角一数与形 14数与形一三角形· 15“三角形数”的规律 16三角形数· 18世界上有三角形数吗？ 19数与形：有关三角形数的探究 ·21圆形数·· ·22圆形数··· ·23
是否有三角形数呢？
六（1）班126
我们在付老师的课堂中，学习了正方形数。但在下课后，刁老师向我们提出了一个问题，既然有正方形数，那会不会还有其他的数呢？比如梯形，三角形，长方形数。那今天我就来探索，看看有没有三角形数呢？
第1步：猜想
我的猜想是：既然有正方形数，那就一定会有三角形数，因为正方形和三角形都是一个平面图形，怎么可能没有规律呢？
第2步：探索
我用点来做画，先画出一个点，再增加两个点，变成一个三角形。再在他的两边增加三个。变成一个大一点的三角形。我再继续增加，但这次要增加4个。
通过仔细观察：第1个数 :1=1
第2个数 :3{=}1+2
第3个数 :6=1+2+3
第4个数 :10=1+2+3+4
由此我们可以得出：
第n个数 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+
n
第3步：得出结论
仔细观察，我们可以得出上面的三角形的个数等于从1开始加到第几个？例如第5个要从1开始加到5。
所以我们得到了一个发现：
每一个三角形数，都是从1加到N个自然数的和。我们写出公式就是：N乘以( \mathsf{N}{+}1 ）除以2的商是N三角数
三角形数的规律
三角形数的规律：第n个数等于n（ n+ 1））/2在这个科技迅速发展的时代，我们可以通过各种各样的资料来帮助自己，研究一些我们自己想要研究的一些知识。今天我们通过了三个步骤：猜想，探索，得出结论。来帮助自己发现了三角形数和得出了三角形数的规律。我的这篇论文到此结束，谢谢大家的观看。
数 学 小 故 事
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
长方形数
六（1）班白可馨
观察一下，下面的图和算式都有什么关系，把算式补充完整吧！
数的平方。（其实就是这个意思：从1开始的连续奇数相加，那么他们的和就是奇数个数的平方)这种数就叫——长方形数
例如
1+3+5+7=（4)1+3+5+7+9+11+13=（7)2
1= （）平方？1+3= （）平方？1+3+5= （）平方？首先，我们可以直接来数一数每个图中到底有多少个长方形！① 第一个有一个长方形，那么就是1的平方② 第二个有四个长方形，那么就是2的平方③ 第三个有九个长方形，那么就是3的平方
如果我们不用数的方法，那么我们可以怎样知道每个图中有多少个长方形呢?
现在我们先来观察一下吧：
第一个算式从1开始有4个连续的奇数相加，那么他们的和就是4的平方。
第二个算式从1开始有7个连续的奇数相加，那么它们的和就是7的平方。
那么，如果是下面这样的算式，我们该怎样去写呢？
我们可以把它分为两个部分：第一个部分是 1+3+5+7 ，有四个连续的奇数；第二个部分是 1++35 ，有三个连续的奇数。那么这个算式就等于4的平方加3的平方。
如果我们把第一个小长方形给去掉，像下面这样，这个是不是也是长方形数呢？
哦！我发现：算式左边的加数是每个长方形图左下角的小长方形和其他“一”形图中所包含的小长方形的个数，它们的和正好等于每个长方形图中每列小长方形个
所谓长方形数，就是一个长方形啊，可是呢，这里去掉了一个小长方形，下面就空了一块，它就不是一个长方形了，所以这个它就不是一个长方形数了！
谢谢大家的观看！
圆形数
六（1）班曾柔巽
圆形数，一种神秘而又美丽的数学现象，自古以来便引起了无数数学家的痴迷。它们如同夜空中闪烁的繁星，璀璨夺目。圆形数有哪些神奇的奥秘呢？下面就让我们一起探索圆形数的奥秘吧！
在遥远的古代，人们就已经发现了圆形数的存在。据史书记载，古希腊哲学家毕达哥拉斯曾研究过圆形数的问题，并将其视为神圣的数字。然而，直到16世纪，意大利数学家卡尔达诺才首次明确地提出了圆形数的概念。他认为，所有满足以下条件的正整数都是圆形数：
一个数可以表示为两个正整数之比的平方。例如，6、28和49都可以表示为圆形数，因为它们分别是3:5、6:8和7:9的平方。
随着科学技术的发展，人们对圆形数的研究也日益深入。在18世纪，法国数学家欧拉发现了一种特殊的圆形数——素数的平方是圆形数。例如，2、3、5、7等素数的平方都是圆形数。这一发现使得圆形数的研究进入了一个新的阶段。
在现代生活中，圆形数被广泛应用于各个领域。它们不仅是一种美丽的数学现象，还具有一定的实际意义。例如，在密码学中，圆形数被用来生成难以破解的密钥；在物理学中，圆形数则可以用来描述光的传播规律。此外，圆形数还激发了许多数学家进行更深入的研究，如代数几何、拓扑学等领域都与圆形数有着密切的关系。
然而，尽管圆形数的研究已经取得了丰硕的成果，但我们仍然对其知之甚少。这是因为
圆形数的数量庞大且分布广泛，要完全掌握它们的性质和规律是一项极为艰巨的任务。或许
只有在不断探索的过程中，我们才能逐渐揭开圆形数的神秘面纱。
在这个充满无限可能的世界里，圆形数以其独特的魅力吸引着无数人的目光。它们如同一颗颗璀璨的明珠，闪耀在数学的殿堂之中。作为学生的我们，定会沿着圆形数这个奥秘研究下去。
数 学 小 故 事
喝汤
从前，有个土财主从来没出过门。一天，他带了一些钱和一些吃的东西上了街，逛了半天，感觉非常饿，于是就吃了一些东西，可又感觉特别渴，便走进了一家汤店。他找了一个位置坐下，然后大声叫道：“小二，来碗鸡汤。”小二听了很快就端上了一碗香喷喷、热呼呼的鸡汤，并且对土财主说：“每碗十二文。”土财主冲着小二无所谓地说：“我有的是钱！”随即摸了摸自己的口袋，这时土财主呆住了，袋子底下竞然有个洞！他急忙把口袋翻了过来，还好有十文钱，可这账怎么算呢？他灵机一动，又大口大口地喝起汤来，直到快喝完了，小二走过来说：“请您付钱。”土财主甩出了十文钱。小二一看急了，说：“我刚刚不是说了一碗汤十二文，你怎么给我十文呢？土财主又冲着他说：“我的汤都喝了吗？没有！我只喝了十二分之十，一碗汤十二文，所以我给你十文呀！”说着，土财主拍着屁股走出了汤店，小二还傻乎乎地站在那儿想呢。
关于三角形数的相关资料的搜索与整理
六（1）班曾梓凌
今天，我们的数学老师刁老师教了我们图与形中的正方形数。在即将下课时，刁老师让我们在课余时上网搜索与正方形数有关的其他图形数，我选择的也就是今天我写的题目—三角形数。
1、开始搜索
2、在网上搜索到的资料
我先使用电脑在浏览器中搜索正方形数相关资料。在查阅资料时我了解到除了正方形数外，还有三角形数和五边形数及k边形数，这些数看起普通实则神奇无比。不过要想在这庞大的网络中找到完整的信息属实不易，但在我长达一个多小时的查找下也是找到了我认为比较全面的资料：
三角形数是一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，被称为三角形数。其实啊，早在古希腊时期就有以毕达哥拉斯为首的学派对三角形数进行了研究.毕达哥拉斯为首的学派的数学家们在沙滩上画点或用小石子表示数，他们对三角形数进行了系统的研究。他们发现三角形数具有某些规律，例如将三角形数1、3、6、10等进行观察，可以发现它们之间存在一定的递推关系。
