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核按钮高中数学 课时导学练必修一
目一录
第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念 1 43
1.2 集合间的基本关系 1 43
1.3 集合的基本运算 2 43
1.4 充分条件与必要条件 3 44
1.5 全称量词与存在量词 4 45
章末整合(一) 4
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质 5 45
2.2基本不等式 6 46
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 7 47
微专题一不等式恒成立、能成立问题 9 48
章末整合(二) 9
第三章 函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示 10 48
微专题二函数的值域 12 50
3.2函数的基本性质 12 51
微专题三二次函数的最值 14 52
滚动训练1 54
3.3幂函数 16 55
3.4函数的应用(一) 16 55
章末整合(三) 17
第四章 指数函数与对数函数
4.1 1指数 17 56
4.2指数函数 18 57
微专题四 指数型复合函数 19 58
4.3对数 20 58
4.4对数函数 22 60
微专题五 对数型复合函数 23 61
4.5函数的应用(二) 24 62
微专题六函数图象的变换 26 64
微专题七函数图象的应用 26 64
章末整合(四) 27
第五章 章三角函数
5.1任意角和弧度制 27 65
5.2 三角函数的概念 28 66
5.3 诱导公式 30 66
5.4三角函数的图象与性质 31 67
微专题八函数的周期性与对称性 35 71
微专题九周期性、对称性与单调性的综合问题 ?！?35 72
滚动训练2 72
5.5三角恒等变换 35 73
5.6函数 y=A\sin(\omega x+\varphi) 39 77
5.7三角函数的应用 \*\*\* 40 79
微专题十三角函数中的最值问题 41 79
章末整合(五) 41
检测卷参考答案
末检测（一）·
章末检测(二)· 80
章末检测(三)· 81
章末检测（四）·…·· 82
章末检测(五)·… 83
综合检测·…. 84
① 当 a=0 时，易得不等式的解集为 \{x\vert x{\>}2\} ，② 当 a<0 时，不等式可化为 \left(x-{(1)/(a)}\right)(x- 2){>}0 不等式的解集为 \left\{x\left|x<{(1)/(a)}\right.\right. ，或 _{x>2}\} ③ 当 a{>}0 时，不等式可化为 \left(x-{(1)/(a)}\right)(x- 2)<0 ，
L \scriptstyle{(1)/(a)}>2 ，即 \scriptstyle0<a<{(1)/(2)} 时，不等式的解集为\left\{x{\Big|}2{<x{<}{(1)/(a)}}\right\} \scriptstyle{(1)/(a)}=2 ，即 a=(1)/(2) 时，不等式的解集为 O ；当 \scriptstyle{(1)/(a)}<2 ，即 a>(1)/(2) 时，不等式的解集为 \left\{x\Big\vert(1)/(a)<x<2\right\}
题组四
1.【解】由题意，得 a>0,b>0,a\neq b,m_{1}= (20)/(/{10){a}+(10)/(b)}=(2a b)/(a+b),m_{2}=(8a+8b)/(16)=(a+b)/(2)
因为 m_{1}~-~m_{2}~=~(2a b)/(a+b)~-~(a+b)/(2)~= {(4a b-(a+b)^{2})/(2(a+b))}=-{((a-b)^{2})/(2(a+b))}<0 ，所以 m_{1}< m_{2} .故选C.
2.【解】（1)设利润为 _y 万元，则 _y=50x- (98+2x^{2}+10x)=-2x^{2}+40x-98(x\in \mathbf{N}^{*} ).由 -2x^{2}+40x-98>0, 解得 10-{√(51)}< \scriptstyle{x<10+{√(51)}} 因为 \boldsymbol{x}\in\mathbf{N}^{*} ，所以 3{<=slant}x{<=slant}17. 所以第3年首次盈利.
(2)由(1),得年平均利润=－2( {(y)/(x)}=-2\left(x+\right. style{(49)/(x)}{\Big)}+40<=slant-2x2{√(x*{(49)/(x))}}+40=12 ，当且仅当 \scriptstyle x={(49)/(x)} ,即 x=7 时,等号成立.所以该公司第7年的年平均利润最大，为12万元.
题组五
1.【解】该函数的定义域为 \left[{(2)/(3)},{(4)/(3)}\right] ，」由柯西不等式，可得 f\left(x\right)=3~√(4-3x)+√(3x-2)<=slant √((3^{2)+1^{2})(4-3x+3x-2)}=2√(5) 当且仅当{(3)/(√(4-3x))}{=}{(1)/(√(3x-2))} ，即 x=(11)/(15) 时，等号成立.故选A.
2.【解】设 \operatorname*{max}\Bigl\{4x,y,{(1)/(x)},{(9)/(y)}\Bigr\}=t 因为 x 为
正数，所以 4x+{(1)/(x)}>=2{√(4x*{(1)/(x))}}=4 ，当且
仅当 4x=(1)/(x) 即 x={(1)/(2)} 时，等号成立.故
\operatorname*{max}\Bigl\{4x,(1)/(x)\Bigr\}>=slant(4)/(2)=2 当 \scriptstyle x={(1)/(2)} 时，等号成立.
因为 _y 为正数，所以 y+{(9)/(y)}>=slant2{√(y*{(9)/(y))}}=
6，当且仅当 \scriptstyle y={(9)/(y)} 即 y=3 时，等号成立.故
\operatorname*{max}\biggl\{y,(9)/(y)\biggr\}>=slant(6)/(2)=3 ，当 _{y=3} 时，等号成立.
所以 t=\operatorname*{max}\left\{\operatorname*{max}\left\{4x,{(1)/(x)}\right\},\operatorname*{max}\left\{\right.; y=3，[y=3,
9 人 4x≤3， 即 \scriptstyle\left\{{(1)/(3)}<=slant x<=slant{(3)/(4)}\right. 时，等
y 13
号成立.所以 \mathbf{\chi}_{t} 的最小值为3.故填3.
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念
知识梳理
1.非空任意唯一 y=f(x),x\in A 定义域值域子集2.对应关系定义域值域3.(1)闭区间 [a,b] 开区间 (a ，b）[a,b）(a,b](2)(-∞o， +∞ ，[a,+∞ > (a,+∞ ）（-∞,a](-∞,a)
【思考】 \ensuremath{\vert{perthousand}?} 表示 x 对应的函数值，是一个数，不是 f 乘 x ? ② “三性"指任意性、存在性、唯一性.即对于集合 A 中的任意一个数x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 _y 和它对应 ③ 左端点小于右端点，即 a<b. ④ “00”是一个符号而不是一个具体的数.写法[一∞∞，一2]，[2,十∞］是错误的，因为无穷区间的端点在无穷远，不能“闭”.合作探究
典例1(1)【解】根据函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值，可知A,B,D错误，C正确.故选C.
(2)[解】图1中的对应关系是函数,定义域A=\{1,2,3\} ,值域 C=\{4,5,6\}=B
图2中的对应关系是函数，定义域 A=\{1,2 ，3)，值域 C=\{4,5,6\}\subseteq B=\{4,5,6,7\}
图3中的对应关系是函数，定义域 A=\{1,2 ，3)，值域 C=\{4,6\}\subseteq B=\{4,5,6\}.
图4中的对应关系不是函数，因为不满足对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应.
变式1【解】（1)是函数，对于 \{x\mid x\neq0\} 中的每一个 x ,都有唯一确定的 y\in\mathbf{R} 与之对应.(2)不是函数，如当 x=4 时， y=2 或一2,有两个 _y 值与 x 对应.
(3)不是函数，如当 x=4 时，在 \{y\vert0{<=slant}y{<=slant}3\} 内没有 _y 值与 x 对应.
(4)是函数,当x∈{x｜|0≤x≤6)时， (1)/(6)x\in \{y\mid0{<=slant}y{<=slant}1\}{\subseteq}\{y\mid0{<=slant}y{<=slant}3\}.
典例②（1)【解】由 f(x) 的图象，可得 f(x) 的定义域为 \{x\mid-2<=slant x<=slant4 ，或 5{<=slant}x{<=slant}8\} ，值域为 \{y\mid-4{<=slant}y{<=slant}3\}. 故填 \{x\mid-2<=slant x<=slant4 ，或\scriptstyle\mathbf{5<=slant},\mathbf{r}<=slant\mathbf{8}\} \{y\vert-4{<=slant}y{<=slant}3\}
(2)【解】函数值只有 -1,0,1 三个数值，故值域为 \{-1,0,1\} .故选D.
变式②（1)[解】A中图象所表示函数的定义域是 \{x\mid-2<=slant x<=slant0\} ，不是 M. 易知B中图象满足题意.C中图象不表示函数关系.D中图象所表示函数的值域不是 N=\{y\mid0<=slant y<=slant 2).故选B.
(2)【解】依题意，知 f\left(g\left(1\right)\right)=f\left(1\right)=2. f(g(0)){=}f(2){=}1,g(f(0)){=}g(1){=}1, 则f(g(0)){=}g(f(0)).f(g(1)){=}f(1){=}2 g(f(1)){=}g(2){=}0 ，则 f(g(1)){>}g(f(1)) ：f(g(2)){=}f(0){=}1,g(f(2)){=}g(1){=}1 则f(g(2)){=}g(f(2)) .综上，当且仅当 x=1 时， f(g(x)){>}g(f(x) )成立.故填2;1.
典例3【解】(1)由 \scriptstyle y={(4x-x^{2})/(2)}={(1)/(2)}x(4-x) ，可构建如下情境：已知 Rt\triangle A B C 的两条直角边之和为4,分别设两直角边为 A B=x A C= _{4}-\boldsymbol{x} ,面积即为 y ，
则y y={(1)/(2)}A B* A C={(1)/(2)}x(4-x)={(4x-x^{2})/(2)}, 其中 \scriptstyle0<x<4 ，
再如：初速度 2~m/s 的物体，以 -1~m/s^{2} 加速度做直线运动，运动位移 (\boldsymbol{y}) 与运动时间x(s) 的关系为 y=2x-{(1)/(2)}x^{2}
或梯形面积 ×高×(上底+下底)={(1)/(2)}x(2-x+2){\overset{\underset{\ast}{}}{\rightleftharpoons}}
说明：本题还可以构建其他情境，只要所给情境能用该函数描述即可.(答案不唯一)
(2)因为 y=(4x-x^{2})/(2)=-(1)/(2)(x-2)^{2}+2,0< x{<}4 ,所以当 \scriptstyle x=2 时， y_{\operatorname*{max}}=2 ，此时 A B= A C=2 ，即当 Rt\triangle A B C 的两条直角边相等时，其面积取最大值2.
变式【解】由 y=(a)/(x)\left(a>0\right) 可构建如下情境：某工厂投入 \scriptstyle a 万元用于购买一种生产原料，该原料的价格 x (单位：万元/kg)因天气原因有所变化，购买的原料质量为 _y （单位：\mathbf{kg}) ,则 (a>0),其中x>0.
再如面积为定值 \scriptstyle a 的矩形，其一边长 (\boldsymbol{y}) 与相邻边长(x)的关系为y=.
典例④【解】(1) \{x\vert x>0\} 用区间表示为 _{(0,+∞)} (2） )\{x\mid x<=slant-1\} 用区间表示为（一∞， ^{-1]} (3) \{x\mid-2<x<2\} 用区间表示为 (-2,2) ，(4) \{x\mid x>=slant-1, 且 \scriptstyle x\neq0\} 用区间表示为[-1,0)\cup(0,+∞)
(5) \{x\mid0<x<=slant1 ，或 2{<=slant}x{<=slant}3\} 用区间表示为\left(0,1\right]\cup\left[2,3\right] ：
变式④(1)【解】 \{x\mid x<{√(2)}\} 用区间表示为(一∞，√2).故填 (-∞,{√(2)} ：
(2)【解】R用区间表示为 (-∞,+∞) ，
故填 (-∞,+∞) ，
(3)【解】 \{x|x{<}9\} U \scriptstyle x\mid9<x<20\} 用区间表示为(一00,9)U(9,20).故填(一∞∞,9)U(9,20).(4)【解】由题意，得 a+1{<}2 ，解得 a<1 ，
故填 (-∞,1) ，
随堂检测
1.【解】由函数的概念，可知一个自变量对应唯一一个函数值，故A,C,D正确.故选B.2.【解】集合 \{x\vert x>0 且 x\neq2\}=\{x\mid0<x< 2，或 x{>}2\}{=}(0{,}2) U 2,+∞ .故选C.3.【解】由题中表格，得 f(-1)=-1,g\left(3\right)= -4 ，所以 f(f(-1)-g(3))=f(-1- (-4))=f(3)=5. 故选D.
4.【解】 S{=}f(x){=}x*{(a{-}2x)/(2)}, \scriptstyle\left({\boldsymbol{\mathscr{x}}}\right)>0 ， \mathbb{H}\bigg\{(a-2x)/(2)>0 解得 \scriptstyle0<x<{(a)/(2)} 故选D.
第2课时函数概念的应用
知识梳理
3.定义域对应关系值域定义域对应关系
【思考】是同一个函数.因为它们的对应关系和定义域都相同.
合作探究
典例1【解】(1)由题意，可得 {x+3≥0'解得费
x{>=slant}-3 ，且 x\neq2 ，所以 f(x) 的定义域为[-3,2)\cup(2,+∞) ：
(2)f(1)=√(1+3)+(1)/(1-2){=}1.
(3)当 a{>}2 时， * f(a),f(a+1) 均有意义.
f\left(a\right)=√(a+3)+(1)/(a-2) a-2' f(a + 1) =
变式【解】（1）由 {x+7≥0解得x≥-7,且\scriptstyle x neq3. 所以 f(x) 的定义域为 [-7,3)\cup(3,+∞) ，\left(2\right)f(2)=(√(2+7))/(3-2)=3.
(3)因为 g\left(3\right)=3^{2}+2=11 ，所以 f(g(3))= f(11){=}(√(11+7))/(3{-)11}{=}{-}(3√(2))/(8).
典例②【解】对于A， g\left(x\right)=\left|x\right| ，与 f(x) 的解析式不同，不是同一函数.
对于B，C，定义域不同，不是同一函数.
对于1 ),f(x)=(x)/(x)=1(x>0),g(x)=(x)/(x)=1 4 \scriptstyle\left.{\begin{array}{r l}\end{array}}\right|_{x}>0 ，解析式与定义域都相同，故 f(x) 与g(x) 表示同一个函数.故选D.
变式②【解】A中，因为 f(x) 的定义域为 bf{R} ，g(x) 的定义域为 \{x\mid x>=slant0\} ，它们的定义域不同,所以不是同一函数.B中， f\left(x\right),g\left(t\right) 的定义域和对应关系都相同，所以是同一函数.C中， f(x){=}1 的定义域为 \mathbf{R},g\left(x\right)=(x)/(x) 的定义域为 \{x\vert x\neq0\} ,它们的定义域不同，所以不是同一函数.D中， f(x),g(x) 的定义域相同，当 x{>}0 时， g(x)=\mid x\mid=x=f(x) ，对应关系相同，所以是同一函数.故选BD.