根据这些规律，我们可以列举出更多的三角形数，如15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。进一步研究可发现，每五个三角形数中，有两个数可以被5整除。这样的规律在数列a中依次出现，如1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。
和其他数的关系
四面体数是三角形数在立体的推广。
两个相继的三角形数之和是平方数。
三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。
三角形数属於一种多边形数。
所有偶完美数都是三角形数。
任何自然数是最多三个三角形数的和。
3、相关数学家介绍
古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中萨摩斯岛（今希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。
因为向往东方的智慧，曾越过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国一一巴比伦和埃及（有争议），吸收了美索不达米亚文明文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了一个所谓“毕达哥拉斯学派”的政体。
毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点；因为他容许妇女（当然是贵族妇女而非奴隶女婢）来听课。他认为妇女也是和男人一样有求知的权利，因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所没有的现象。
数学家的故事——商高
商高，周朝数学家。数学成就据《周算经》记载，主要有三方面：勾股定理、测量术和分数运算。
《周牌算经》中记载了这样一件事—一次周公问商高：“古时作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？”商高回答说：“数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来。矩是根据乘、除计算出来的。”
这里的“矩”原是指包含直角的作图工具。这说明了“勾股测量术”，即可用 3:4:5 的办法来构成直角三角形。《周算经》并有“勾股各自乘，并而开方除之”的记载，说明当时已普遍使用了勾股定理。勾股定理是中国数学家的独立发明，在中国早有记载。《周算经》还记载了矩的用途：“周公日：大哉言数！请问用矩之道。商高日：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”
据此可知，当时善于用矩的商高已知道用相似关系的测量术。“环矩为圆”，即直径上的圆周角是直角的几何定理，这比西方的发现要早好几百年。
数学脑筋急转弯
买汽水
每瓶汽水卖1.00CNY，每2个空瓶即可以直接兑换1瓶汽水，问给你20.00CNY买汽水喝，最多能喝到几瓶？
1、买20瓶，喝20瓶，空10个瓶(20)2、20个空瓶换10瓶，喝10瓶，空10个瓶(10)3、10个空瓶换5瓶,喝5瓶,空5个瓶(5)4、5个空瓶换2瓶,喝2瓶,空3个瓶(2)5、3个空瓶换1瓶,喝1瓶,空2个瓶(1)6、2个空瓶换1瓶,和1瓶,空1个瓶(1)7、借1个空瓶，共2个空瓶，换1瓶喝掉，空瓶换人家(1)合计： 20+10+5+2+1+1+1=40\Ddot{\#} L
长方形和数与形中的关系
遵义市幸福小学陈欧圻
、提出问题
当我们学习了数学广角一—数与形后，我马上就联想到我们以前学习的“长方形”。既然数与形能与正方形产生规律，那么长方形是不是也可以像正方形一样产生一定的关系和规律。为了证实我的猜想是正确的，我便结合在学校的知识来研究长方形在数与形中的关系。
二、开始研究
我们在学习中知道了正方形在数与形的规律：
1.加数都是由奇数组成的。2.加数都是从1开始连续相加的。3.第n个算式有n个数相加，和式n个平方。
那么现在我们就以这些公式来推出长方形在数与形中的关系。
我们先在纸上画一个长为2cm,宽为1cm 的长方形，并标好长度。
然后在这长方形的四周再围上三个这样的长方形，我们就可以发现长方形的长扩大了两倍，长方形的宽都增加了1。是不是觉得和我们在课上学到的情况有一些相似了，但别先着急，我们接着围四周画下去。
当我们画好了3-4个示意图时，就可以观察到长方形的长不断增加两倍，而长方形的宽则一直增加1。
得到了这些信息，我们就可以开始分析。首先我们先从长方形的周长开始探究，在一开始的一个长方形的长和宽分别是1cm和2cmo
再加上三个相同的长方形所得到的大长方形的长和宽都增加了二，长为4cm宽为 2cm 。那一直算下去：第三个长方形的长为 6cm ，宽为 3cm 、第四个长方形的长为8cm ，宽为 4cm ·….·…观察到了这里，你会发现长方形的周长规律并不是我们一开始想得那样，长和宽都扩大了两倍。
那我们继续观察，可以发现：长方形的宽 x2= 长方形的长。那用字母表示：ax2=b 有了这个发现，我们就可以推出长方形在数与形中的规律了，首先长方形的宽的规律为：1、2、3、4.…可以发现这个数是怎么写也写不完的，就用n表示，同时长方形的长也用n表示。那求这种规律的长方形就可以例出公式： n2xn{=}S 0
就是表示长方形的宽 \mathbf{x}2= 长方形的长，第2个“n”表示长方形的宽，它们相乘后就等于长方形的面积。
数学脑筋急转弯
牛吃草
有一棵树，在距树7米的地方有一堆草，一头牛用一根3米的绳子拴着，最后这头牛把这堆草全吃光了，请问为什么？（注意：这头牛体长不足2米）
答案：牛没拴在树上
三角形数
同学们，你们知道什么是正方形数吗？
正方形数一般指平方数。平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如， 9=3x3 ，9是一个平方数。
查阅资料：正方形数就是图形数的一种，也叫平方数。平方数是可以表示某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。说起它来大家都很熟悉，如1，4，9，16.….…都是正方形数。结合图形来看，若n为正方形数，n个点就可以等距排列成一个正方形，如图所示：
正方形中有几个正方形排列的小点或者圆或者正方形等物体，物体总数就是正方形数。
数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如， 9=\begin{array}{l l l}{3}&{x}&{}\end{array} 3，它是一个平方数。
平方数也称正方形数，若n为平方数，将n个点排成矩形，可以排成一个正方形。
若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如，（2~x~2)~/~(3~x~3)=4/9=2/3~x~2/3 。