典例3(1)【解】因为函数 y=f(x) 的定义域为[一1,5]，所以 -1{<=slant}2x^{2}-1{<=slant}5 ，即 0<=slant x^{2}<=slant3. 解得 -{√(3)}<=slant x<=slant{√(3)}. 所以函数 y= f(2x^{2}-1) 的定义域为[ *-{√(3)} ,√3].故选C.(2)【解】因为函数 y=f(2x+1) 的定义域为[3，5]，所以 3{<=slant}{x}{<=slant}5. 所以 7{<=slant}2x+1{<=slant}11. 所以 y=f(x) 的定义域为[7,11].故填[7,11].(3)【解】由 f(x^{2}-1) 的定义域为[1,3]，得x\in[1,3] ，所以 x^{2}-1\in[0,8] ，则 f(x) 的定义域为[0,8].令2.x-1∈[0,8],得x∈[，(9)/(2)] ],所以 f(2.x-1)的定义域为[,] 故填[,]
变式【解】因为函数 f(2x-1) 的定义域为\{x\mid0{<}x{<}1\} ，故 -1{<}2x-1{<}1 ，所以 f(x) 的定义域为 (-1,1) .故函数 f(x-1中的x需满足 {-1<x-1<l解得 0<x<2,且(f(x-1))/(x^{2)-1}
x\neq1. 故函数 的定义域为(0,1)U(1,2).故选C.
随堂检测
1.【解】依题意，得 \stackrel{\left\{x\ne0,\right.}}{\left|_{x-x^{0}\ne0}} 解得 x\neq0 且 x\neq1. 故选D.
2.【解】由题意，得 1<=slant x^{2}+1<=slant5 ，即 0{<=slant}x^{2}<=slant
4，解得 -2{<=slant}x{<=slant}2. 故选A.
3.【解】对于A， y=(sqrt[3]{x})^{3}=x 与 y=x 是同 一函数，故A满足.显然B满足.对于 c,y= {√(x^{2)}}=\left|{\boldsymbol{x}}\right| 与 y=x 的对应关系不同，故C 不满足.对于D， m=(n^{2})/(n)=n\left(n\neq0\right) 与 y=x 的定义域不同，故D不满足.故选AB.
4.【解】因为 f{\Bigl(}{(7)/(9)}{\Bigr)}=3x{(7)/(9)}-2={(1)/(3)} 所以f\Bigl(f\Bigl((7)/(9)\Bigr)\Bigr)=f\Bigl((1)/(3)\Bigr)=3x(1)/(3)-2=-1.
故填一1.
3.1.2 函数的表示法
第1课时函数的表示法
知识梳理
1.数学表达式列出表格图象
合作探究
典例1【解】列表法：
| 售出个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 收款数y | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 8 |
图象法：如下图所示， 解析法： y=3x ,xE{1,2,3,4,5,6).
变式【解】D中，当 \scriptstyle x=0 时，有两个 _y 值与它对应，由函数的定义，知 x^{2}+y^{2}=1 不能表示 _y 是 x 的函数.A，B，C中分别是用列表法、图象法和解析法表示的 _y 是 x 的函数.故选D.
典例2【解】(1)因为 x\in\mathbf{Z}, 所以函数图象为一条直线上的孤立点（如图1).由图象，知函数的值域为 \mathbf{z}
(2)因为 x\in[0,3) ,所以函数图象是抛物线的一段（如图2).由图象，知函数的值域为[-5,3) ：
变式②【解】分别作出函数 y={(1)/(x)},y={(1)/(x-1)}, y=(1)/(x+1) x+1'y=1+- y=1+{(1)/(x)} 的图象如图1、图2、图 3、图4所示.
由图，知函数 _{y=(1)/(x-1)} 的图象是由 y={(1)/(x)} 的图象向右平移一个单位长度得到的.
函数 y=(1)/(x+1) 的图象是由 y={(1)/(x)} 的图象向左平移一个单位长度得到的.
函数 y=1+{(1)/(x)} 的图象是由 y={(1)/(x)} 的图象向上平移一个单位长度得到的.
典例3(1)【解】设 f(x)=k x+b(k\neq0) ，则
f(f(x)){=}k(k x{+}b){+}b{=}k^{2}x+k b+b. 所以
\left\{\begin{array}{l}{{k^{2}=16,}}\\ {{k b+b=-25.}}\end{array}\right. 解得 \left\{{\begin{array}{l}{k=4,}\\ {b=-5^{(π)/(3)\tilde{\mathsf{X}}}}\end{array}}\right\}_{b={(25)/(3)}.}^{k=-4} ， 所以
f(x){=}4x{-}5 或 f(x){=}{-}4x{+}(25)/(3)
故填 f(x){=}4x{-}5 或 f(x)=-4x+(25)/(3) ·
(2）【解】（方法一）（换元法）令 x+1=t ，得{\boldsymbol{x}}={t-1},t\in\mathbf{R} 所以 f(t)=(t-1)^{2}-2(t- \scriptstyle{1})=t^{2}-4t+3 ，即 f(x)=x^{2}-4x+3. （方法二）（配凑法）因为 x^{2}-2x=(x+1)^{2}- 4(x+1)+3 ，所以 f\left(x+1\right)=(x+1)^{2}- 4(x+1)+3 ,即 f(x)=x^{2}-4x+3 ，故填 x^{2}-4x+3
(3）【解】令 {√(x)}+1=t ，得 x=(t-1)^{2},t>=1. 所以 f(t)=(t-1)^{2}+2(t-1)=t^{2}-1(t>=slant 1).所以 f(x){=}x^{2}-1(x{>=}1) ：
故填 f(x){=}x^{2}{-}1(x{>=}1)
(4)[解 \{{2f(x)+f\Big((1)/(x)\Big)=2x\mathbb{O}} ，将 x 换成 style{(1)/(x)} 得 2f{\left((1)/(x)\right)}+f(x)=(2)/(x)②. 由 ①② 消去 f{\biggl(}{(1)/(x)}{\biggr)} ，得 3f(x)=4x-{(2)/(x)} 所L λ f(x)=(4)/(3)x-(2)/(3x) 故填 f(x)={(4)/(3)}x-{(2)/(3x)} ：
变式3(1)【解】设 f(x)=m x+n\left(m\neq0\right) ，则 3f(x+1)-2f(x-1)=3m x+3m+3n- 2m x+2m-2n=m x+n+5m=2x+17. 所以 n+5m=17.解得{ \left\{{\begin{array}{l}{m=2}\\ {n=7.}\end{array}}\right. 所以 f(x)= 2x+7. 故填 2x+7
(2)【解】设函数 f(x)=a(x-1)^{2}+1. 将点(2，2）代人，得 a=1. 故选C.
(3）【解】设 \scriptstyle t={(1)/(x)} 则 \scriptstyle x={(1)/(t)}(t\neq0) 且 t\neq±1) 。所以 f(t)=(/{1)/(t)}{1-\Big((1)/(t)\Big)^{2}}{=}(t)/(t^{2)-1}(t{\neq}0 (t≠0,且t≠±1) .故填 f(x)={(x)/(x^{2)-1}}(x{\neq}0 ，且 \scriptstyle x\neq±1)
(4)【解】由题意，得
{f(z）+2f（-）=22+2z，消去f(（一x)，
得 3f(x)=x^{2}-6x ,则 f(x){=}(1)/(3)x^{2}{-}2x
故填 {(1)/(3)}x^{2}-2x ：
随堂检测
1.【解】A不符合函数的定义.对于B，函数的定义域和值域均为[0,2]，符合题意.对于C，函数的值域为[0，1]，不符合题意.对于D，函数的定义域为0，1]，不符合题意.故选B.
2.【解】由题中表格，知 y=2,3,4,5. 故选D.
3.【解】设 f(x)=k x+b(k\neq0) ，则 {f3)=3+b=71解得 {k=-4，所以
f(x){=}{-}4x{+}19,f(1){=}{-}4{+}19{=}15. 故选A4.【解】令 \scriptstyle t=x-1 得 _{X}=\rvert+1 那么 f(t){=}(t+ 1)^{2}-1=t^{2}+2t. 所以 f(x)=x^{2}+2x ，故填 x^{2}+2x ：
第2课时分段函数
知识梳理
【思考 ① 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，且各段取值集合的交集是空集． ② 分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.
合作探究
典例【解】（1)因为- π{<}-1 ，所以 f(-π)= -π+2 f\left((3)/(2)\right)=\left((3)/(2)\right)^{2}=(9)/(4)>2. ，所以f{\Bigl(}f{\Bigl(}{(3)/(2)}{\Bigr)}{\Bigr)}=f{\Bigl(}{(9)/(4)}{\Bigr)}=2{x}{(9)/(4)}={(9)/(2)}.
(2)当 a<=slant-1 时，由 a+2={(1)/(2)} ，解得α=-{(3)/(2)} ,满足.当-1<a<2时,由 α2= ，解得a=±{(√(2))/(2)} ,满足.当a≥2时,由 2a= ，解得\scriptstyle a={(1)/(4)}<2 ，不满足.综上， \mathbf{\nabla}_{*}\boldsymbol{a} 的值为 1-(3)/(2)\equiv(√(2))/(2) ，(3)因为 a^{2}+2>2 ，所以 f(a^{2}+2){=}2(a^{2}+ 2).所以 2(a^{2}+2)>=slant a+4 ，即 2a^{2}-a>=slant0. 解得 a<=slant0 ，或 a{>=slant}(1)/(2) .所以实数α的取值范围为(-∞,0]\cup\left[(1)/(2),+∞\right). 变式【解】当 a>=slant0 时，有 a-1=a,解得 1α=－2(舍去).当α<0时,有→ {(1)/(a)}=a ，解得a=-1(a=1 舍去). f(f(0))=f(-1)= -1.当x≥0时，由x (1)/(2)x-1<=slant-(1)/(2) 得0≤x{<=slant}1 ；当 x{<}0 时，由 \scriptstyle{(1)/(x)}<=slant-{(1)/(2)} ,得-2≤x<0.故不等式解集为[—2,1].故填 \begin{array}{r}{-1;-1;[-2,1].}\end{array} 典例②【解】(1)图象法.在同一平面直角坐标系中画出 f(x),g(x) 的图象，如图1.
由图1中函数的取值情况，结合 \varphi(x) 的定义，可得 \varphi(x) 的图象如图2.
解析法.令- \scriptstyle-x^{2}+2=x ，得 \scriptstyle x=-2 或 _{x=1} 结合图2，得 \varphi\left(x\right) 的解析式为 \varphi\left(x\right)= \scriptstyle\left\{-x^{2}+2,x<=slant-2\right. ，
x,-2{<}x{<}1 ，
\|-x^{2}+2,x>=slant1
(2)由图2,知 \varphi(x) 的定义域为 \mathbf{R},_{\varphi}({\boldsymbol{x}}) 的值域为 (-∞ ,1].
变式②【解】（1)当 0<=slant x<=slant2 时， f\left(x\right)=1+ =1;当-2<x<0时,f(x)=1+
=1-x.所以f(x)= f(x){=}\left\{{1,0{<=slant}x{<=slant}2}\right. x<0，
(2)函数 \scriptstyle y=f(x) 的图象如右图所示.
(3)由(2)，知 f(x) 在(-2,2] 上的值域为[1,3).
典例3【解】
\scriptstyle\left\{0,0<=slant x<=slant800\right. ，(1)_{y}=\left\{0.14(x-800),800<x<=slant4\ 000,\right. 0.11x, x{>}4~000 (2)因为 0.14x{(4~000-800)}=448<660 所以所求稿费在区间 (4~000,+∞) 内.令 0.11x=660 ,解得 {\boldsymbol{x}}=6~000 ，故这个人的稿费是6000元.
变式3【解】（1）如右图，分别过点 A,D 作 A M\bot B C,D N\bot B C,M,N 为垂足，
则 B M{=}M N{=}N C{=}A M{=}D N{=}4. 当 B F=
3时， y=(1)/(2)x3x3=(9)/(2)
当 B F{=}6 时， y=(1)/(2)x4x4+2x4=16.
(2)设 B F{=}x ，则 0{<=slant}x{<=slant}12. 当 0{<=slant}x{<=slant}4 时，x2;当4<x≤8时.y= y=(1)/(2)x4x4+
(x-4)x4=4x-8 当 8<x<=slant12 时， y=
(1)/(2)x(4+12)x4-(1)/(2)x(12-x)x(12-
x)=-(1)/(2)x^{2}+12x-40. x2,O≤x≤4,
所以 y=\left\{4x-8,4<x<=slant8\right. x2+12.x-40,8<x≤12.
随堂检测
1.解 \scriptstyle{\cal{I}}(4)=√(4)-3=-1 则 f(f(4))= f(-1)=1+1=2. 故选D.
2.【解 \scriptstyle1f(x)=x+{(|x|)/(x)}={\binom{x+1,x>0,}{x-1,x<0.}} C中的图象符合.故选C.
3.【解】当 t{<}1 时， f(t)=\mid t\mid<=slant2 解得一 2<=slant t<=slant2. 所以- -2<=slant t<1. 当 t{>=slant}1 时， f(t)=t+ 1{<=slant}2 ，解得 t<=slant1. 所以 t=1. 综上， t 的取值范围为[—2,1].故填 [-2,1]
4.【解】依题意，得
\displaystyle\boldsymbol{y}=\Big\{_{0.5x100+0.4(x-100),x>100,}^{0.5x,0<=slant x<=slant100,} 即y=\left\{_{0.4x+10,x>100}^{0.5x,0<=slant x<=slant100},\right.
：
y=\binom{0.5x,0<=slant x<=slant100}{0.4x+10,x>100},
故填
链接高考（1)【解】由题意，知 f(2)=\operatorname*{min}\{0 ，a-1\}=-1 ，则 a-1=-1 ，即 a=0. 所以f(x){=}\operatorname*{min}\{|x|-2,x^{2}-5\} .求方程 f(x)= 5的解集可以用图象法或代数法.
图象法.由函数 f(x) 的图象及 f(x){=}5 ，得|x|-2{=}5 ，解得 x=±7
代数法.由 f(x)=5 得 \mid x\mid-2=5 或 x^{2}- 5=5 ，解得 \scriptstyle x=±7 或 _{x}=±√(10) （经检验不符合题意，舍去).故填 \mathbf{0};\{-7,7\} ，
(2)【解】函数 M(x) 的图象如下图中实线所示.由图象，知 M(x) 的值域为[1， +∞) 。故填[1, +∞ ：
微专题二 函数的值域
合作探究
典例【解】(1)(直接法)因为 \boldsymbol{x}\in\mathbf{N}^{*} ,所以函数的值域为 \{1,3,5,7,*s\}
(2)(不等式法)因为 2+x^{2}>=slant2 ，所以 0< (1)/(2+x^{2)}{<=slant}(1)/(2) 所以函数的值域为 \left(0,{(1)/(2)}\right] ：
(3)（配方法） y=x^{2}-x+1=\left(x-{(1)/(2)}\right)^{2}+ ≥，即所求值域为 \left\{y\left\vert y>=slant(3)/(4)\right.\right\}
典例②【解】（1)（分离常数法） y={(4x-2)/(2x+1)}= {(4x+2-4)/(2x+1)}{=}2-{(4)/(2x+1)}. 因为 (4)/(2x+1)\neq0 所以所求值域为 \{y|y{\neq}2\} ：
(2)(换元法)令 t={√(1-x)} C t>=slant0) ，得 x= 1-t^{2} ，所以 y=2(1-t^{2})+t=-2t^{2}+t+ 2{=}{-}2{\Big(}t{-}(1)/(4){\Big)}^{2}+(17)/(8) 因为 t>=slant0 所以 y<=slant (17)/(8) 故函数的值域为 \left(-∞,(17)/(8)\right]
(3)(方法一)判别式法.
由 y={(x^{2}-2x+5)/(x-1)} 得 x^{2}-(y+2)x+(y+ 5)=0. 又函数的定义域为 (-∞,1)\cup(1 ，+∞ ），所以方程 x^{2}-(y+2)x+(y+5)=0 有不等于 1 的实根.当 x=1 时，显然方程不成立，所以 \Delta=(y+2)^{2}-4(y+5)=y^{2}- 16{>=slant}0. 解得 y{<=slant}-4 或 y{>=slant}4. 故所求函数的值域为 (-∞ ,-4]U[4,+o).
(方法二)基本不等式法.
y={(x^{2}-2x+5)/(x-1)}={((x-1)^{2}+4)/(x-1)}=(x-1)+ x-1-所以当x>1时,y=(x-1)+
2{√(4)}=4 ，当且仅当 x=3 时，等号成立；当x<1时,y=-[-(x-1)+=(x-1)]-4 ,当且仅当 x=-1 时，等号成立.所以函数的值域为 (-∞ ， -4]\cup[4,+∞) ：
3.2 函数的基本性质
3.2.1单调性与最大(小)值
第1课时函数的单调性
知识梳理
1 .f(x_{1}){<}f(x_{2} ）增函数 f(x_{1}){\>}f(x_{2}) 减函数2.单调性单调区间【思考】不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.
合作探究
典例①【证明】Vx1,x2E（0,1)，且 x_{1}<x_{2} ，有 f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)={(x_{1}^{2})/(x_{1)^{2}-1}}-{(x_{2}^{2})/(x_{2)^{2}-1}}= (x_{2}^{2}-x_{1}^{2})/((x_{1)^{2}-1)(x_{2}^{2}-1)}{=}((x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1}))/((x_{1)^{2}-1)(x_{2}^{2}-1)}.
由 x_{1}<x_{2} ，得 x_{2}-x_{1}>0. 又由 x_{1} ， x_{2}\in(0 ，1)，得 x_{1}^{2}-1<0,x_{2}^{2}-1<0 所以 f(x_{1})- f(x_{2})>0 ，即 f(x_{1}){\>}f(x_{2}) ，
所以 f(x) 在区间(0,1)上单调递减.
变式【证明】 \forall x_{1} ， x_{2}\in(2,+∞) ，且 x_{1}< x_{2} 有 f(x_{1})-f(x_{2})=\left(x_{1}+{(4)/(x_{1)}}\right)-\left(x_{2}+\right. (4)/(x_{2)}\biggr)=(x_{1}-x_{2})+(4(x_{2}-x_{1}))/(x_{1)x_{2}}{=}(x_{1}{-}x_{2})\ , (x_{1}x_{2}-4)/(x_{1)x_{2}} 由 2<x_{1}<x_{2} ，得 x_{1}-x_{2}<0 ，x_{1}x_{2}-4>0 ，于是 f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0, 即f(x_{1}){<}f(x_{2} .所以 f(x) 在 (2,+∞ 上单调递增.
典例2（1)【解】依题意，得 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减.显然A，C错误，B,D正确.故选BD(2)【解】依题意，得 a<0,b<0. 所以 y= a x^{2}+b x 的对称轴方程为 x=-{(b)/(2a)}<0. 又y=a x^{2}+b x 的图象是开口向下的抛物线，所以 y=a x^{2}+b x 在 (0,+∞) 上单调递减.故选 \mathbf{B}. 变式②（1)【解】依题意，得 f(x_{1}){>}f(x_{2}),f A正确 f(x_{1})f(x_{2}) 的值无法判断，B错误.又x_{1}-x_{2}<0 ，所以（ \l_{x_{1}}-x_{2} ） \left[f\left(x_{1}\right)\right]- f(x2)]<0， (f(x_{1})-f(x_{2}))/(x_{1)-x_{2}}<0,{ C} 2<0,C正确,D错误.故选AC.
(2)【解】显然A错误，B,C正确. 对于D，设 f(x)=\mid x .令 0<x_{1}<x_{2} ，得 f(x_{1})-f(x_{2})=|x_{1}|-|x_{2}|=x_{1}-x_{2}<0 ， 即 f(x_{1}){<}f(x_{2}). 由函数单调性的定义，知 f(x)=\left|x\right| 在 (0,+∞) 上单调递增，故D正 确.故选BCD.
典例3（1)【解】由题图，知该函数的单调递增区间为 [-1,2] 和[4，5].故选B.
(2)【解】y = style\int-x^{2}+2x+1,x>=0, \backslash-x^{2}-2x+1,x<0 费函数图象如右图所示.由图，可知函数的单
调递增区间为（一， ^{-1]} ,[0,1]，单调递减区间为[一1,0]，[1， +∞) 。
(3)【解】由 -x^{2}-2x+3>=0 ，得 -3{<=slant}x{<=slant}1 ，对称轴 x=-1. 又 \scriptstyle y={√(t)} 中 _y 随 \mathbf{\Psi}_{t} 的增大而增大，所以在[一3，一1]上，函数单调递增.故所求为 [-3,-1]. 故选A.变式（1)【解】=1(x{\neq}1) 的图象如右图所示，其单调递减区间是（－∞，1)和 (1,+∞ ).故填（一∞，1)和 (1,+∞) ：
(2)【解】当 x{<}0 时， * f(x)=-2x+1 单调递减；当 x>=slant0 时， f\left(x\right)=-x^{2}+2x+1= -(x-1)^{2}+2 ,在[0，1]上单调递增，在[1，+∞ )上单调递减.综上， f(x) 的单调递增区间为[0,1].故填[0,1].
(3)【解】由 -x^{2}+4x>=slant0 ，得 0{<=slant}x{<=slant}4. 又对称 轴 \scriptstyle x=2 ,所以所求单调递增区间是[0,2]. 故填[0,2].
随堂检测
1.【解】显然A，B错误. f\left(x\right)=x^{2}+2x 在（一∞，一1)上单调递减，在 (-1,0) 上单调递增.在(一∞,0)上， f(x)=\left|x\right|=-x 单调递减.故选D.
2.【解】依题意，得对于任意两个实数 x_{1}< x_{2} ，总有 f(x_{1}){<}f(x_{2} ).所以 f(x) 是增函数.故选C.
3.【解】由题图，知 f(x) 在[—4，—3]和[1,4]
上单调递减.故选B.
4.【解 1f(x)={(1+x-1)/(1+x)}=1+{(-1)/(x+1)}(x\neq-1), 所以 f(x) 的单调递增区间为 (-∞,-1) 和(-1,+∞) .故填 (-∞,-1) 和 (-1,+∞) ：
第2课时函数单调性的应用
合作探究
典例【解】因为 f(x) 在 (-∞,-1] 上单调递增，且 -2<-(3)/(2)<-1 ，所以 f(-2)< f{\Big(}-{(3)/(2)}{\Big)}{\ll}f(-1). 故选D.
变式【解】因为 a^{2}+a-a=a^{2}>0 ，所以a^{2}+a>a .所以 f(a^{2}+a){<}f(a) ,故C正确.A,B,D中大小关系不确定.故选C.
典例②【解】由题意，知 f(x) 是 bf{R} 上的减函数，原不等式等价于 3x-1>x+5 ，解得 x> 3.故选B.
变式②【解】由已知，得 \scriptstyle0<=slant2a-1<{(1)/(3)} ，解得(1)/(2)<=slant a<(2)/(3)
故选D.
典例3(1)【解】当 k=0 时，函数为 _y=x+1 在区间 [2,+∞) 上单调递增，不合题意.
当 k{\neq}0 时 *\{-(k+1)/(2k)<=slant2 解得 k{<=slant}-(1)/(5)
综上，实数 k 的取值范围是 \left(-∞,-{(1)/(5)}\right] 故填 \left[-∞,-{(1)/(5)}\right]
(2)【解】依题意，得 \displaystyle{\binom{a>0,}{a<=slant-1+3a}} 解得 ^a>=slant ，
，即实数α的取值范围为[ \left[{(1)/(2)},+∞\right)
故填[,+∞)。
变式（1)[解 1f(x) 的图象开口向上,对称轴为直线 \b{x}=-\b{a} .若其在区间（一∞o,1]上单调递减，则一 a>=slant1 ，即 a<=slant-1. 若 f(x) 的单调递减区间是（一∞，1]，则 -a=1 ，即 a= -1.故填 \scriptstyle(-∞,-1];-1
\scriptstyle\int-a>=slant1 ，
(2)【解】由题意，得 a{<}0 解\{1^{2}+2ax1+3>= ax1+1. 得一 3{<=slant}a{<=slant}-1. 故填 [-3,-1]
随堂检测
1.【解】对于A，C，因为一2（一1，3]，一1（一1,3］，所以大小关系无法判断，故A，C错误.显然B错误，D正确.故选D.
2.【解 1f(x) 的对称轴为 \scriptstyle x=k ，故 k{<=slant}(1)/(2)
故选D.
3.【解】由题意，得 m-9>-2m ，解得 m>3. 故选C.
4.【解】依题意，得 [2a≤a2-2,解得a≥1+√(3) 故填 [1+√(3),+∞) ：
第3课时 函数的最大(小)值
知识梳理
最大值最小值
【思考】函数的最值与值域都是函数的整体性质，针对整个定义域.不同的是，函数的值域一定存在，但函数的最值不一定存在.如：f(x)=x\left(x\in\mathbf{R}\right) ，值域是R，但无最大值，也无最小值.若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值，
合作探究
典例【解】作出函数y=f(x) 的图象如右图所示.由图象，知当_{x}=±1 时， f(x) 取最
故填1;0.
变式【解】在同一平面直角坐标系内画出函数y=x+2 和 y= _{10-x} 的图象.解方程 x+2=10- x ，得 x=4 ，此时
y=6 ,故两图象的交点为(4，6).
由题意，得 f(x)=\binom{x+2,0<=slant x<=slant4}{10-x,x>4,} {x+2,0≤x≤4其图象如上图中实线部分所示.观察图象，知点（4，6)即为 f(x) 图象的最高点，故 f(x) 的最大值为6.故填6.
大值 f(±1)=1 ；当 \scriptstyle x=0 时， f(x) 取最小值f(0){=}0, 故 f(x) 的最大值为1，最小值为0.
典例②【解】(1) f(x) 在[1， +∞. 上单调递增.证明如下.任取 x_{1},x_{2}\in[1,+∞) ，且 x_{1}< x_{2},f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=(2x_{1})/(x_{1)+1}-(2x_{2})/(x_{2)+1}= (x+1(x+1).因为x1-x2<0,(x+1) 。(x_{2}+1)>0 ，所以 f(x_{1})-f(x_{2}){<}0 ，即f(x_{1}){<}f(x_{2} .所以 f(x) 在区间[1， +∞ >上单调递增.(2)由(1),知 f(x) 在区间[2,4]上单调递增，故 f(x) 在区间[2,4]上的最大值为 f(4)= 41=，最小值为f(2) f(2)=(2x2)/(2+1)=(4)/(3) ：
变式②（1)【解】易知函数在[3，4]上单调递减,所以当x=3时,y取得最大值为32+\scriptstyle1=2. 故选A.
(2)【解】由 y=x 在[1,4]上单调递增，且 y= style{(2)/(x)} 在[1,4]上单调递减,得 f(x)=x-{(2)/(x)}+1 在[1,4]上单调递增.所以由 f\left(1\right)=0 ，f(4)={(9)/(2)} 得f(x)在[1,4]上的值域为[ 0，(9)/(2)] .故选C.
典例3【解】函数 {{y}\mathord{\left/{\vphantom{{{y}\mathord{\left/{\vphantom{{y}\left/{\vphantom{{y}\left/{\vphantom{{y}\left|{\left|{(\left|{\left|{\partial}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}}}}}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace})/(y={{x)\mathord{\left/{\vphantom{{{x}\left|{\left|{(\left|{\left|{\left|{\partial}}\right|}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}}}}}} 在(1,3]上单调递减，在 [3,+∞; 上单调递增，故当 x> 1时 ,f(x)_{min}=f(3)=6-3a.y=x^{2}-2a x+ 2,对称轴为 x=a. 若 style{a>=slant1} ，当 {\boldsymbol{x}}<=slant1 时，f(x)_{min)/(=)f(1){=}3{-}2a .要使 f(x) 的最小值为 f(1) ，只需 f(3)>=slant f(1) ，即 6-3a>=slant3- 2a ，即 a<=slant3, 故 1<=slant a<=slant3. 若 a<1 ，当 {\mathit{x}}<=slant1 时， f(x)_{min}{}=f(a) ，故不是 f (1).综上,只有A,B符合条件.故选AB.
变式3（1)【解】由题意，得 f\left(x\right)=a\left(x+\right. 1)^{2}+1-a ：
① 当 a=0 时， f(x) 在 [-1,2] 上的值为常数1,不符合题意，舍去.
② 当 a{>}0 时， f(x) 在 [-1,2] 上单调递增，最大值为 f(2)=8a+1=4 ，解得 a=(3)/(8) ：③ 当 a{<}0 时， f(x) 在 [-1,2] 上单调递减，最大值为 f(-1)=1-a=4 ,解得 \scriptstyle a=-3 ，综上， a 的值为 或一3.故选C+∞) 时，函数 \scriptstyle y=x+{(9)/(x)} 在 \scriptstyle x=3 处取得最小值，且 y_{min}=6
所以 \left[-\left(x+{(9)/(x)}\right)\right]_{max}=-6. 所以 a{>}{-}6 (方法二)因为 x\in[1,+∞) ，所以 x+{(9)/(x)}>= 2{√(x*{(9)/(x))}}=6 ，当且仅当 x={(9)/(x)} ，即 x=3 时，等号成立.所以 -\left(x+{(9)/(x)}\right) 的最大值为-6. 所以 a>-6. 故 a 的取值范围为 (-6 ，+∞) .故填 (-6,+∞) ：
典例4【解】（1）当 0<x<40 时， L\left(x\right)= 500x-10x^{2}-100x-2~500=-10x^{2}+ 400x-2~500 ；当 x>=slant40 时 L\left(x\right)=500x- 501x-{(10~000)/(x)}+4~500-2~500=2~000- \left({{x+(10\ 000)/(x)}}\right) 所以 \begin{array}{r l}{L}&{{}\left(\begin{array}{l}{x}\end{array}\right)}\end{array}\quad=\quad \lceil-10x^{2}+400x-2~500,0<x<40 ，
\left\{2\ 000-\left(x+(10\ 000)/(x)\right),x>=40.\right.
(2)当 0{<}x{<}40 时 ,L(x)=-10(x-20)^{2}+ 1500，所以 L(x)_{max}{=}L(20){=}1\ 500. 当 x>=slant 40时 ,L(x)=2~000-\Bigl(x+(10~000)/(x)\Bigr)<=slant2~000- 2{√(x*{(10\ {000))/(x)}}}=2\ 000{-200}{=1\ 800} 当且仅当 \scriptstyle x={(10\ 000)/(x)} ，即 x=100 时,等号成立.故L(x)_{max}=L\left(100\right)=1\ 800>1\ 500. 所以当2025年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大,最大利润为 1~800 万元。
变式4【解】(1)当 x<=slant6 时， y=50x-115. 令50x-115>0 ,解得 _{x>2,3.} 因为 x 为整数，所以 3{<=slant}x{<=slant}6. 当 x{>}6 时， y=\left[50-3\left(x-\right. 6)]x-115=-3x^{2}+68x-115. 令一 3x^{2}+ 68x-115>0, 结合 x 为整数，得 6{<}x{<=slant}20. 故x\in[3 ，20］， x\in{bf{Z}} 所以 \begin{array}{r l}{y}&{{}=}\end{array} \begin{array}{r}{|50x-115,3{<=slant}x{<=slant}6,x{\in}\mathbf{Z},}\end{array}
\scriptstyle1-3x^{2}+68x-115,6<x<=slant20,x\in\mathbf{Z}.