若一个整数没有除了1之外的平方数为其因子，则称其为无平方数因数的数。
0也是平方数。
知道了正方形数，那相反，会不会还有长方形数或者三角形数等其他的图形数呢？我也是这么想的。今天，我准备尝试着研究一下长方形数。
我的猜测：三角形数应该和正方形数差不多，因为“数”字的前面都是一个图形，中间应该会有着联系。
什么是三角形数？
第n个三角形数的公式是 n(n{+}1)/2 或者 [-1]/8 第n个三角形数是开始的n个自然数的和。
所有大于3的三角形数都不是质数。
开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例： 1+8+27+64=100 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} ）所有三角形数的倒数之和是2。
任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。一部分三角形数（3、10、21、36、
55、78···）可以用以下这个公式来表示：n x （2n +1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、6...….）则可以用n x (2n －1)来表示。
一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：
如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式 8Tn+1=S2n +1 。
特殊的三角形数55、5,050、500、500、50,005,000·..都是三角形数。
第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。
和其他数的关系
四面体数是三角形数在立体的推广。
两个相继的三角形数之和是平方数。
三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。
三角形数属於一种多边形数。
所有偶完美数都是三角形数。
谢谢大家！
数学王国
有一天，数学王国里的国王想要得到一种能使人们聪明的药水，便到处寻找勇士。麦斯看到了这则启事，便立即去应战。
国王出了一道难题：一个游客到旅馆去住，不慎钱包被偷，便准备拿自己的金手镯（如图）来抵押。因为金手镯是很宝贵的东西，所以锯开的时候，锯的次数一定要少。问，如果一天交一个，至少要锯多少次？
麦斯想了想说：“只要一次就够了。把从左数第三个环锯开，第一天交第一个环；第二天交第一、二两个环，换回第三个环；第三天交第三个环；第四天交四到七个环，换回第一到三个环；第五天交第三个环；第六天交第一、二个环，换回第三个环；第七天交第三个环。”国王和大臣听了，连连拍手叫好，当即下令让麦斯去当勇士。
麦斯知道数学魔堡有九九八十一层，不准备些干粮是会饿死的。于是，麦斯走到一个卖煎蛋的小店去买煎蛋。来到小店，麦思把事情告诉了老板，老板是个多嘴的人，他说：“如果你能回答我一个问题，我就可以送你所有的煎蛋，还可以带你去数学魔堡的最后一层。今天，老牛来我这儿买了一半加半个煎蛋，小猪来我这儿买了一半加半个煎蛋，现在我有3个煎蛋。问，我原有多少煎蛋？”
麦斯想：只能买一个，哪儿来的半个呢？但他后来才知道。原来只要按普通的算法来就行了[( 3+0.5)x2+0.5]x2=15(\min) ，我们来验算一下：老牛买去了一半（7.5个）加0.5个（8个），小猪买去了一半（3.5个）加0.5个（4个），最后，还剩下15－（ 8+4)=3 （个），所以是对的。
麦斯报出了答案，店主连忙给了他煎蛋，带他到了最顶层。
来到了顶层，一个巨大的怪兽对麦思说：“前面有三个门，上面各有一个牌子，只有一个是错的，而那个错的，才是真正的入口。我给你一次机会，选对了门，我让你进去；错了，可别怪我不客气。”
麦斯想了想，说：“如果第一个说假话，则上面写着‘我是真的入口’，那么后面两句都符合，有可能；如果第二个说假话，则上面写着‘第三个是真的入口’这句完全不符合，应被排除；如果第三个说假话，则上面写着‘第一个门在说真话”，而又和第二句不符合。因此，答案只能是第一个门。”说着走了进去，却发现里面只有一个纸条，上面写着：
恭喜你成功了，虽然里面并没有什么宝藏，但你经过了那么多考验，已经变得很聪明了。
数学魔堡的主人
麦斯回到了皇宫，把事告诉了国王。国王以为麦斯输了，便让1、2、3、4、5、6、7、8、9这九名士兵来抓麦斯，麦斯的0、1这两名朋友也来帮忙。麦斯让他们合成了10，把国王的军队打得落花流水，贪婪的国王也被赶下了台，受到了法律的处置。英勇的麦斯当上了国王，受到了人民的爱戴。
数学脑筋急转弯
烫衣服
小涵的妈妈熨烫衣服，一件衣服要五分钟，一条裤子要三分钟，现在有三件小衣服，一条裤子，小涵的妈妈要几分钟才能全部熨烫完？
答案：18分钟
“数形结合”的探究
遵义市幸福小学付钰淇
同学们，你们知道什么是数形结合吗？数形结合是数学中重要思想方法之一，数和形也是数学中两个最古老、最基本的研究对象，他们在一定条件下可以相互转化。数形结合的思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。
一、提出问题
当我们学习了数学广角一数与形后，我就联想到我们以前学习的长方形，既然数与形能与正方形产生规律，那么我想：是不是长方形也能像正方形那样产生一定的关系？为了证实我的猜想，我便结合在学校所学的知识来研究长方形和数与形中的关系。
二、深入研究
正方形在数与形的规律：
1、加数都是奇数。
2、加数都是从1开始依次往后相加。
3、第n个算式有n个数相加。
那么现在我们就以这些正方形在数与形的公式来推出长方形在数与形中的公式。
首先我们现在纸上画一个长为2厘米，宽为1厘米的长方形。然后在依次往长方形的四周围上三个一模一样的长方形，我们可以发现：长方形的长扩大了两倍，宽增加了1，越来越接近我们上课学到的情况。
从示意图中，可以观察到，长方形的长不断扩大两倍，而长方形的宽则一直增加1。
有了这些关于长方形与数与形的关系，我们可以接着分析。长方形的长和宽从一开始分别是2厘米和1厘米，再加上三个相同的长方形后第二个长方形的长增加了2，所以第二个长方形的长为4厘米，宽为2厘米。那一直算下去，第三个长方形的长就为6厘米，宽为3厘米，第四个长方形的长为8厘米，宽为4厘米
如果我们继续观察下去，就可以发现：长方形的宽乘二等于长方形的长也就是： \phantom{+}1x2=b 。有了这个发现，我们就可以推出长方形在数与形中的规律了，首先，长方形的宽的规律为1、2、3、4、5长方形的长的规律为2、4、6、8…可以看到这些数是写不完的，我们就用n表示，那求这种规律的长方形的公式就应该是：
s{=}_{n2} 乘n。就是表示长方形的宽乘二等于长方形的长，第二个n表示长方形的宽，它们相乘后就等于长方形的面积。
三、得出结论
数与形的规律不仅是正方形中，也可以体现在长方形甚至三角形、圆形、梯形等平面图形中。