(2)对于 y=50x-115(3<=slant x<=slant6,x\in\mathbf{Z}) ，显然当 x=6 时， y_{max}=185 ，
对于 y=-3x^{2}+68x-115=-3\Big(x- {(34)/(3)}\mathbf{λ})^{2}+{(811)/(3)}(6<x<=slant20,x\in\mathbf{Z}),11<{(34)/(3)}<12. 当 _{x=11} 时， y=270 ，当 x=12 时， y=269 所以其最大值为270.（或由11离 更近求得)因为 270>185 ,所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多，最多为270元.
随堂检测1.【解】因为 f(x) 在 [0,3] 上单调递减，所以当x=3时,f(x)取得最小值f(3）=31.故选B.
2.【解 1f(x) 的图象的对称轴为 _{x=1} ，
所以 f(x) 在[一1,1]上单调递减， f(x)_{max}= f(-1)=2+4+3=9 故选A.
3.【解】因为 x+1{\<}0. 所以 {}y=x+{(9)/(x+1)}=x+ 1+{(9)/(x+1)}-1=-\biggl[-(x+1)+{(9)/(-(x+1))}\biggr]- 1<=slant-2{√(-(x+1)*{(9)/(-(x+1)))}}-1=-7 ，当且仅当 -(x+1)=(9)/(-(x+1)) 即 x=-4 时，等号成立.故选B.4.【解】设安排生产 x 台，则获得利润 f(x)= 75x-y=-x^{2}+50x=-(x-25)^{2}+625. 故当 x=25 时，获利润最大.故填25.
微专题三 二次函数的最值
合作探究
奥例1【解】抛物线的开口向上,对称轴为x=-{(3)/(2)} ，易知在 [-5,5] 上 f\left(x\right)_{min}= f{\Bigl(}-{(3)/(2)}{\Bigr)}=-{(1)/(4)} ,f(x)mx=f(5)=42.故选C典例②【解】 |f(x) 的对称轴为 \scriptstyle x=k+1
① 若 k+1{>=slant}2 ，即 k{>=slant}1 ，则 f(x) 在[—2,2]上单调递减，此时 f(x) 在区间 [-2,2] 上的最小值为 f(2)=3-4k ：
② 若 k+1{<=slant}-2 即 k{<=slant}-3 ，则 f(x) 在[-2，2]上单调递增，此时 f(x) 在区间 [-2,2] 上的最小值为 f(-2)=11+4k ：
③ 若 -2<k+1<2 即一 3{<}k{<}1 ，则 f(x) 在区间[—2,2]上的最小值为 f(k+1)=2- k^{2} -2k.综上,在区间[-2,2]上，
\scriptstyle{\left(3-4k,k>=1\right.} ，
f(x)_{min}=\mathrel{\left\{\vphantom{\sum_{k=1}^{2}2k-k^{2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}2}-2k-k^{2},-3<k<1,
\{11+4k,k<=slant-3
典例3【解】(1)由题意，知 f(0)=n=-1 ，f(x) 的对称轴为 x={(-1+2)/(2)}=-{(m)/(4)} ”，解得m=-2. 所以 f(x){=}2x^{2}-2x{-}1
(2)由(1),知 f(x)=2{\left(x{-}(1)/(2)\right)}^{2}{-}(3)/(2),x\in [a,a+2], 当 a+2{<=slant}{(1)/(2)} ，即a≤ a{<=slant}-(3)/(2) 时， f(x) 在 [a,a+2] 上单调递减，所以 f\left(x\right)_{min}= f(a+2)=2a^{2}+6a+3. 当 a<(1)/(2)<a+2 即-(3)/(2)<a<(1)/(2) 时，易知 f(x)_{min}=f\Bigl((1)/(2)\Bigr)= -{(3)/(2)} .当a a{>=slant}(1)/(2) 时， f(x) 在 [a,a+2] 上单调+
递增，所以 f(x)_{min}{=}f(a){=}2a^{2}{-}2a{-}1 综上，在 [a,a+2] 上，
f(x)_{min}=\left\{\begin{array}{l l}{2a^{2}+6a+3,a<=slant-(3)/(2)}\\ {-(3)/(2),-(3)/(2)<a<(1)/(2),}\\ {2a^{2}-2a-1,a>=slant(1)/(2).}\end{array}\right.
典例④【解】 |f(x) 的开口向上且对称轴为 x= a .由于 f(0)=f(2a)=0 由题意，知 t=0 或t+2{=}2a. 若 t=0 ，则 f(x)_{min}=f(a)=-4 或 f(x)_{min}=f(2)=-4. 当 f\left(a\right)=-a^{2}=
一4时， a=2 或 a=-2( 舍去)；当 f(2)=4- 4a=-4 时， a=2. 若 t+2=2a ，则 f(x)_{min}= f(a)=-4 或 f(x)_{min}=f(2a-2)=-4. 当f(a){=}{-}4 时，同上，得 a=2 此时 \scriptstyle t=2, 符合题意；当 f(2a-2)=(2a-2)^{2}-2a(2a-2)= -4 时，解得 a=2 ，此时 t=2 符合题意综上， \scriptstyle a=2,t=0 或 \scriptstyle a=2,t=2
3.2.2 奇偶性
第1课时奇偶性的概念
知识梳理
1 f(-x){=}f(x) 奇函数 _y 轴原点【思考 ① 定义域在数轴上关于原点对称，这是函数 f(x) 为奇函数或偶函数的一个必要条件． ②f(-x)=± f(x)\ominus f(-x)\mp f(x){=}0{\Longleftrightarrow}{(f(-x))/(f(x))}{=}{±}1[f(x){\neq}0],
合作探究
典例【解】（1) f\left(x\right) 的定义域为 R,且f(-x){=}2{-}\mid-x\mid=2-\mid x\mid=f(x) ，所以f(x) 为偶函数.
(2) f(x) 的定义域为 \{-1,1\} ，且 f(-x)= -f(x)=f(x)=0 所以 f(x) 既是奇函数又是偶函数.
(3)因为 f(x) 的定义域为 \{x\mid x\neq1\} ，
所以 f(x) 是非奇非偶函数.
(4)f(x) 的定义域为 (-∞,0)\cup(0,+∞), 当x{>}0 时， -x{<}0,f(-x)=-(-x)+1= x+1=f(x) ；当 x{<}0 时， -x{>}0,f(-x)= (-x)+1=-x+1=f\left(x\right). 综上， \forall x\in (-∞,0)\bigcup(0,+∞) ,都有 f(-x){=}f(x) ，所以f(x) 为偶函数.
变式（1）【解】对于A，因为 f\left(-x\right)= -{(|-x-1|)/(x)}=-{(|x+1|)/(x)}\neq-f\left(x\right) ，所以该函数不是奇函数.对于B,当 x>0 时，f(-x){=}{-}x^{3}-1{=}{-}f(x) ，当 x<0 时，f(-x)=-x^{3}+1=-f(x) ，而 f(0)=0 ，所以该函数是奇函数.对于C，可知[所以x=±2，则有f（(x)=0.显然有 f(-x){=}{-}f(x) ,因此该函数是奇函数.对于 D,可知 \left\{{\begin{array}{l}{2-x^{2}>=slant0,}\\ {\left|x+3\right|-3\neq0}\end{array}}\right. 所以 x\in [-√(2),0)\cup(0,√(2)], 所以 f(x)={(√(2-x^{2)})/(x+3-3)}= (√(2-x^{2)})/(x) 于是有 f\left(-x\right)=-{(√(2-x^{2)})/(x)}= -f(x) ,因此该函数是奇函数.故选BCD.(2)【解】对于A,函数 f(x){=}x^{2}-2x 的定义域为 \mathbf{R},f(-x){=}{x^{2}+2x}{\neq}f(x) ，则 f(x) 不是偶函数，A不满足题意.
对于B,函数 f(x)=\left|x\right|+{(1)/(\left|x\right|)} 的定义域为(-∞,0)\bigcup(0,+∞) 且 f(-x){}=f(x) ，则f(x) 是偶函数.当 x{>}1 时， f(x)=x+{(1)/(x)} 在(1, +∞ )上单调递增，B满足题意.
对于C，函数 f(x)=\mid x\mid+1 的定义域为 bf{R} 且 f(-x){=}f(x) ，则 f(x) 是偶函数.当 x> 1时 \mathbf{\nabla}_{*}f(\mathbf{\boldsymbol{x}})=\mathbf{\boldsymbol{x}}+1 在 (1,+∞) 上单调递增，C满足题意.
对于D,函数 f(x){=}2x^{2}-\left|x\right|{+}1 的定义域为 bf{R} ，且 f(-x){=}f(x) ，则 f(x) 是偶函数.当 x{>}1 时， f(x)=2x^{2}-x+1 在 (1,+∞ >上单调递增，D满足题意.故选BCD.
典例2（1)[解】因为奇函数的图象关于原点对称，且奇函数 f(x) 的图象过点（2,1)和(4，2)，所以 f(x) 的图象也过点 (-2,-1) 和(-4，-2）.所以 f(-4)f(-2)=(-2)x (-1)=2. 故填2.
(2)【解】因为偶函数 f(x) 满足 f(-3)> f(-1) ，所以 f(3){\>}f(1). 故填 f(3){\>}f(1) (3)【解】因为偶函数 y=f(x) 的图象关于_y 轴对称，所以 f(x) 与 x 轴的四个交点也关于 _y 轴对称.因此,若 f(x){=}0 有两根为 x_{1} ，x_{2} ，则另两根为一 x_{1} ，一x2.故 f(x)=0 的四根之和为 x_{1}+(-x_{1})+x_{2}+(-x_{2})=0, 故选D.
变式②（1)【解】由奇偶函数的图象特征，可知只有B为偶函数，其他选项都是非奇非偶函数.故选B.
(2)【解】补全 f(x) 的图象如下图所示.
(2)【解】(方法一)由 f(-x)=-f(x) ，即(-{x}+{a}+1)/((-{x))^{2}+6}=(-{x}-{a}-1)/({x)^{2}+6} ，得 \scriptstyle a=-1 ，
(方法二)由 f(0){=}0 ，得 a=-1, 经检验， a= -1 符合题意.故填一1.
(3）【解 \begin{array}{r}{\begin{array}{r}{1f(x)=(x+a)(b x+2a)=b x^{2}+}\end{array}}\end{array} a(b+2)x+2a^{2}. 因为 f(x) 为偶函数，所以a\left(b+2\right)=0 ，即 a=0 或 b=-2. 当 a=0 时，f(x)=b x^{2} ,其值域不可能为 (-∞,4] ，所以a\neq0 ，从而 b=-2. 此时 f(x)=-2x^{2}+2a^{2} ，若其值域为（一∞，4］，则 2a^{2}=4 ，所以f(x)=-2x^{2}+4. 故填 -2x^{2}+4.
随堂检测
f(1){=}1 ，所以 f(-1)=-3. 收匹A
(2)【解】(方法一)由已知，得
\mid f(-2)=(-2)^{5}+ax(-2)^{3}+bx(-2)-8① \mid f(2)=2^{5}+ax2^{3}+bx2-8②.
①+② ，得 f\left(2\right)+f\left(-2\right)=-16. 所以f(2)=-16-f(-2)=-16-10=-26 ：(方法二)令 g(x){=}x^{5}+a x^{3}+b x ，得 g(x) 是定义在 \mathbf{R} 上的奇函数,从而 g(-2)=-g(2) ：又 f(x){=}g(x)-8 所以 f(-2)=g(-2)- 8=10. 所以 g\ (~-~2)=18. 所以 g\ (2)= -g(-2)=-18. 所以 f\left(2\right)=g\left(2\right)-8= -18-8=-26. 故选A.
变式3（1)【解】因为 f\left(x\right) 为奇函数,且当x{>}0 时， f\left(x\right)=x^{2}-6x ，所以 f(-1)= -f(1)=-(1-6)=5 故选C
(2)【解】由题意，得
\scriptstyle{\int ax(-2)^{3}+bx(-2)-4=2}.
\Big\{ax2^{3}+bx2-4=f(2). 两式相加，得-8{=}2+f(2) ，解得 f(2)=-10. 故选A.典例④(1)【解】(方法一)因为 f(x) 是奇函数，所以 f(-x)=-f(x) ，即 {((-x+1)(-x+a))/(-x)}= ((x+1)(x+a))/(x)
，显然 x\neq0. 整理，得 x^{2}- (a+1)x+a=x^{2}+(a+1)x+a ，即 2(a+ 1)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} ，该式对任意 \scriptstyle x\neq0 恒成立，故 a+1= 0,解得 a=-1
(方法二)因为 f\left(x\right) 为奇函数，定义域为(-∞,0)\cup(0,+∞), .观察 f(x) 的解析式，取 x=-1 ，则 f(-1)=-f(1)=0 ,解得 a= -1.经检验， a=-1 符合题意.故填一1.
(2)【解】（方法一） \mid f(x)=(x+a)(x-4)= x2+(a-4)x-4a， f(-x)=(-x+a)\ * (-x-4)=x^{2}-(a-4)x-4a. 因为 f(x) 为偶函数，所以 f(x){=}f(-x) ，则 a-4=0 ，即a=4 ，
（方法二） \scriptstyleγ(x)=(x+a)(x-4)=x^{2}+(a- 4){\boldsymbol{x}}-4{\boldsymbol{a}} ，要使 f(x) 为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0,即 a-4=0 ，则 a=4. 故填4.(3)【解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a-1=-2a .解得 a=(1)/(3)
f(x)={(1)/(3)}x^{2}+b x+b+1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易知 b{=}0. 故填 3:0. (1)/(3) 、变式4（1）「解1因为 x\neq-{(1)/(2)} \scriptstyle x\neq a
且 ，而f(x) 为奇函数，其定义域关于原点对称，所以 ·经验证，当α= a={(1)/(2)} 时， f(-x)= -f(x) ，函数 f(x) 是奇函数.故填 (1)/(2)
1.【解】对于 \operatorname{A},f(x) 的定义域为 \{x\mid x\neq0\} ，\operatorname{H}f(-x)={(1)/(-x)}=-f(x) ，故 f(x) 不为偶函数，故A错误.
对于B， f(x) 的定义域为 bf{R} 且 f(-x)= -(-\l_{x})^{2}=-x^{2}=f(x) ，故 f(x) 为偶函数，故B正确.
对于C， f\left(x\right) 的定义域为 bf{R} ，且 f(-x)= -2x{+1} 故 f(x) 为非奇非偶函数，故C错误.对于D， f(x) )的定义域为 \{x\mid x>=slant0\} ，故 f(x) 为非奇非偶函数，故D错误.故选B.
2.解】易得 f(-1)=-f(1)=-(1^{3}+1)= -2. 故选A.
3.【解】设 f(x){=}{(\left|x^{2}-1\right|)/(x)} ，则 f(x) 的定义域为 \{x\mid x\neq0\} ，且 f\left(-x\right)=-{(\left|x^{2}-1\right|)/(x)}= -f(x) .所以 f(x) 为奇函数，故C,D错误.当 x{<}0 时， {,}f(x){=}(\left|x^{2}-1\right|)/(x){<=slant}0 故B错误.故选A.
4.【解】易知 f(x)+f(-x)=0 ，即 x^{3}+a+ (-x)^{3}+a=0 ，解得 a=0. 故填0.
第2课时奇偶性的应用
合作探究
典例1（1)【解】设 x<0 ，则一 x>0. 所以f(-x)={√(-x)}+1. 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(-x){=}{-}f(x) ，即 -f(x)={√(-x)}+ 1.所以 f(x)=-√(-x)-1. 因为 f(x) 是 bf{R} 上的奇函数，所以 f(0){=}0
f(x)=\left\{{0,x=0},\atop{√(x)+1,}\right. \left\{-√(-x)-1,x{<}0\right.
所以
√x+1,x>0.
（2）【解】由题意，知 f\left(-∞\right)=f\left(x\right) ，g(-x){=}{-}g(x) 由 f(x)+g(x)=(1)/(x-1)① 用一 x 代替 ① 中的 x ，得 f(-x)+g(-x)= -x-1,所以 f(x)-g(x)= f(x)-g(x)=(1)/(-x-1)②
由 ①② ，解得 f(x){=}(1)/(x^{2)-1},g(x){=}(x)/(x^{2)-1}. 变式（1)【解】易知 f(-x)=-f(x) .因为当 x{>=slant}0 时， f(x)=x\left(x-2\right) 所以当 x{<}0 时， -x>0,f(x)=-f(-x)=-[-x(-x- 2)]=-x(x+2) 故选D.
(2)【解】因为 f(x)-g(x)=x^{3}+x^{2}+1\mathbb{O} ，所以 f(-x)-g(-x)=-x^{3}+x^{2}+1.
又 f(x),g(x) 分别是定义域为 bf{R} 的偶函数和奇函数，所以 f(x)+g(x)=-x^{3}+x^{2}+1②. 由 ①② ，得 f(x)=x^{2}+1. 所以 f(1){=}2. 故选C.典例②（1)【解】由题意，知 f(x) 在 (0,+∞ の上单调递增.由奇函数的性质，知 f(x) 在（一0,0)上单调递增.故选D.
(2)【解】由题意，知 f(x) 在 (-∞ ,0］上单调递减.因为 f\left(x\right) 为偶函数，所以 f\left(x\right) 在[0,+∞) 上单调递增，则 f\left(2\right)<f\left(3\right)< f(4) .又 f\left(-2\right)=f\left(2\right) ，所以 f\left(-2\right)< f(3){\<}f(4) 故选A.
变式②【解】因为 f(x) 是 bf{R} 上的偶函数,所以f(-x)=\left(m-1\right)x^{2}-2m x+3=f\left(x\right)= (m-1)x^{2}+2m x+3. 所以 m=0 ，即 f(x)= -x^{2}+3. 易知 f(x) 在 (-∞,0] 上单调递增，所以 f(-1)>f(-sqrt2)>f(-sqrt3)=f(sqrt3) ，\begin{array}{r}{\sharp\lVert f(√(3))<f(-√(2))<f(-1).}\end{array} 故选B.
典例3(1)【解】由 f(1-a^{2})+f(1-a)<0 得 f(1-a^{2}){<}-f(1-a) .因为 _{y}=f(_{x}) 在[-1,1] 上是奇函数，所以 -f(1-a)=f(a- 1).所以 f(1-a^{2}){<}f(a-1). 又 f\left(x\right) 在[-1,1] 上单调递减，所以\left\{\begin{array}{l l}{-1{<=slant}1-a^{2}{<=slant}1}\\ {-1{<=slant}1-a{<=slant}1,}\\ {1-a^{2}>a-1.}\end{array}\right. ，
，解得 0{<=slant}a{\<}1. 故填[0,1).(2)【解】因为函数 f\left(x\right) 是偶函数，所以f(x)=f(\mid x\mid) .所以 f(1-m)=f(\mid1- m\mid) ， f(m)=f(\mathbf{\Sigma}|m|\mathbf{\Sigma}) ：所以\scriptstyle\left\{-2<=slant1-m<=slant2\right. ，
\mathrel{\mathop{\left?-2<=slant m<=slant2\right.}} ，解得 -1<=slant m<(1)/(2)
\lfloor\mid1-m\mid>\mid m\mid ：
故填 \left[-1,{(1)/(2)}\right) ：
(3）【解 1f(x) 的定义域为R,且 f(-x)= -x^{3}-x=-f(x) ，所以 f(x) 为奇函数.设x1, x_{2}\in\mathbf{R} 且 x_{1}<x_{2} ，则 f(x_{1})-f(x_{2})= x_{1}^{3}+x_{1}-(x_{2}^{3}+x_{2})=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+x_{1}-x_{2}= （x1-x2） * x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+1) 因为 x_{1}< x_{2} ，所以 x_{1}-x_{2}<0,x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+1= \left(x_{1}+(x_{2})/(2)\right)^{2}+(3)/(4)x_{2}^{2}+1>0. 所以 f(x_{1})- f(x_{2}){<}0 ，函数 f(x) 单调递增.因为 f(x+ 2)+f\left(x\right)<0 ，所以 f （ x+2)< -f(x){=}f(-x). 所以 x+2<-x. 解得x{<}-1. 故选A.
变式3（1）【解】依题意，由 f\left(t\right)+f\left(2t+\right.
1){>}0 ，得 f(2t+1)>-f(t)=f(-t) ，则
\scriptstyle\bigwedge-2<t<2 \lceil2t+1>-t ，解得 ， -(1)/(3)<t<(1)/(2) .故选B.
\scriptstyle{\lfloor-2<2t+1<2} ：
(2)【解】由题意，可知 f(x) 为偶函数，且在
(0,+∞) 上单调递减，在 (-∞,0) 上单调递
增.又 f(1)=0 ，所以 f(-1)=f(1)=0. 所以
(f(-x)+f(x))/(x)<0 ，即 (2f(x))/(x)<0 故
\displaystyle{\left\{\begin{array}{l l}{f(x)<0}\\ {x>0}\end{array}\right.} 或 f(x)>0'解得 x>1 或\stackrel{\leftarrow}{\scriptscriptstyle(x<0)} ，
-1{<x<}0. 故选B.
（3)【解） |f(x)=(1)/(x^{2)}+(4)/(x^{4)} 为偶函数.因为函数
y=(1)/(x^{2)} 和y= y=(4)/(x^{4)} 都在 (0,+∞) 上单调递减,所
以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减.因为 f(a+1)< \displaystyle{\int\lvert a+1\rvert>\lvert3-2a\rvert} ，2
f(3-2a) ，所以 \mid3-2a\mid\ne0 解得\lfloor\left\lfloor a+1\right\rfloor\neq0.
a<(3)/(2) 或 (3)/(2)<a<4. 故选B.
随堂检测
1.【解】因为 f(x) 为偶函数，所以 f(-2)= f(2),f(-π){=}f(π). 又 f(x) 在[0， +∞ ）上单调递增，且 2<3<π ，所以 f(2){<}f(3){<} f(π) 所以 f(-2){\<}f(3){<}f(-π), 故选A2.【解】当 x{>=slant}0 时 ,f(x)=x^{2}-2x=x^{2}-2|x| ：令 x{<}0 ，得一 x{>}0 ，则 f(-x)=x^{2}+2x= f(x) .所以当 x<0 时， f\left(x\right)=x^{2}+2x= x^{2}-2|x| 1.综上， f(x)=x^{2}-2\left|x\right| .故选A.3.【解】因为 f(x)+x^{2} 是奇函数， f(x)-x 是
偶函数，
所以{f(=x)±(-x)2=-f(x)-x2，\stackrel{}{\left\{f(-x)+x=f(x)-x\right.}}
解得 f(x)=x-x^{2} .故选C.
4.【解】易知 f\left(1+m\right)>-f\left(2m-4\right)= f(4-2m ).所以 1+m{>}4{-}2m 解得 m{>}1 故 \mathbf{\psi}_{m}\mathbf{\psi}_{m} 的取值范围是 (1,+∞) .故填 (1,+∞) ，
3.3幂函数
知识梳理
1. x^{a}
【思考 ① 因为当 x{>}0 时， \forallα\in\mathbf{R},x^{α}>0 ，② 都有公共点(1,1).
合作探究
典例1（1)【解】根据幂函数定义，可知只有y=x^{-2} 是幂函数.故选B.
(2)【解】设 f(x)=x^{α} (α为常数).由图象过点 (2{√(2)}) ，得 {√(2)}=2^{α} ，解得 α=(1)/(2) .所以y=f(x){=}x^{(1)/(2)} .所以 f(9)=9^{(1)/(2)}=3. 故填3.
变式1（1)【解】幂函数是形如 y=x^{α} (α 为常数)的函数， ① 是 \scriptstyleα=-1 的情形， ② 是 \scriptstyleα=2 的情形， ⑥ 是 α=-(1)/(2) 的情形,所以①②都是幂函数.故选C.
(2)【解】设 f\left(x\right)=x^{a} ，则 4=64^{α} ，解得 α= .所以,f(x)=x,所以 f(8)=8=2.故选A
典例②（1）【解】设f(x)=x^{a} ， g\left(x\right)= x^{β} .因为 ({√(2)})^{a}=2 ，(-2)^{β}=-(1)/(2) ，所以\scriptstyleα=2,β=-1 所以 f\left(x\right)=x^{2} ，
g\left(x\right)=x^{-1} .分别作出它们的图象，如上图所示.由图象，知 ① 当 x\in(-∞,0)\bigcup(1,+∞)
时 ,f(x)>g\left(x\right). ② 当 x=1 时， f\left(x\right)=
g\left(x\right).③ 当 x\in(0,1) 时， f(x){<}g(x) ：\left\{\begin{array}{l l}{m^{2}-2m-2=1}\\ {(1)/(2)m^{2}+m<0,}\end{array}\right. ，（2）【解】由题意，得 解得m=-1. 故填一1.变式②(1)【解】由幂函数 y=x^{n} 在第一象限内的图象，知当 n{>}0 时， n 越大， y=x^{n} 递增速度越快，故曲线 C_{1} 中 n=2 ，曲线 C_{2} 中n{=}(1)/(2) .当n<0时，||越大,曲线越陡峭,所以曲线 C_{3} 中 n=-{(1)/(2)} ，曲线C：中n=-2.
故选B.（2）【解】由题意，得 (m2-4m+4=1解得m=3. 故选A.
典例3【解】(1)因为幂函数 _{y=x^{(1)/(2)}} 在[0,+∞)上
单调递增,且 (2)/(5)>(1)/(3) 所以 .\left({(2)/(5)}\right)^{(1)/(2)}>\left({(1)/(3)}\right)^{(1)/(2)} ：(2)因为幂函数 y=x^{-1} 在 (-∞,0) 上单调递减，且 -(2)/(3)<-(3)/(5) 广崛 1{\Big(}{-}{(2)/(3)}{\Big)}^{-1}{>}{\Big(}{-}{(3)/(5)}{\Big)}^{-1}.
变式【解】(1)因为 y=x^{(3)/(5)} 在 bf{R} 上单调递增
所以1.5<1.7(2)因为 \scriptstyle y=x^{-{(2)/(3)}} 在 (0,+∞) 上单调递减，所
以 \phantom{-}\chi2.2\phantom{-}^{-(2)/(3)}<1.8\phantom{-}^{-(2)/(3)} ：(3)\Big((1)/(5)\Big)^{\circ,6}<1^{0,6}=1,\Big((3)/(10)\Big)^{-0,4}=\Big((10)/(3)\Big)^{\circ,4}> 1^{0.4}=1 故 \left((1)/(5)\right)^{0.6}<\left((3)/(10)\right)^{-0.4} 故填 < ；\displaystyle{<};<.
{63}⑦ 【解】因为幂函数 y=x^{-{(1)/(5)}} 在 (-∞ ，0), (0,+∞) 上单调递减，且当 x{<}0 时， y< 0，当 x>0 时， y>0 ，所以原不等式等价于a+3>5-2a>0 或 5-2a<a+3<0 或 ^{a+} \scriptstyle3<0<5-2a .解得 (2)/(3)<a<(5)/(2) ，或a<-3.故实数 a 的取值范围是 (-∞,-3)\cup\left((2)/(3),(5)/(2)\right) ：变式④【解】因为 y=x^{-{(2)/(3)}} 是偶函数,定义域为(一∞,0)U(0, +∞; ，在 (-∞,0) 上单调递增，在（ (0,+∞) 上单调递减，所以\left\{\left|3a+1\right|>\left|3-a\right|\right. ，
\leftarrow3a+1\neq0 ， 解得a<-2，或\scriptstyle\lfloor3-a\neq0 ：
a<3 ，或 a>3 ，
故实数 a 的取值范围是 (-∞,-2)\cup\left({(π)/(2)}\right. 3)\cup(3,+∞) ，
随堂检测
1.【解】易知D正确.故选D.
2.【解】设 f\left(x\right)=x^{α} 由 f\left(9\right)=3f\left(1\right) ，得{9^{α}=3} ，解得 α=(1)/(2) .所以f(36)= √36 =6.故选C.
3.【解】由题图，知当 x{>}1 时， x^{a}<x^<1<
x^{c}<x^n3vpj5pft7 .由幂函数的性质，知 a<b<0<c<
d 故选A.
4.【解】因为 y=x^{(1)/(3)} 是增函数，所以 0.3(1)/(3)>
0.2^{(1)/(3)} .故填>.
链接高考（1）【解】（方法一）设 f\left(x\right)=
2易得f(x)为奇函数,其图象关于坐标
原点对称，C,D错误.当 x>0 时， f\left(x\right)=
\scriptstyle{(4x)/(x^{2)+1}}={(4)/(x+{/{1){x}}}} ，由“双勾”函数的单调性，知
f(x) 在(0,1)上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减，A正确，B错误.(方法二)设 f(x){=}(4x)/(x^{2)+1}. +1易得f(x)为奇函
数，其图象关于坐标原点对称，C,D错误.当
x=1 时 y=(4)/(1+1)=2{>}0,B 错误.故选 A.(2)【解】因为 f(x) 的定义域为 \{x\mid x\neq0\} ，且
f(-x){=}{-}f(x) ，所以 f(x) 为奇函数又 y=x^{3} 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上单调递
增，且 =α-2在(-∞∞,0)和(0,+∞0)上单调递减，所以 f(x) 在 (-∞,0) 和（0，
+∞ )上单调递增.故选A.
3.4 函数的应用(一)
合作探究
典例1【解】由优惠办法 ① ,可得函数解析式为 y_{1}=20x4+5\left(x-4\right)=5x+60\left(x>=slant4\right. ，\boldsymbol{x}\in\mathbf{N}^{*} ).由优惠办法 ② ，可得函数解析式为y_{2}=(20x4+5x)x92%=4.6x+73.6(x>=slant 4,x\in\mathbf{N}^{*} ).当该顾客购买茶杯40个时，采用① 应付款 y_{1}=5x40+60=260( （元）；采用 ② 应付款 y_{1}=4.6x40+73.6=257.6 （元）.因为_{y_{1}>y_{2}} ，所以选择优惠办法 ② ：
变式【解】（1)由题意，得 y=0.3x+0.5x (3~500-x)=-0.2x+1~750 .所以 _y 关于 x 的函数关系式为 y=-0.2x+1~750(x\in\mathbf{N} ，且 0{<=slant}x{<=slant}3~500) ，
(2)由题意，知自行车的辆次数不小于 60% ，但不大于 75% ，则 3~500x60%<=slant x<=slant3~500x 75% ，即 2~100{<=slant}x<=slant 2625.因为函数 y= -0.2x+1~750 在[2100，2625]上单调递减，所以 y\in[1\ 225,1\ 330] ，即该车管站这个星期日最大的总保管费为1330元.