四、我的感悟
总之，在学习的过程中，我们应该结合数与形，逐步领悟和掌握，为今后的数学学习打下牢固的基础！
三角形数的探讨
老师在星期五的数学课上讲了一个很有趣的课，叫做“数与形”。在这之间，我认识了一个新朋友：叫作“正方形数”。它可以无限变化，但不管它如何变化，都是正方形。后来，老师用“”来表示正方形数增加的正方形。
我发现，算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其它算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“一”形图中所包含的小正方形的个数，它们的和正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。例如：
C 4x4 的正方形)
从规律上来看： 1+3+5+7=4^{2}
我还发现，每一次相加，都是在每行都加一个数的基础上再加一行。
课后，我想，有正方形数，那有没有三角形数呢?带着这样的疑问，我对“三角形数”开始作一些查阅和了解。
三角形数的来源
毕达哥拉斯，是古希腊哲学家、数学家。他也是第一个发现三角形数与音乐之间有联系的人。他把1、3、6、10、15等叫做“三角形数”。
二、三角形数的规律
三角形数的规律看似很难，但是实际遵义市幸福小学六（1）班李政洲上只用一句话就能总结：在一定的数目下“例如,1、3、6、10、15....…·的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形而这个就是三角形数。它的公式也很简单，是 \scriptstylen=n(n+1)/2 ，n是指第n个三角形。
三、三角形数在生活中的应用
三角形数可以在统计学和概率论中应用。例如：可以使用三角函数来计算正态分布、傅里叶变换等。三角形数还可以计算距离和方向，还可以用来测出经纬度的准确位置。
其实，数学就在我们的生活中，只要我们去挖掘总能找到。正如这三角形数，如果当初人们没有1、3、6等数字能是三角形，也不会有现在伟大的发明。
数 学 小 故 事
燕子考青蛙
今天，我看一个故事，叫《燕子考青蛙》。故事是这样：一天，燕子对青蛙说：“咱们比一比谁的数学好。青蛙同意了。青蛙出题：上个星期一我吃了一只害虫，星期二吃了3只害虫，以后每天比前一天多吃两只害虫，问一星期共吃多少只害虫？燕子说”： 1+3=44+5=99+7=1616 +9{=}2525+11{=}3636{+}13{=}47 ，你一共吃了49只害虫。
青蛙说：“你考我吧。”燕子说：“上星期一我吃了两只害虫，星期二吃了4只，以后每天比前一天多吃2只害虫，问我一个星期....”“吃了56只害虫”。燕子没说完，青蛙已经说了答案。燕子说：“算得这么快！教教我速算的窍门吧”。青蛙让燕子画7个圈，然后按第一个圈放一只害虫，后面的圈比前一个圈多两只，它们的顺序是1、3、5、7、9、11、13，加起来是49，青蛙在每一个圈外各放一只害虫，再用49+7=56 燕子赞青蛙真聪明。
探究三角形数
六（1）刘让晨
在学习圆这一单元时，小付老师在课堂上提到漂亮正方形数，所谓正方形数，就是指在一个正方形中，有几个正方形排列的小点等物体，它的总数就是正方形数。
那么，既然有正方形数，会不会有长方形数，梯形数？带着这些疑惑，我做了以下研究：
一、我用小点在纸张上画出大小不一的三角形，如图（一)
我发现1—10中，1、3、6、10都可以组成一个三角形，那它们就是三角形数，经过网上的查询，我发现三角形数有很多，如：1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78等等，以及所有偶完美数都是三角形数。
三角形数还有一个规律，就是：如果把所有边形的数都整齐地从左到右写出来，就会发现，每一列的数间隔都一样，而且均为前一个三角形数，例如图（二）:
并且，三角形数还有一个秘密，任何自然数是最多三个三角形的和。
（图二）
现在，数学以经成为了生活中的一部分，我们要认真学习数学，因为数学的知识是无穷无尽的。
数 学 小 故 事
儿歌比赛
动物学校举办儿歌比赛，大象老师做裁判。小猴第一个举手，开始朗诵：“进位加法我会算，数位对齐才能加。个位对齐个位加，满十要向十位进。十位相加再加一，得数算得快又准。”小猴刚说完，小狗又开始朗诵：“退位减法并不难，数位对齐才能减。个位数小不够减，要向十位借个一。十位退一是一十，退了以后少个一。十位数字怎么减，十位退一再去减。”大家都为它们的精彩表演鼓掌。大象老师说：“它们的儿歌让我们明白了进位加法和退位减法，它们两个都应该得冠军，好不好？”大家同意并鼓掌祝贺它们。
正方形数
我们在这个单元学习了圆，在解题中，我又做了一道跟圆形数相关的题，在作业中，我们又做了一道关于三角形数的题。那么有没有其他图形数呢，让我们来看看吧在我们学习数学的时候，我们经常会遇到各种各样的数字，其中圆形数是我们最常见的一种。圆形数是指可以表示为两个相同整数之和的数，比如1、2、3、6、10等等。但是，在我们的生活中，还有一种非常有趣的数字，那就是正方形数。那么，正方形数是什么呢？它的由来是什么？它有什么用处呢？今天，我就来给大家介绍一下这个神奇的数字。
通过在网上查阅了量资料我的出了这些结论：首先，我们来看看正方形数是什么。正方形数是指可以表示为两个相同整数之和的平方数，比如1、4、9、16等等。这些数字看起来非常简单，但是它们背后却有着非常深刻的数学原理。正方形数是平方数的一种特殊形式，它们可以被分解成两个相同的整数之和的形式，这是因为平方数具有一个非常重要的性质，那就是它们都可以表示为一个整数的平方加上另一个整数的平方。而正方形数则是这个性质的一个特例，它们只能被分解成两个相同的整数之和的形式。
那么，正方形数有什么用处呢？其实，正方形数在生活中有很多应用。比如，在建筑设计中，正方形数可以用来计算建筑物的面积和周长。在计算机科学中，正方形数可以用来解决一些复杂的算法问题。此外，正方形数还可以用来研究一些数学问题，比如素数分布规律等等。
除了正方形数之外，还有很多其他的数字也非常有趣。比如，三角形数是指可以表示为三个相同整数之和的数，比如1、3、6、10等等。三角形数也是平方数的一种特殊形式，它们可以被分解成三个
遵义市幸福小学陆威呈
相同的整数之和的形式。而六边形数则是指可以表示为六个相同整数之和的数，比如1、7、18、34等等。六边形数同样也是平数的种特殊形式，它们可以被分解成六个相同的整数之和的形式。
总之，数字是我们生活中不可或缺的一部分。无论是圆形数、正方形数还是其他数字，它们都有着自己独特的特点和应用。通过学习这些数字，我们可以更好地理解数学的本质和意义，同时也可以更好地应用数学知识到我们的生活中去。让我们一起探索数学的世界吧！
蜗牛何时爬上井？