典例2【解】(1)由题意，得 S=300x-(x^{2}- 200x+40~000)=-x^{2}+500x-40~000(0< x{<=slant}300)
(2)令 S{>=slant}0 ，即一 * x^{2}+500x-40~000{>=slant}0 解得 100{<=slant}x{<=slant}400. 又 0{<}x{<=slant}300 ，所以 100<=slant x{<=slant}300. 收安休证以毕位每月不亏损，则每月处理量应控制在[100,300].(3）由题意，得 {(y)/(x)}=x+{(40\ 000)/(x)}-200>=slant 2√(x*(40~000)/(x))-200{=}200 当且仅当 x= (40\ 000)/(x) 即 x=200 时,等号成立.所以该单位每月处理量为 200~t~ 时，才能使每吨的平均处理成本最低.
【变式②【解】设该公司下调消费投资后的月总收人为 _y 万元，则 y=50\left(1-{(x)/(100)}\right)\left(10+\right. style{(x)/(8)}{\Big)} .要保证该公司月总收入不减少，则50\Big(1{-}(x)/(100)\Big)*\Big(10+(x)/(8)\Big)>=slant10x50, 解得0{<=slant}x{<=slant}20. 因为 x{>}0 所以 x 的取值范围为（0，20].故填(0,20].
典例3【解】（1)由题意，得当 0{<}x{<}100 时，L(x)=100x-\left({(1)/(2)}x^{2}+10x+1\ 100\right)- {~2~}000{=}{-}{(1)/(2)}x^{2}+90x{-}3\ 100 当 x{>=slant}100 时，L(x)=100x-{\Big(}120x+{(4\ 500)/(x-90)}-5\ 400{\Big)}- ~2~000=-20x-(4~500)/(x-90){+3~400}.
\left\{\begin{array}{l l}{-\displaystyle(1)/(2)x^{2}+90x-3~100,0<x<100,}\\ {\displaystyle-20x-(4~500)/(x-90)+3~400,x>=100.}\end{array}\right. 所以L(x)
(2)当 0<x<100 时， L\left(x\right)=-(1)/(2)x^{2}+ 90x-3~100=-(1)/(2)(x-90)^{2}+950, 所以当\scriptstyle x=90 时， L\left(x\right) 取得最大值，最大值为950.当 x>=slant100 时， L\left(x\right)=-20x-(4500)/(x-90)+ 3\ 400=-20{\bigg[}(x-90)+{(225)/(x-90)}{\bigg]}+1\ 600<=slant -20{x}2√((x-90)\bullet(225)/(x-90))+1~600=1~000, 当且仅当 x-90=(225)/(x-90) ，即 x=105 时，等号
成立.因为 1~000{>}950 ，所以 L\left(x\right) 的最大值为 1\ 000 万元，此时年产量为105千件.
变式3【解】设里程为 x\ km 时乘客需付费 _y 元.由题意，当 0{<}x{<=slant}3 时， _{y=10} ；当 3{<x}{<=slant} 8时 ,y=10+2(x-3)=2x+4; 当 x{>}8 时，y=10+(8-3)x2+3(x-8)=3x-4. 所以(10,0{<}x{<=slant}3 ，
y=\left\{2x+4,3<x<=slant8\right. 出租车行驶 2~km 乘\phantom{+}3x-4,x>8
客需付费10元，A正确.出租车行驶 10~km ，
乘客需付费 10x3-4=26 （元），B错误.某人
乘出租车行驶 5~km 两次的费用为 (2x5+
4)x2{=}28 （元），乘出租车行驶 10~km 一次的
费用为26元，C正确.当 x{>=slant}3 时，函数单调
递增，而 2x8+4=20<32 ，所以当 y=32 时 ,3x-4=32. 解得 x{=}12{,}D 正确.故选ACD.随堂检测
1.【解】由已知，得 7.5~h~ 按 ^{8~h~} 计算，故停车费 为 5+(8-3)x3=20 (元）.故选C.
2.【解】若 4x=60 ，则 x=15>10 ，不合题意； 若 2{x}+10=60 ，则 x=25 ，满足题意；
若 1.5x=60 ，则 x=40{<}100 ,不合题意.故拟 录用25人.故选B.
3.【解】设灯具商店每月的利润为 z 元，则 z= C x-10)(-10x+500)=-10(x-30)^{2}+ 4\ 000{<=slant}4\ 000. 故填4000.
章末整合(三)
题组一
1.【解】根据题意，符合题意的函数图象为C.故选C.
2.【解】显然A正确.B中函数定义域不同，故B错误.
对于C，由 {0≤x2-1≤3解得1<x≤2,或-2{<=slant}x{<}-1 ，故C正确.
对于 D,f({√(x)}-1)=x-3{√(x)}=({√(x)}-1)^{2}- (√(x)-1)-2 ，则 f\left(x\right)=x^{2}-x-2\left(x\right)>=slant ^{-1)} ，故D正确.故选ACD.
3.【解】当 x{>=slant}0 时， \scriptstyle* g(x)<=slant2-x ,即 x^{2}+x- 2{<=slant}0 ，解得 0{<=slant}x{<=slant}1. 当 x{<}0 时， g\left(x\right){<=slant}2- x ，即一 x^{2}+x-2{<=slant}0 ，解得 x<0. 综上， x 的取值范围是（一∞o,1].故填 (-∞,1] 。题组二
1.【解】显然A错误.对于B,\left|f(-x)\right|g(-x)=\mid-f\left(x\right)\mid g\left(x\right)= \left|f(x)\right|g(x) ，所以 h\left(x\right) 为偶函数，故B错误.对于C,y=,y=- y=-{(6)/(x)} 均为[1,3]上的增函数，所以 f\left(x\right) 在[1,3]上的最大值为f(3){=}1 ，故C错误.对于D,若 f(x) 在区间[1,3]上单调递增,则 3<=slant{(k)/(2)} ，即k≥6;若f(x)在区间[1,3]上单调递减，则 (k)/(2){<=slant}1 ，即k{<=slant}2. 故D正确.故选D.
2.【解】因为 f\left(x\right) 为 bf{R} 上的奇函数，且f(1){=}0,f(x) 在 (-∞,0) 上单调递增，所以f(0)=f(-1)=0,f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.由 x f\left(x\right)>=slant0 ，可得 f(x)≤o,或style{\left\{{\begin{array}{l l}{x>0,}\\ {f(x)>=0}\end{array}}\right.} 或 \scriptstyle x=0 解得 {\boldsymbol{x}}{<=slant}-1 ，或 x{>=slant}1 ，或
\scriptstyle x=0. 故选D.
3.【解】（1）由 f\left(x\right) 是奇函数，得 f\left(0\right)= {(ax0+b)/(4-0)}=0 ，解得 b=0. 又 f\left(-1\right)= {(-a)/(4-(-1)^{2)}}{=}-{(1)/(3)} ,所以α=1.所以 f(x)=(x)/(4-x^{2)}
(2)f(x) 在 (-2,2) 上单调递增.证明如下.设 -2<x_{1}<x_{2}<2 ，则 f(x_{1})-f(x_{2})= \begin{array}{r l r}{(x_{1})/(4-x_{1)^{2}}-(x_{2})/(4-x_{2)^{2}}=(4x_{1}-x_{1}x_{2}^{2}-4x_{2}+x_{2}x_{1}^{2})/((4-x_{1)^{2})(4-x_{2}^{2})}}&{{}=}&{}\end{array} (4(4-由-2<x1<x2<2，得4+x_{1}x_{2}>0,x_{1}-x_{2}<0,(4-x_{1}^{2})(4-x_{2}^{2})> 0，所以 f(x_{1})-f(x_{2}){<}0. 所以 f\left(x\right) 在(-2,2) 上单调递增.
(3)f(1)=-f(-1)=(1)/(3).f(3x-1)-(1)/(3)>
f\left(3x-1\right)>(1)/(3)=f\left(1\right) 又 f\left(x\right) 在 (一2,2)上单调递增，所以 {-2<3x-1<2.解 得 <x<1.,故不等式的解集为(,1).
题组三
1.[解】因为函数 \scriptstyle y=x^{(p)/(q)} 的定义域为 (-∞,0)\lfloor 一(0,+∞) ，且在 (0,+∞ )上单调递减，所以<0.因为函数=x的图象关于 轴对称，所以函数 \scriptstyle y=x^{(p)/(q)} 为偶函数，即 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 为偶数.又 _{p,q} 互质，所以 q 为奇数，故D正确.故选D.2.【解】设 f(x)=x^{α} ，则 f(2)=2^{α}=√(2) 所以=,即f(x)=x=√.显然A正确.对于B,因为 x{>=slant}0 ，所以 y{>=slant}0 ,故B错误.对于C，易得 {\biggl[}{(f(x_{1})+f(x_{2}))/(2)}{\biggr]}^{2}- \Big[f\Big((x_{1}+x_{2})/(2)\Big)\Big]^{2}=-(\Big(√(x_{1)}-√(x_{2)}\Big)^{2})/(4)<0, 所以 (f(x_{1})+f(x_{2}))/(2){<}f\Big((x_{1)/(+)x_{2}}{2}\Big) ,故C正确.(C项也可由图象判断)对于 D,g\left(x\right)=[f(x)]^{2}+(1)/([f(x)]^{2)}=x+ style{(1)/(x)} ，易知 g\left(x\right) 在 (0,1) 上单调递减,在(1,+∞. 上单调递增，故D错误.故选AC.
题组四
1.【解】对于D,当 \scriptstyle x=0 时，虚线 _y 值变大，说明成本减少，且虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，D正确.故选D.
2.[解】(1)当1≤x≤10 时,令- (360)/(x^{2)}-(112)/(x)+ 10{<=slant}2 ，即 x^{2}-14x+45<=slant0 ，解得 5{<=slant}x{<=slant}9 ：所以 x 的取值范围为[5，9].
(2)由题意，得该设备一天的耗电总量为
W(x)=x\bullet C(x)=\left\{(360)/(x)+10x-112,1{<=slant x}{<=slant}10,\right. ① 冏当 1<=slant x<=slant10 时 W\left(x\right)=(360)/(x)+10x- 112>=slant2√((360)/(x)x10x)-112=8 3×10x-112=8,当且仅当(360)/(x)=10x ,即 x=6 时，等号成立.
② 当 10<x<=slant20 时， W\left(x\right)=x^{2}-26x+ 184=(x-13)^{2}+15 ，当 _{x=13} 时，取得最小值15.因为 W(6){\<}W(13) ,所以最小值为W(6).所以该设备一天的耗电总量最小值为 8~kW 取最小值时设备当天的运行时间为 6~h~
题组五
1.[解】因为 f{\Bigl(}{(1)/(2)}{\Bigr)}=-{\Bigl(}{(1)/(2)}{\Bigr)}^{2}+2={(7)/(4)} ，所{\bar{U}}{\Bigl(}f{\Bigl(}{(1)/(2)}{\Bigr)}{\Bigr)}=f{\Bigl(}{(7)/(4)}{\Bigr)}={(7)/(4)}+{(4)/(7)}-1={(37)/(28)}. 当 x{<=slant}1 时， f(x)=-x^{2}+2 易知 f(x) 在(-∞,0) 上单调递增，在[0，1]上单调递减，日 \scriptstyle.f(-1)=f(1)=1,f(0)=2. 当 x{>}1 时，f(x)=x+{(1)/(x)}-1 易知 f(x) 在 (1,+∞)\operatorname{E} 单调递增.令 x+{(1)/(x)}-1=3 解得 x=2+{√(3)} 或 x=2-{√(3)} (舍去).所以 (b-a)_{max}=2+ {√(3)}-(-1)=3+{√(3)}. 故填 (37)/(28);3+√(3) ，
2.【解】易知函数 \scriptstyle y=x^{3}- style{(2)/(x)} 为奇函数,则曲线 c 的图象关于原点对称，所以点 M 与 N,P 与 Q 分别关于原点对称.不妨设 M ，N,P,Q 的位置如右图所示.易知 S_{\triangle\partial Q N}{=}S_{\triangle\partial P M}{=}
S_{\triangle O Q M}=√(2) ，所以 S_{\triangle M N Q}=2√(2) .故填 _{2√(2)} ，
第四章 指数函数与对数函数4.1指数
4.1.1 n 次方根与分数指数幂
知识梳理
±b{1.(1)}\b{x}^{n}=\b{a} n 次方根 (2)sqrt[n]{a} \boldsymbol{a}\in\mathbf{R} ±sqrt[n]{a} (0,+∞) ? (3)根式根指数被开方数±b{2.(1)0}\quad(2)a\quad(3)a\quad\left\{{a,a>=0},\atop-a,a<0}\right.
±b{3}.(1)sqrt[n]{a^{m}}(1)/(a^{/{m){n}}}(1)/(sqrt[n]{a^{m)}} (3)0 没有意义(4)1
±b{4}.(1)a^{r+s}\quad(2)a^{r s}\quad(3)a^{r}b^{r}
【思考】 ① 在Va有意义的前提下， ({sqrt[n]{a}})^{n}=a 恒成立.当 n\in\mathbf{N}^{*} ，且 n{>}1 时， sqrt[n]{a^{n}} 恒有意义.若 n 为偶数时，则 {sqrt[n]{a^{n}}}=|a| . ② 不可以理解为 (m)/(n) 个 \scriptstyle a 相乘， a^{(m)/(n)} 是根式的一种新的写法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.③sqrt[4]{(-2)^{2}}\neq(-2)^{(1)/(2)} ,因为式子右边无意义.把根式 sqrt[n]{a^{m}} 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 (m)/(n) 进行约分.
合作探究
典例1【解】(1) {sqrt[3]{-125}}={sqrt[3]{(-5)^{3}}}=-5.
(2） sqrt[4]{(-16)^{2}}=sqrt[4]{16^{2}}=sqrt[4]{4^{4}}=4 ，
(3) √(x-3)=|x-3|={x-3,x≥3,
(4)原式 =|1{-}{√(2)}|+(1{-}{√(2)})+|1{-}{√(2)}|=
{√(2)}-1
变式【解】(1) sqrt[4]{(6-2π)^{4}}=|6-2π|=2π^{-6}.
(2) sqrt[3]{a^{3}}+sqrt[4]{(1-a)^{4}}=a+\mid1-a\mid=
style|1,a<=slant1 ，
\backslash2a-1,a>1,
(3)由题意，知 a-1>=slant0 即 a{>=slant}1. 原式 \scriptstyle-a-1+
|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.
(4)因为 x{<}π ，所以 x-π<0. 当 n 为偶数时，
sqrt[n]{(x-π)^{n}}=\vert x-π\vert=π^{-}x ；当 n 为奇数
时， {sqrt[n]{(x-π)^{n}}}=x-π. 综上， sqrt[n]{(x-π)^{n}}=
\scriptstyle({π}-{x},n 为偶数， n\in\mathbf{N}^{*} ，
\vert{\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{π}},{\boldsymbol{n}} 为奇数， n\in\mathbf{N}^{*} ：
典例②【解】（1)原式 =[3^{4}x(3^{(4)/(3)})^{(1)/(2)}]^{(1)/(4)}=
(3^{4+(2)/(3)})^{(1)/(4)}=3^{(7)/(6)}=3sqrt[6]{3}
(2）原式 :=m^{(1)/(2)}\bullet m^{(1)/(3)}\bullet m^{(1)/(4)}\bullet m^{-{(5)/(6)}}\bullet m^{-{(1)/(4)}} =m^{{(1)/(2)}+{(1)/(3)}+{(1)/(4)}-{(5)/(6)}-{(1)/(4)}}=m^{0}=1.