一只蜗牛不小心掉进了一只枯井里，它趴在井底上哭起来，一只癞蛤蟆过来，翁声翁气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟，哭也没用，这井壁又高又滑，掉到这里只能在这里生活了。我已经在这里生活了许多年了。”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀！我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里。”蜗牛对癫蛤蟆说：“癫大叔，我不能生活在这里，我一定要爬出去，请问这口井有多深？”“哈哈哈…..…，真是笑话，这井有10米深，你小小年纪。又背负着这么重的壳，怎么能爬出去呢？”“我不怕苦不怕累，每天爬一段，总能爬出去！”第二天，蜗牛吃得饱饱的，开始顺着井壁往上爬了，它不停的爬呀爬，到了傍晚，终于爬了5米，蜗牛特别高兴，心想：“照这样的速度，明天傍晚我就可以爬出去了。”想着想着不知不觉睡着了，早上，蜗牛被一阵呼噜声吵醒了，一看，原来是大叔还以睡觉，他心里一惊：“我怎么离井底这么近？”原来，蜗牛睡着以后，从井壁上滑下来4米，蜗牛叹了一口气，咬咬牙，又开始往上爬，到傍晚又往上爬了5米，可晚上，蜗牛又滑下来4米，就这样，爬呀爬，滑呀滑，最后坚强的蜗牛终于爬上了井台。聪明的小朋友你能猜出来蜗牛用了多少天才爬上井台的吗？
数学广角一数与形
同学们和老师们，大家好。今天我们来讨论一个数与形的问题。听到数与形，大家肯定会联想到数字和图形吧，对了，有些数学家，做计算题就会联想到图形，在做图形题的时候就会联想到计算题。
我们学过正方形、长方形、三角形、平行四边形、以及我们这个学期学过的圆形；那数字我们可以分为两种：第1种是奇数，而第2种是偶数。那我们今天的学习图形数。
我们可以举一个例子：比如正方数，很明显，是用一个算式，然后再用这个算式的个数，想出正方体的样子。我们可以列一个例子，比如一个正方形，4个小正方形围成的大正方形，9个小正方形围成的大正方形等。第1个正方形，我们可以用 1x1 表示，也就是一的二次方。第2个他横着有两个竖着也有两个，所以是2x2 ，也就是2的二次方，第3个竖着三个，横着也是三个，所以是 3x3 ，也就是三的二次方，再以此类推。以上是第1种方法，还有第2种方法。
第2种方法是这样的：第1个正方形有一个，也就是一的二次方，第二个正方形有1+3个，也就是二的二次方，第3个是1+3+5 个正方形，也就是三的二次方，再依次类推。过程中我发现，第2种方法要简便一点，首先看数字的形式，是奇数，而且还是相邻的，我还发现它。有几个这样从一开始的连续的基数，就是几的二次方。所以我得出结论：从一开始，有几个这样连续的奇数，就有几的二次方。
那我有一个猜测：如果说有几个连续这样的自然数呢？我猜测是一个三角数，为什么呢？我们看三角形它的角是从小到大依次排下去的，像金字塔一样。而我们说他是要连续的自然数，那就肯定得是先从一开始，检验一下。 1+2+3+4+5 ，从上
六（1）班罗煜恒
往下依次是最顶层一个，到最底层5个，他们可以堆成一个三角形，所以我的猜想是对的。
那么今天的探究就结束了，谢谢大家的观看！
数 学 小 故 事
“0”
大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。他们使用罗马数字。罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。
而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。他发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。
当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！
于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
数与形一三角形
六（1）班牟钰婧
在数学中，数字不仅是一个个抽象的符号，他们还可以与形状相联系，产生出各种有趣的关系。接下来让我们一起来探讨下，数字与三角形之间的相互关系吧！
我们观察这几个图形，都是三角形，分别由1、3、6、10、15各小圆点分别组成的三角形，经过我们的仔细发现，我们发现：
第1个数： _{1=1}
第2个数： _{3=1+2}
第3个数： 6{=}1{+}2{+}3
第4个数： 10{=}1{+}2{+}3{+}4
第5个数： 15{=}1{+}2{+}3{+}4{+}5
...·以此类推，就可以得出：
第n个数： n{=}1{+}2{+}3{+}4{+}5{+}*s{+}n
那我们可不可以从这些书中得出一个规律呢？让我们一起来探索。
我们观察这些数字，可以发现他们都是第几个数从自然数1加到几！例如：第2个数就是1加到2，第5个数就是1加到5，第4个数就是1加到4！第n个数就是从1加到n。
所以我们找到了一个发现：
每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和。最大的三角形数就是圆点的个数。
可见，第n个三角形数 \scriptstyle=_{n} C n{+}1 ）/2
最大的自然就是三角形底边圆点的个数。
可见：第n个三角形数 么 n(n+1)2100×(100+1)
比如：第100个三角形数2=5050n
通过今天的发现，我们就可以得出以下公式：
三角形数 =n(n+1)/2{=}(n^{*}2{+}n)/2
今天我们研究了三角形数与形的关系，也收获了非常多的知识，我们在生活中要去多观察数与形，发现他们之间的更多奥秘。
数学家的故事——伽利略
伽利略质疑权威
意大利数学家、物理学家、天文学家。
伽利略17岁那年，考进了比萨大学医科专业。
有一次上课，比罗教授讲胚胎学。他讲道：“母亲生男孩还是生女孩，是由父亲的强弱决定的。父亲身体强壮，母亲就生男孩；父亲身体衰弱，母亲就生女孩。”
比罗教授的话音刚落，伽利略就举手说道：“老师，我有疑问。我的邻居，男的身体非常强壮，可他的妻子一连生了5个女儿。这与老师讲的正好相反，这该怎么解释？”
“我是根据古希腊著名学者亚里士多德的观点讲的，不会错！”比罗教授想压服他。
伽利略继续说：“难道亚里士多德讲的不符合事实，也要硬说是对的吗？科学一定要与事实符合，否则就不是真正的科学。”比罗教授被问倒了，下不了台。
后来，伽利略果然受到了校方的批评，但是，他勇于坚持、好学善问、追求真理的精神却丝毫没有改变。正因为这样，他才最终成为一代科学巨匠。
“三角形数”的规律
遵义市幸福小学六（1）班彭文倩
一、探究起因
在学习了“数学广角——数与形”后，我们知道了什么是“正方形数”。即然有正方形数，那么是否有“三角形数”呢？这个问题很有挑战性！就让我们一起去探究吧！
二、我的猜想
既然我们可以通过数形结合的方式求出正方形数，那么，或许我们也可以通过这样的方式求出三角形数！为了证实这个猜想，就让我们跟据下图进行探究吧！
三、探究经过
通过观察，我们可以发现，几组图形都是由若干个圆形组成的三角形。组成这四组图形的圆形个数分别为：1个、3个、6个、10个
形就加到几。我可以用算式表示为：1+2+ ·. n{-}1 ） +n 。
但是，这个规律也有缺点。如果n所代表的数较大，要求结果就太麻烦了。那么，这组数据中还有没有更简便规律呢？带着这个问题，我们继续去探究吧！
根据我们刚才所求出的规律进行思考， 1{+}2{+}{*s}{+}(n{-}1){+}n 可不可以这样进行计算： 1+2+*s+*s+(n-1)+{n=\left[\Phi\left(1+{n}\right)+\left({n}\right.\kern-\nulldelimiterspace{n}\right)+\left({n}-1\right)+{n}=\left[\Phi\left(1+{n}\right)+{n}\right]} -1+2)+*s, /2=n(n{+}1)/2
四、进行验证
通过思考，我们求出了规律。那么，这个规律是否成立呢？现在，我们来进行验证。
假设n为5
n ( n{+}1 )/2
=5x(5+1)/2
=15
则第五组图应由15个小圆组成。
通过画图验证，我们会发现圆形个数的确是15。因此，这个规律是成立的。
组成这四个图形的圆形个数我们可以分别用算式表示为：
五、回顾猜想
综上所述，三角形数是存在的。
第一组： _{1=1}
第二组： 1+2=3
第三组： 1+2+3=6
第四组： 1+2+3+4=10
六、资料扩展
为了更全面地了解三角形数，我上网查找了以下资料。
仔细观察上面的算式，似乎具有一定的规律呢！你发现了吗？它们都是从1开始，几个连续的自然数相加，是第几组图
什么是三角形数？
它有一定的规律性，排列如下（构成图），像上面的1、3、6、10、15等等这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。
一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：
×
×X
×××
××××
×××××
一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。
三角形数的性质：
1.第n个三角形数公式： n(n{+}1)/2 2.第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和。3.所有大于3的三角形数都不是质数。4.开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例 1+27+8+64=100=102 )5.所有三角形数的倒数之和小于2。6.任何三角形数乘8再加上1是一个平方数。
和其他数的关系
1.四面体数是三角形数在立体的推广。2.两个相继的三角形数之和是平方数。3.三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。4.三角形数属于一种多边形数。5.所有偶完美数都是三角形数。6.任何自然数是最多三个三角形数的和。
七、我的感悟
在这个科技飞迅发展的时代，数学无处不在。它是充满奥秘的、神奇的。通过这次实践，我知道了什么是三角形数。这
在数学的王国中只不过是沧海一粟，还有许多神奇的定律等待着我们去探究，去发现！
数 学 小 故 事
聪明的小男孩
从前，一个国王经常给身边的大臣出难题来取乐，如果大臣答对了，他将用小恩小惠给点赏赐；如果答不出来，那将受罚，甚至被砍头。一天，国王指着宫里的一个池塘问：“谁能说出池子里有多少桶水，我就赏他珠宝。如果说不出来，我就要‘赏’你们每人50大鞭。”大臣们被这突如其来的问题难住了。
正在大臣们心慌意乱之际，走过来一个放牛的小男孩。他问清了事情的缘由之后说：“我愿意见见这位国王。”
大臣们把小男孩带到了国王身边。国王见眼前的小男孩又黑又瘦又小，便怀疑说：“这个问题答上来有奖，答不上来可要被砍头的，你知道吗？”在场的人都替这个小男孩捏了一把汗，可小男孩却不慌不忙地回答出国王的问题。国王无奈之下，拿出珠宝奖励给了小男孩。小朋友们，你知道他是怎样回答的吗？
其实，国王出的是一道条件不足的问题。在正常的思维模式下是无法找出正确答案的。小男孩正好抓住这一关键。他是这样回答的：“这要看桶有多大：如果桶和池塘一样大，就是一桶水；如果桶只有池塘一半大，就是有两桶水；如果桶是池塘的三分之一大，就是3桶水·...."”
小男孩实际上打破了习惯性的思维模式，对具体的问题进行具体的分析，他的头脑多么聪明，多么灵活啊！
数学脑筋急转弯
装苹果
小丽和妈妈买了8个苹果，妈妈让小丽把这些苹果装进5个口袋中，每个口袋里都是双数，你能做到吗？
答案：每条口袋各装2个苹果，最后将所有4条口袋装进第5条口
三角形数
六（1）班冉博怡
日常生活中，我们总会遇到一些有趣的数学问题。就比如今天我要为大家介绍的三角形数，那什么是三角形数呢？下面就让我们一起来探索其中的奥秘吧！
一、定义和推理
观察这些三角形，你会发现它们有什么规律吗？原来三角形数是从1开始的连续自然数的和。1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，第n个图形记为：n{=}1+2+3+4+*s+(n{-}1)+n{=}(1+n)+(2+n{-} 1)+(3+n-2)+*s=n(n+1)/2
还有以下资料：
三角形数是一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形的被称为三角形数。其实啊，早在古希腊时期就有以毕达哥拉斯为首的学派对三角形数进行了研究。毕达哥拉斯为首的学派的数学家们在沙滩上画点或用小石子表示数，他们对三角形数进行了系统的研究。他们发现三角形数具有某些规律，例如将三角形数1、3、6、10等进行观察，可以发现它们之间存在一定的递推关系。据这些规律，我们还可以列举出更多的三角形数，如15、21、28、36、45等。进一步研究可以发现，每五个三角形数中有两个数可以被五整除。这样的规律在数列中1依次出现，如，13、6、10、15、21、28、36、45等。
三：回顾推理
一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形的被叫做三角形数。
四：得出结论
我们不能总是如死水一样在原地徘徊，要把思维跳出课本，学到更多的知识。通过这次实践，我知道了什么叫做三角形数以及它的性质。数学犹如黑洞，是深不见底的，所以人们对数学的探索也是永不停息的。
唐僧师徒摘桃子
一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不久，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？
八戒憨笑着说：师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
？二、三角形数的性质：
1、第n个三角形公式： n(n+1)/2 。
2、所有三角形数的倒数之和小于2。
3、第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和。
4、任何三角形数乘8再加上1是一个平方数。
5、所有大于3的三角形数都不是质数.
悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？
唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们每人摘多少个桃子吗
世界上有三角形数吗？
一、探究起因
同学们，你们知道正方形数吗？正方形数又称平方数、四边形数是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。既然有正方形数，那有没有三角形数呢？
二、收集资料
三角形数的定义及推理：
一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形。这样的数被称为三角形数。
你注意到了吗，商店橱窗里的罐头盒一般都是这样排列的。它们按照一定的规律排成了三角形。想一想：能不能把9个圆点按上面的规律排成一个三角形？9是不是三角形数？再想一想：能不能把25个圆点按上面的规律排成一个三角形？25是不是三角形数？为了能方便地看出规律，我们把三角形数改排成图。
则第 \scriptstyle n 个图形表示的三角形数为？
第一个图形记为 {\bf a}_{1}=1 第二个图形记为 a_{2}=1+2 第三个图形记为 a_{3}=1+2+3 第四个图形记为 a_{4}=1+2+3+4
观察这些三角形数，你发现它们有什么规律吗？原来三角形数是从1开始的连续自然数的和。1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，第n个图形记为：
遵义市幸福小学六（1）班任青蓝an=1+2+3+4+*s+(n-1)+n=(1+ \mathfrak{n})+(2+\mathfrak{n}-1)+(3+\mathfrak{n}-2)+\dots=\mathfrak{n}(\mathfrak{n}+1)/2
三角形数的判断
如果给出一个正整数，怎样判断它是不是三角形数呢？根据上述公式
an{=}n(n{+}1)/2 ，我们可以看出 2an= n(n{+}1) ，就是说一个正整数如果乘以2所得的数可以写成两个相邻的正整数的乘积，那么这个数就是三角形数。
三、三角形数有关问题的探索
认识了三角形数，我们就来看一道与三角形数有关的规律探索类问题：古希腊数学家把数1、3、6、10、15、21·叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为\mathbf{\sigma}_{\mathbf{X}2},*s, 第n个三角形数记为 \mathbf{X}_{n}
（1）写出 {xn} 的表达式，判断66是不是三角形数。
（2）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和与2的大小关系。
解：（1） {x}1=1 _{X_{2}=1+2} x_{3}=1+2+3 _{X4}=1+2+3+4 _{X5}=1+2+3+4+5 \mathbf{x}_{n}=1+2+3+4+5+*s+(n-1)+n=
n(n{+}1)/2 66x2=n(n+1)=11x12 ，所以66是三
角形数。（3）所有三角形数的倒数之和为：1+1/3+6+10+15+*s+1/\ [n(n+1)/2\ ] =2/(1x2)+2x3)+6)+10)+15)+*s+2/
\left[n(n{+}1)\right] =2x\mid1/(1x2)+(2x3)+(3x4)+(4x
5)+(5x6)+*s+1/[nx(n+1)] =2x[1-1/2+2-1/3+3-1/4+4-1/5+5
-1/6+*s1/n{-}1/(n{+}1)] {\it\Omega}=2{\itn}/({n}+1)
由于n是正整数，所以 0{<}n/(n{+}1){<}1 ，所以， 2n/(n{+}1){<}2 。
三角形数的性质：
① 第n个三角形数公式： n(n{+}1)/2 ② 第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和。③ 所有大于3的三角形数都不是质数。④ 开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例： 1+27+8+64=100= {{10}^{2}} ）
⑤ 所有三角形数的倒数之和小于2。
⑥ 任何三角形数乘8再加上1是一个平方数。
四、回应猜想
综上所述：世界上是有三角数的。世界上有三角形数，
五、我的感悟
在这个日新月异的时代，科技的发展为我们的生活带来了极大的便利。通过这次实践，我知道了什么叫做三角形数，以及它的性质。数学真有趣，我一定要好好学数学。
数 学 小 故 事
分房间
有一个年轻的小伙子来找刘先生，并自我介绍说：“我叫于江，这次我带领了一个旅游团到香港旅游，听说您的大酒店环境舒适，服务周到，我们想来住你们酒店。”
刘先生连忙热情地说：“欢迎，欢迎，不知贵团一共有多少人？”
“人嘛，还可以，是一个大团。”
刘先生心里一阵惊喜：一个大团，又是一笔大生意，真是太好了。
作为一个导游，于江看出了刘先生的心思，他慢条斯理地说：“先生，如果你能算出我团的人数，我们就住您们酒店了。”
“你请说吧。”刘先生自信地说。
“如果我把我的团平均分成四组，多出一人，再把每小组平均分成四份，结果又多出一人，再把分成的四小组分成四份，结果又多出一人，当然，也包括我，请问我们至少有多少人？”
“一共多少呢？”刘先生马上思考起来，他一定要接下这笔生意，“没有具体的数字，该如何下手呢？”他是精明的生意人，很快说出答案：“至少八十五人，对不对？”
于江先生高兴地说：“一点不错，就是八十五人。请说说您的算法。”
“人数最少的情况是最后一次四等分时，每份为一人，由此推理得到：第三次分之前有1x4+1=5 （人），第二次分之前有5x4+1=21 （人），第一次分之前有21x4+1=85 （人）。”
“好，我们今天就住在您这儿了。““那你们有多少男的和女的？”
“有55个男的，30个女的。”
“我们这儿现在只有11人的房间，7人、5人的房间，你们想怎么住？”
“当然是先生您给安排了，但必须男女分开，也不能有空床位。”
又出了一个题目，刘先生还从没碰到过这样的客人，他只好又得花一番心思了。
思苦想之后，他终于得出了最佳方案：男的两间11人房间，四间7人房，一间5人房；女的一间11人房间，两间7人房，一间5人的，一共11间。
于江先生看了他的安排后，非常满意，马上办了住宿手续。
一桩大生意做成了，虽然复杂了一点，但刘先生的心里还是十分高兴的。
数学脑筋急转弯
金鱼
李老板养了一些红金鱼和一些黑金鱼，他发现红金鱼吃掉的鱼食是黑金鱼的2倍，这是什么原因？
答案：因为红金鱼数是黑金鱼数的二倍
数与形：有关三角形数的探究
遵义市幸福小学六（1）班唐安轩