(3)原式=1+ 1 X 4一9 |2 41 1 16=1+6 1015
(4)原式 ={({/{1)/(a^{2)}}-{(1)/(b^{2)}}}{{(1)/(a)}+{(1)/(b)}}}+\left(-b^{-{(1)/(2)}}\right)^{2}-\left(a^{(1)/(2)}\right)^{2} 解得 -(1)/(6)<x<(1)/(2) ,C正确。
对于 _{D,a+b+c=-15a>0,D} 正确.
故选ACD.13【解】(1)不等式 x^{2}-6x+5<=slant0 可化为(x-1)(x-5){<=slant}0 ，解得 A=\{x\mid1{<=slant}x{<=slant}5\} ，\complement_{U}A=\{x\mid x<1 ，或 x{>}5 .当 a=3 时， B= \{x\vert-1<=slant x<=slant7\} ，所以 (\complement_{U}A)\bigcap B=\{x\mid -1{<=slant}x{<}1 ，或 5{<}x{<=slant}7{\} ，
(2)由题意，可知非空集合 B 是集合 A 的真子集，所以 \left\{{1+2a<=slant5},\right. 解得 解得 (1)/(3){<=slant}a{<=slant}1. 易，
知两个等号不能同时取得.所以 \scriptstyle a 的取值范围是 \left\{a\bigg|(1)/(3)<=slant a<=slant1\right\}
14C【解】因为函数 y=-x^{2}+b x+c 只有一个零点，所以 \Delta=b^{2}+4c=0. 设方程-x^{2}+b x+c-m=0 的两实根为 x_{1},x_{2} ，则{x_{1}+x_{2}=b} ， x_{1}x_{2}=-c+m ，且 \mid x_{2}-x_{1}\mid= 2.所以 (x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}= b^{2}-4(-c+m)=4. 整理，得 b^{2}+4c-4m= 4，所以 m=-1. 故选C.第2课时一元二次不等式的应用
1 \mathbf{A} 【解】易知A正确.故选A.
2D【解 \mathtt{l A}=\{x|-1<=slant x<=slant1\},B={\Big\{}x{\Big|}x< ，或x>1},所以 AUB=R.故选 D.
3C【解】当 k=0 时， 3{>}0 恒成立，满足题意.当 k\neq0 时， \binom{k>0,}{\Delta=(-2k)^{2}-4kx3<0} 解得 \scriptstyle0<k<3. 综上，k的取值范围是 \{k\mid0{<=slant}k< 3}.故选C.
4C【解】对于A,由 x^{2}-2x<3 ，解得 -1< x<3.由 (x^{2}-2x)/(x-1)<(3)/(x-1) ((x-3)(x+1))/(x-1)< 0,解得 x{<}-1 ，或 1{<}x{<}3,A 不满足.
对于B:由 (x-3)(x+1>0,解得x>-1， ，且 x\neq3. 由 x+1>0 ,解得 x{\stackrel{style\sum-1,B}{style\qquad}} 不满足.对于C，由 (x+3)(x-1)>0,解得x>1.由x^{-}1>0 ,解得 _{x>1,C} 满足.
对于D,由 (x-3) \left(x+5\right)^{2}-\left(2x+1\right)\left(x+ 5)^{2}>0 ，得 \begin{array}{r}{(x+4)(x+5)^{2}<0.}\end{array} 解得 x<-5 ，或 -5<x<-4. 由 _{x}-3>2x+1 ,解得 x< -4,D 错误.故选C.
5BCD【解】当 a<0 时，不等式等价于 (x- 1)(x-a)<0 ，解得 a<_{X}<1. 当 a=0 时，不等式的解集是 O. 当 \vert a>0 时,不等式等价于\left(x-1\right)\left(x-a\right)>0. 当 0{<}a{<}1 时，不等式的解集为 \{x\vert x{<}a ，或 _{x>1\}} .当 a=1 时，不等式的解集为 \{x\vert x\ne1\} .当 a{>}1 时，不等式的解集为 \{x\vert x<1 ，或 \scriptstyle x>a .综上，B,C，D满足题意.故选BCD.
【解 λ\Delta=(m-3)^{2}-4m=m^{2}-10m+9<=slant 0,解得 1{<=slant}m{<=slant}9. 故填 \{m\mid1{<=slant}m{<=slant}9\} ：
7【解】当 \scriptstyle0<t<1 时， >1>t>0,所以原不等式的解集为 业」丨.1丨 \left\{x\bigg\vert t<x<(1)/(t)\right\} ：
故填 \left\{x\bigg\vert t<x<(1)/(t)\right\}
8【解】(1)原不等式可化为 a x^{2}+(a-2)x- b{>=slant}0. 由题意，知一2，一1是方程 a x^{2}+(a-\ | \begin{array}{l}{{2)\ x-b=0}}\\ {{\left\{-{(a-2)/(a)}{=}-3,\right.}}\\ {{\left.-{(b)/(a)}{=}2.}}\end{array} 的两根，且 a<0 ，所以解得6=2. \begin{array}{c}{{\{a=-1}}\\ {{b=2.}}\end{array}
(2)当 a<0,b=2 时,原不等式可化为 \left({{x}-}\right) style{(2)/(a)}\displaystyle{\Big)}*(x+1)<=slant0. 冏当 (2)/(a){>}-1 即 a<-2 时，解得 -1{<=slant}x{<=slant}{(2)/(a)} 2.当 (2)/(a)=-1 ，即 a=-2 时，a·
解得 —1.当 (2)/(a)<-1 即 -2{<}a{<}0 时，解得 (2)/(a){<=slant}x{<=slant}-1. 综上，当一 *2{<a<}0 时，不等式的解集为 \left\{x\left|(2)/(a){<=slant}x{<=slant}-1\right.\right\} 当 a=-2 时，不等式的解集为 \{-1\} ;当 a<-2 时，不等式的解集为 \left\{x{\Big|}-1{<=slant x}{<=slant}{(2)/(a)}\right\}
9C【解】原不等式等价于 \left(x-3\right)\left(x-m\right)< 0.当 m{>}3 时，解得 3{<x<}m 要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故 6{<}m{<=slant}7. 当 m=3 时，无解，不合题意.当m{<}3 时，解得 m{<}x{<}3 ,显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意.综上， m 的取值范围是 \{m\vert6<m{<=slant}7\} .故选C.
10【解】由 x^{2}+3x-4<0 ,解得 -4<x<1 ，由（x-m)( * x-m-3)>0 ,解得 x>m+3 ，或 x{<}m. 设 A=\{x\mid-4<x<1\},B=\{x\mid x>m+3 ，或 x{<}m ，则 A\subseteq B. 故 m{>=slant}1 ，或m+3<=slant-4 ，即 m{>=slant}1 ，或 m{<=slant}-7 ：
故填 \{m\:|m<=slant-7 ，或 \scriptstyle m>=1\} ，
【解](1)设该种玻璃的售价提高到 x 欧元 \dot{m}^{2} .由题意，得[80－2（ x-25 门 x>=slant 2000,解得 25{<=slant}x{<=slant}40. 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/ {\dot{m}^{2}} ：
(2)由题意，得 m n>=2\ 000+500+2m+ {(5)/(3)}(m^{2}-600)=1\ 500+2m+{(5)/(3)}m^{2} m”，即n≥(1\ 500)/(m)+(5)/(3)m+2>=slant2√((1\ 500)/(m)\bullet(5)/(3)m)+2= 102,当且仅当 {(1\ 500)/(m)}={(5)/(3)}m m,即m=30时，等号成立.所以该种玻璃的销售量 n 至少达到102万平方米时，才可能使2025年的销售收人不低于2024年销售收入与2025 年投入之和，此时的售价为30欧元/ \Omegam^{2} ：
【解】依题意,得 △=16-8ab=0,即{ab=2因为 {(a^{2}+b^{2})/(a-b)}={((a-b)^{2}+2a b)/(a-b)}= {((a-b)^{2}+4)/(a-b)}=(a-b)+{(4)/(a-b)} a-b,且a>b,所以(a-b)+(4)/(a-b)>=4 +a≥4,当且仅当α-b=2 时，等号成立.所以 的最大值为 (1)/(4) 故填 *(1)/(4)
微专题一不等式恒成立、
能成立问题
1D【解】若 a=0 ,则原不等式等价为 2{>}0 ，此时不等式恒成立.若 it{a}\neqit{0} ，则\stackrel{\left\{a>0,\right.}}{\Delta}=a^{2}-8a<0. 解得 \quad0{\<}a<8. 综上，满足题
意的 a 的取值范围是 \{a\mid0{<=slant}a{<}8\} .故选D.2A【解】易得 a>=slant x^{2}. 当 x\in[1,2] 时，(x^{2})_{min}=1 ，所以 \scriptstyle a>=slant1. 故选A.
BB【解】当 (1)/(2)<x<3 时，由 x^{2}-t x+1>0 ，得 t<{(x^{2}+1)/(x)}=x+{(1)/(x)} 恒成立.又 x+{(1)/(x)}>= 2{√(x*{(1)/(x))}}=2 ，当且仅当 x=1 时，等号成立，所以 t<2. 故选B.
C[解】由题意,得x+ x+{(y)/(2)}=\left(x+{(y)/(2)}\right) \begin{array}{r}{\left((1)/(x)+(2)/(y)\right)=2+(y)/(2x)+(2x)/(y)>=slant2+}\end{array} 2{√((y)/(2x)*{(2x)/(y))}}=4 =4，当且仅当 {(y)/(2x)}={(2x)/(y)} 2,即x=2,y=4 时，等号成立.所以 x+{(y)/(2)} 的最小值为4.由不等式x+< x+{(y)/(2)}<m^{2}+3m 有解，得m^{2}+3m>4 ，即 m^{2}+3m-4>0. 解得 m< -4，或 m{>}1. 故选C.
5D【解】由题意,知存在实数 x 使 (1-x)_{X}- (a+1)(a-2)=x-x^{2}-(a+1)(a-2)>=slant(3)/(2)>=slant 2成立,即存在实数 x ,使不等式 x^{2}-x+a^{2}-a- (1)/(2){<=slant}0 成立.所以 \Delta=1-4\Bigl(a^{2}-a-{(1)/(2)}\Bigr)>=slant 0,即 4a^{2}-4a-3<=slant0. 解得 -(1)/(2)<=slant a<=slant(3)/(2) 所以a 的最大值为 .故选 D
6A【解】 \scriptstyle|\forall x>0,a<=slant{(x^{2}+1)/(x)}=x+{(1)/(x)} ，等价于 a<=slant\left(\vphantom{(1)/(x)}x+(1)/(x)\right)_{min} ·因为x+2{√(x*{(1)/(x))}}=2 当且仅当 x=1 时，等号成立，所以 a{<=slant}2. 故 \lnot p 是 q 的充分不必要条件.故选A.
7【解】因为 x^{2}+x+1>x-1 所以 x-1<=slant a<=slant x^{2}+x+1 恒成立.所以 (x-1)_{max}{<=slant}a{<=slant} (x^{2}+x+1)_{min} 所以 0{<=slant}a{<=slant}(3)/(4) ≤故α的取值范围是 \left\{a\bigg\vert0{<=slant}a{<=slant}(3)/(4)\right\}
8【解】由题意，得 \forall~-~1<=slant a<=slant3,a x^{2}~-~ (2a-1){x}+3-a>=slant0, 即 (x^{2}-2x-1)a+x+ 3{>=slant}0. 所以 {-（x2-2x-1)+x+3≥0解得(3(x2-2x-1)+x+3≥0.
-1{<=slant}x{<=slant}0 或 (5)/(3){<=slant}x{<=slant}4. 故 x 的取值范围是\left\{x\Big\vert-1<=slant x<=slant0\right. 或《《乡
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念
1B【解】只有B满足函数的定义.故选B.2C【解】用区间可表示为 (-1,5] 故选C.3B【解】令 x=9 ，得 f({√(9)}-1)=f(2)= 9-1=8. 故选B.④A【解】由题意，得 y=40-2x. 由[40-2x>0-2解得 10<x<20.故选 A.5ABD【解】由题图，知 f(0)=-2 ，故A正确 f(x) 的定义域为[一3，2]，故B正确.f(x) 的最小值为一3，最大值为2，即 f(x) 的值域为[一3，2]，故C错误.当 f(x)=0 时，x=或 2,故D正确.故选 ABD.
6BC【解】对于 A,P_{} 中的元素 0 在 Q 中没有
元素与之对应，所以不是函数.对于B，P中的任一元素与 Q 中唯一元素对应，所以是函数.对于 \scriptstyle{C},P 中的任一元素在 f 的作用下， Q 中都有唯一的元素与之对应，所以是函数.对于
D,集合 P 不是数集，故不是函数.故选BC.
7【解】分别将 _{x=-1,0,2,3} 代人 y=x^{2}-
3x 中,得函数的值域为 \{-2,0,4\} ，故填 \{-2,0,4\} ：
8【解】 1p-1{<}2p+1 ，解得 p{<}1 ，
故填 (-∞,1) ：
9【解】图1中,定义域为 \{x\mid0{<=slant}x{<}3\} ，值
域为 \{y\mid0{<=slant}y{<=slant}1 ，或 y=21 .图2中，定义域
为 \{x\mid x>=slant-2\} ，值域为 \{y\vert y>=slant0\} .图3中，定
义域为 bf{R} ，值域为 \{y\vert-1{<=slant}y{<=slant}1\} ：
10【解】(1） \{x|x^{2}+1>0\}=\mathbf{R}=(-∞,+∞). (2)f(x)=(1)/(2)x^{2}-x+1=(1)/(2)(x-1)^{2}+(1)/(2),
则 f(x)_{min}{=}f(1){=}(1)/(2),f(x)_{max}{=}f(4){=}5,
以一 f(x) 的值域为 \left[(1)/(2),5\right] ：
BD【解】A中,集合 M 中的元素一1在集合 N 中没有对应元素，不能构成函数.C中，
集合 M 中的元素1,4在集合 N 中没有对应
元素，不能构成函数.B,D中,集合 M 中的每一个元素在集合 N 中都有唯一元素与之对
应,能构成函数.故选BD.
12【解】从 A 到 B 的函数：“三对一”有2个，“二对一、一对一”有6个，共有8个.从 B
到 A 的函数：“二对一"有3个，“一对一"有6
个,共有9个.故填8;9.
13【解】由 \scriptstyle y=x+{(8)/(x)} +可构建如下情境：
某校计划在劳动教育实践基地新增一块两面
靠墙的矩形菜地,其面积为 8~m^{2} ,其中一边
长为 xrm{m} 该菜地的另两边用篱芭围起来，所
需篱笆长为 yrm{m} 则 \scriptstyle y=x+{(8)/(x)} ,其中 x{>}0.
再如长为 8~km 的路程，以 x\ km/h 的速度匀
速行驶,中途休息 x~h~ 总用时 \scriptstyle y=x+{(8)/(x)}
14D【解】令 y=0 ，得 x=1 ；令 y=4 ，得
x=-1 或 \scriptstyle x=3 ；令 y=16 ，得 \scriptstyle x=-3 或 x=
5.设定义域为 A. 若 A 中的自变量 x 对应的函数值为0，则 x 可取1,共有1种情况.若 A 中的自变量 x 对应的函数值为4,则 x 可取-1,也可取3，也可以取一1,3，共有3种情
况.若 A 中的自变量 x 对应的函数值为16，
则 x 可取一3，也可取5，也可以取一3，5，共
有3种情况.故不同的定义域为 \{1,-1 ，-3}，{1，-1,5}，{1,3，-3}，{1,3,5}， \{1,-1 ，
\left.3,-3\right?,\left?1,-1,3,5\right?,\left?1,-1,-3,5\right?,\left?1,3,\right?