同学们，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好。”前几天，我们刚刚学完数与形中的正方形数。接下来让我们一起去看看五边形数吧。不过，在这之前，我们一起去看一看：什么是数与形吧。
一、什么是数与形
数与形的关系，实际上是“数量与形式”关系；间接地也表现为质量与形态的关系；实质上是抽象地反映时间与空间的关系，物质与运动、变化的关系。
数学包括数与量、数与形的关系。
代数方式，是对物质、物体、物事进行客观抽象的关系进行推演、计算的形式。
？二、正方形数的规律
正方形数的规律： y{=}1{+}3{+}5{+}7{*s}+(2n{+}1)
三、何为三角形数
一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，被称为三角形数。其实啊，早在古希腊时期就有以毕达哥拉斯为首的学派对三角形数进行了研究.毕达哥拉斯为首的学派的数学家们在沙滩上画点或用小石子表示数，他们对三角形数进行了系统的研究。他们发现三角形数具有某些规律，例如将三角形数1、3、6、10等进行观察，可以发现它们之间存在一定的递推关系。
根据这些规律，我们可以列举出更多的三角形数，如15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。进一步研究可发现，每五个三角形数中，有两个数可以被5整除。这样的规律在数列a中依次出现，如1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。
四、三角形数的规律
三角形数的规律=1+2+3+4+5+6*s+*11=(n+(n+1))/(2)
同学们，数学是多么有趣啊，让我们一起好好学数学吧！
数 学 小 故 事
八戒吃了几个山桃
八戒去花果山找悟空，大圣不在家。小猴子们热情地招待八戒，采了山中最好吃的山桃整整100个，八戒高兴地说：“大家一起吃！”可怎样吃呢，数了数共30只猴子，八戒找个树枝在地上左画右画，列起了算式， 100/30=3\dots1
八戒指着上面的3，大方的说，“你们一个人吃3个山桃吧，瞧，我就吃那剩下的1个吧！”小猴子们很感激八戒，纷纷道谢，然后每人拿了各自的一份。
悟空回来后，小猴子们对悟空讲今天八戒如何大方，如何自已只吃一个山桃，悟空看了八戒的列式，大叫，“好个呆子，多吃了山桃竟然还嘴硬，我去找他！”
哈哈，你知道八戒吃了几个山桃？
圆形数
六（1）班XXX
星期五那天，我们学校的付老师给我们上了一堂有趣的数学课，就是第八单元数学广角一一《数与形》。这个单元的第一节课就是介绍正方形数的。而我们的数学老师为了让我们更深一步的了解数与形奇妙特点，接下来就得研究研究了！
而我仔细浏览了数学书，终于找到了一个比较好理解的圆形数，可是怎么研究呢？得先画出一个完完整整的大圆，就像这样：
首先画出它的一半，涂上颜色并写上1/2，然后又画出剩余部分的一半，便是1/4，再画出剩余部分的一半，就是一半的一半的一半，1/8也就出来子，以此类推，就可以画出无限个分数，而无论我们怎么分，也分不到底，这究竟是为什么呢？
我们把他弄得简单一点，把这条圆画成一条线，再在这条线上面标数据，这样就简单多了，但前提是这条线段得足够长。
结果还是可以看出怎么画也还剩一以点儿，根本画不完，难道真的是这样吗？的确是。那么我们把这些所有的分数都加起来，等于几呢？对了，就是一。
这时候就会有同学问了，不是永远分都分不完吗？那么把所有的加数加起来只能无限接近1啊，而不是等于1。同学们，你们说的也对，他的确只是一个无限接近1的数，而那些零头，我们其实是可以忽略不计的。跟我们上个学期1/3x3的这个问题，其实也是一样的都是无限接近一，所以我们才把他们看作是1的
这也就是我们，把那些所有近似值1的数看成1，这样就简单多了。
总结：
圆形数就是一个无限接近1的数，也可以把它看做是1。
数学脑筋急转弯
买玩具
某人花19块钱买了个玩具，20块钱卖出去。他觉得不划算，又花21块钱买进，22块钱卖出去。请问它赚了多少钱？
答案：2元
圆形数
六（1）班赵丹妮
在我们日常生活中，我们经常会遇到一些有趣的数学问题。其中一个问题就是圆形数。那么，什么是圆形数呢？今天，我就来给大家介绍一下圆形数。
首先，我们需要了解什么是圆形数。圆形数是指一个正整数，它的所有因子(除了它本身)之和等于这个数本身。换句话说，如果一个数n可以表示成若干个正整数的乘积(这些正整数不包括1和n本身),那么这个数就被称为圆形数。例如，6是一个圆形数，因为它的因子有1、2、3和6，而 1+2+3+6=12 恰好等于6。同样，28也是一个圆形数，因为它的因子有1、2、4、7和14,而 1+2+4+7+14=28 。
接下来，我们需要了解如何判断一个数是否是圆形数。判断一个数是否是圆形数的方法有很多，其中一种方法是比较简单易行的。首先，我们需要找出这个数的所有因子。然后，我们需要将这些因子相加，最后判断这个和是否等于这个数本身。如果等于，那么这个数就是圆形数；如果不等于，那么这个数就不是圆形数。当然，还有其他更复杂的方法可以用来判断一个数是否是圆形数，但这里我们只介绍一种简单的方法。
现在，我们已经知道了圆形数的概念以及如何判断一个数是否是圆形数。那么，圆形数有什么特点呢？首先，圆形数具有很好的规律性。在我们的生活中，有很多著名的圆形数，如6、28、50等。这些圆形数都有一个共同的特点，那就是它们的因子都是连续的自然数。例如，6的因子有1、2、3和6,28的因子有1、2、4、7和14,50的因子有1、2、5、10和25。这些连续的自然数构成了一个非常和谐的组合，给我们带来了很多启示。此外，圆形数还具有一定的美学价值。在数学中，有一种叫做“几何级数”的概念。几何级数是一种特殊的级数，它的每一项都是一个完全平方数。例如，1、4、9、16等都是几何
级数。而圆形数正好也属于几何级数的一种特殊形式。因此，从这个角度来看，圆形数不仅具有数学上的价值，而且还具有美学上的价值。
总之，圆形数是一种非常有趣的数学概念。通过研究圆形数，我们可以学到很多有关数学的知识，同时也可以培养我们的思维能力和创造力。希望同学们能够对圆形数产生浓厚的兴趣，并在今后的学习中不断探索和发现更多关于圆形数的秘密。
数 学 小 故 事
生活中的数学
一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不久，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？
八戒憨笑着说：师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们每人摘多少个桃子吗
00100
000
00001 福 000101 011011070