-3,5\},\{1,-1,3,-3,5\} ,共9个.故选D.第2课时函数概念的应用
C【解】A中， x{>=slant}0.B 中， x-1\neq0 ,即 x\neq {\boldsymbol x}\in{\mathbf R}.{D} x\neq0. \mathbf{c} 1.C中， 中， 故选
2D【解 \displaystyle{1y=√(4x^{2)}=2\lvert x\rvert} ，与 y=2x 的对应关系不相同， \scriptstyle y={(2x^{2})/(x)} 与 y=2x 的定义域不同,故 A,B,C不符合. y=sqrt[3]{8x^{3}}=2x ，与y=2x 的定义域、对应关系都相同，是同一个函数.故选D.
3C【解】由 style{\binom{x\neq0,}{x+2>0}} 解得 x{>}-2. 且 x\neq 0.故选C.
4B【解】由 2x-1>0 解得 x{>}(1)/(2) ,即M=
\scriptstyle\left({(1)/(2)},+∞\right) .集合 N 表示函数 y={(1)/(x)} 的值域， N=(-∞,0)\cup(0,+∞) .结合选项，知A,C，D均不成立，B成立.故选B.
5B【解】因为 f(x+1) 的定义域为 (-1 ，1)，所以 -1{<x<}1 ，即 \scriptstyle0<x+1<2. 所以 0< |x|<2. 解得 -2{<x<}0 ，或 0{<}x{<}2. 故选B.6BD【解】A中，对应关系不一致，故不表示同一函数.B中，自变量与所选字母无关，表示同一函数.C中， f(x) 的定义域为R， g\left(x\right) 的定义域为 \{x\vert x\in\mathbf{R} ，且 \scriptstyle x\neq0\} ，故不表示同一函数.D中， g\ (\ x\ )=√(4x^{2)+4x+1}= |2x+1|=f(x) ，且定义域都为 bf{R} ，表示同一函数.故选BD.
7【解】由题意，知 {1-x≥0'解得x≤1,且\scriptstyle x\neq0, 故 f(x) 的定义域为 (-∞,0)\cup(0,1]. ，故填 \begin{array}{r}{(-∞,\mathbf{0})\bigcup\left(\mathbf{0},\mathbf{1}\right].}\end{array}
8【解】由 √(x+3)>2 ，得 _{x>1} ，即 A=(1 ，+∞).y=x^{2}+2>=slant2 ，即 B=[2,+∞) .所以\upzeta_{U}B=(-∞,2) 所以 A\cap(\complement_{U}B)=(1,2) 故填(1,2).
[解](1)由 {2220解得x≤—2,或x{>=slant}2 且 x\neq7. 故 f(x) 的定义域为 (-∞ ，-2]\cup[2,7)\cup(7,+∞) ：
(2)因为 f(-2)=-(1)/(9),f\Bigl((5)/(2)\Bigr)=(3)/(2)-(2)/(9)= (23)/(18) 融财 f(-2)+f{\biggl(}{(5)/(2)}{\biggr)}=-{(1)/(9)}+{(23)/(18)}={(7)/(6)}. (3)因为 a{>}6 所以 f(a+1) 有意义.
所以 f(a+1)=√a2+2a-3+
10 [解】(1)因为 f{\Big(}{(1)/(3)}{\Big)}=-5,f{\Big(}{(2)/(3)}{\Big)}=7 所以 f{\Bigl(}{(1)/(3)}{\Bigr)}+f{\Bigl(}{(2)/(3)}{\Bigr)}=2 因为 f(0)=-1 ，f(1)=3 ，所以 f(0)+f(1)=2 ，
(2)猜想： f(x)+f(1-x){=}2 ，
证明： f(1-x)={(2(1-x)+1)/(2(1-x)-1)}={(3-2x)/(1-2x)} 2(1-x)+1-3-2、所以
f(x)+f(1-x)=(2x+1)/(2x-1)+(3-2x)/(1-2x)=2.
mc[解】由 {3-x≥0解得-1≤x≤3,所以 f(x) 的定义域为 [-1,3] 由 -1<=slant x^{2}- 1{<=slant}3 ,解得一 2{<=slant}x{<=slant}2 ，即 f(x^{2}-1) 的定义域为[—2,2].故选C.
12BD【解】令 x=1 ， y=0 ，得 f\left(1\right)+ f(1){=}f(1)f(0) ,解得 f(0)=2. 令 \scriptstyle x=y= 1,得 f(2)+f\left(0\right)=f\left(1\right)f\left(1\right)=1,\# 解得f(2)=-1 ，故A错误.令 x=2 ， y=1 ，得f(3)+f(1)=f(2)f(1)=-1 解得 f(3)= -2,故B正确.令 x=y=2 ，得 f\left(4\right)+ f(0){=}f(2)f(2){=}1. 解得 f(4)=-1 故C错误令 \scriptstyle x=3,y=2, 得 f(5)+f(1)=f(3)f(2)= 2,解得 f(5)=1 ,故D正确.故选BD.
13【解】由函数的定义域为R,得方程k^{2}x^{2}+3k x+1=0 无解.当 k=0 时，符合题意.当 k{\neq}0 时 \displaystyle{*\Delta=9k^{2}-4k^{2}=5k^{2}<0}, 不等式不成立.所以实数 k 的取值范围是 \left\{0\right\} ：
14CD【解】因为 √(2) 是无理数，所以D({√(2)})=0 ，故A错误 D(x) 的值域为 \{0,1\} ，故 ~B~ 错误.显然C正确.当 x 为有理数时， x- 1也为有理数，此时 D(x-1)=D(x)=1 ；当x 为无理数时， _{x-1} 也为无理数，此时 D(x- \begin{array}{r}{1)=D(x)=0.}\end{array} 所以对 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，都有 D(x-1)= D(x) ，故 ~D~ 正确.故选 \mathbf{CD}.
3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
1C【解】由图象，知 x\neq0. 故选C.
2D【解】从图中直线可以看出甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先于乙到达，则它们的速度满足 v_{\perp}>v_{Z} .故选D.
3B【解】由图表，知 f(g(3))=f(1)=6. 故选B.
4A【解】分别令 _{x=1,x=-1} ，得
\binom{f(1)+2f(-1)=1}{f(-1)+2f(1)=-1} 解得 f(1)=-1 ：
另解：先由已知条件构造方程组求出 f(x) 的解析式，再将 x=1 代人求解.故选A.
5AC【解】对于A，满足函数的定义，正确.对于B，原函数的图象是直线上一些孤立的点，错误.对于C，函数 y=2x+1 的定义域为R,不能用列表法表示，正确.对于D，不满足函数的定义，错误.故选AC.
6BD【解】对于A,从题图中可以看出当乙的行驶速度不小于 40~km/h 时，燃油效率大于 5~km/L 故A错误.显然B正确.对于C，甲车以 80~km/h 的速度行驶时的燃油效率为10~km/L ，故行驶 ^{rm{1h}} 的路程为 80~km ，消耗8L汽油，故C错误.对于D,当最高限速为80~km/ h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故D正确.故选BD.7【解】令 \scriptstyle{√(x)}+1=t>=1 得 x=(t-1)^{2} ，所以 f\left(t\right)=(t-1)^{2}-6=t^{2}-2t-5. 所以f(x){=}x^{2}-2x{-}5,x{>=}1,
故填 x^{2}-2x-5,x{>=slant}1
[解】依题意，得 100{=}(x+3x)/(2)* y 即 y= 5.又x>0,所以y关于x的函数为y=\scriptstyle\left.\sum\scriptstyle0\right) 故填 \scriptstyle\mathbf{y}={(\mathbf{50})/(x)}(x>0) ：
9【解】(1)设 f(x)=a x+b(a\neq0). 所以3f(x+1)-f(x)=3a(x+1)+3b-a x- ~b~=~2a x~+~3a~+~2b~=~2x~+~9. 所以\left\{\begin{array}{l}{{2a=2,}}\\ {{3a+2b=9,}}\end{array}\right. 解得 \begin{array}{r}{\{a=1.}\\ {{b=3.}}\end{array} 故 f(x)=x+3. (2)设 f(x){=}a x^{2}+b x+c(a{\neq}0). 由 f(0)= 1,得 c=1. 又 f(x+1)=a(x+1)^{2}+b(x+ 1)+1 ，所以 f(x+1)-f(x)=2a x+a+b, 所以 \begin{array}{l}{{\left\{{2a=2,}\right.}}\\ {{\left.a+b=0}}\end{array} 解得α=1，
州 一
所以 f(x)=x^{2}-x+1.
10【解】(1)函数的图象如图1所示.值域为\{-3,1,2,3\} ：
(2)函数的图象如图2所示.由图象，知值域为 (-∞,-4]\cup\left[(4)/(3),+∞\right).
(3)函数的图象如图3所示.由图象，知值域为[-3，1].
11BCD【解】 f(f(2))=f(3)=4\neq2-1. f(f(3)){=}f\left(4\right){=}2{=}3-1.f\left({f\left({4}\right)}\right){=} f(2)=3=4-1.f(f(5))=f(3)=4=5-1. 故选BCD.
12【解】函数 f(x)=x^{2}- 4x-4(x>=slant0) 的图象如右图所示， f(0){=}f(4){=}{-}4 ，f(2)=-8. 依题意，由图，知实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是[2,4].故填[2,4].
1+/U 日庆
f(x)+2f(-x)=2x+3 中的 x ，得f(-x)+2f(x)=-2x+3.
由[f(±)+2f(-x)=2±+3, 消去 f(-x) ，得 f(x)=-2x+1
(2)将 2f\Big((1)/(x)\Big)+f(x)=x① 中的 x 与 \scriptstyle{(1)/(x)}{(π)/(~z~)}
换，得 f{\biggl(}{(1)/(x)}{\biggr)}+2f(x)={(1)/(x)}②. 由 ①② ，解得 f(x){=}(2)/(3x){-}(x)/(3)(x{\neq}0) ，14C【解】由题图，知曲线中纵坐标相等时横坐标不一定相等，故A错误.在曲线上半段中观察到 y\left(t\right) 是先增加后减少，而 x(t) 是不断增加的，故B错误.捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确.捕食者数量最大时在题图最右端， x\left(t\right)\in (25,30)， y(t)\in(0,50) ，此时 x(t)+y(t)\in (25，80).由题图，知存在 x\left(t\right)=10,y\left(t\right)= 100，使 x\left(t\right)+y\left(t\right)=110>80, 故D错误.故选C.
第2课时分段函数
1B【解】 \mid f(3)={√(3)} 故选B.
2C【解】显然A，B,D中函数是分段函数，对于 C,[1,+∞)\cap(-∞,1]=\{1\} 且f(1){=}5 和1,故不满足函数的定义.故选C.3A【解】 f\ (\ x\ )=\ |\ x-1\ |\ +\ 1= style{\left\{{\begin{array}{l}{x,x>=slant1,}\\ {2-x,x<1}\end{array}}\right.} 且 f\left(1\right)=\left|1-1\right|+1=1, ，
f(0)=\left|0-1\right|+1=2 ,故符合题意的只有A.故选A.
4A【解】由题意，得 f(1)=1-4+6=3. 当x{>=slant}0 时 .f(x){>}f(1) ，即 x^{2}-4x+6>3 所以 \scriptstyle0<=slant x<1 ，或 x{>}3. 当 x{<}0 时， x+6>3 所以 *-3{<x<}0. 则所求为 (-3,1)\bigcup{}(3,+∞)
故选A.
5BC【解】 f\left(x\right) 的定义域为 [-2,1)\cup [1,+∞)=[-2,+∞) ,故A错误.
当 -2{<=slant}x{<}1 时， f\left(x\right)=x^{2} ，值域为[0,4]；当 x{>=slant}1 时， f(x)=-x+2 值域为 (-∞ ，1].故 f(x) 的值域为 (-∞,4] ，故B正确.当 x{>=slant}1 时，令 f(x)=-x+2=2 ,无解；当-2{<=slant}x{<}1 时，令 f(x)=x^{2}=2 ，解得 x= -{√(2)} .故C正确.
当 -2{<=slant}x{<}1 时，令 f(x)=x^{2}<1 ，解得 x\in (-1,1) ；当 x{>=slant}1 时，令 f(x)=-x+2<1 解得 x\in(1,+∞) .故 f\left(x\right)<1 的解集为(-1,1)\cup(1,+∞) ,故D错误.故选BC.
【解】由题意，得 f(10)=f(7)=f(4)= f(1)=f(-2)=3x(-2)^{2}-5=7. 故填7.7【解】根据题图，设左侧的射线对应的函数解析式为 y=k x+b(x<=slant1). 因为点(1,1)，（0，2）在射线上，所以 {k+b=1，解得格=-1所以 y=-x+2(x≤1),同理,y=x^{-}2(x{>}3) .再设抛物线对应的二次函数的解析式为 y=a(x-2)^{2}+2(1<x<=slant3,a<0) 因为点(3,1)在抛物线上,所以 a+2=1 ，即a=-1. 所以 y=-x^{2}+4x-2(1<x<=slant3) ：\scriptstyle\left\{-x+2,x<=slant1\right.
综上， f(x)=\left\{-x^{2}+4x-2,1<x<=slant3\right.
\lfloor x-2,x>3.
\scriptstyle(-x+2,x<=1 ，
故填 -x^{2}+4x-2,1<x<3,
\left\lfloor{\mathfrak{x}}-2,{\mathfrak{x}}\right\supset{\mathfrak{3}}.
? {tt{J}}[{tt{sf{R}}}](1)f(0)=\operatorname*{min}\{-0^{2},0-2\}=-2, f(4)=min\{-4^{2},4-2\}=-16.
(2)由 -x^{2}{>=slant}x-2 ，得一 2{<=slant}x{<=slant}1 \*
\scriptstyle\mathbf{\#}-x^{2}<_{X}-2 得 x{<}{-}2 或 x{>}1 ：f(x)=\left\{_{-x^{2},x<-2\perp\perp\hat{x}}^{x-2,-2<=slant x<=slant1}\right. ，
所以
x{>}1
(3)当 -2{<=slant}x{<=slant}1 时， f\left(x\right)>-4 ,即 x-2> -4 ,解得 -2{\<}x{<=slant}1. 当 x{<}-2 或 _{x>1} 时，f(x)>-4 ，即 -x^{2}>-4 ，解得 1<x<2 综上， f(x){>}-4 的解集为 (-2,2) ：
A【解】当α>2 时，x+36 x+{(36)/(x)}-6a>=slant 2{√(x*{(36)/(x))}}-6a=12-6a ,当且仅当 x=6 时，等号成立,即当 x{>}2 时， f(x) 的最小值为 12-6a 当 x{<=slant}2 时，要使 f(x) 的最小值为 f(2) ，则需 \binom{a>=2}{f(2)=2-4a<=slant12-6a} 解得2{<=slant}a{<=slant}5. 故选A.
10【解】当 0<m<1 时， m+1>1 ，所以{√(m)}=3m 解得 m{=}(1)/(9) 当m≥1时,m+1≥2,所以 3(m-1)=3m 无解.综上， m{=}(1)/(9) 故填
11【解】(1)根据题意，可得当 0{<=slant}x{<=slant}10 时，y=2.2x ；当 10{<}x<=slant18 时， y=2.2x10^{ ? }+ ? (x-10)x2.8=2.8x-6; 当 x{>}18 时， ^{y=22+}
(18-10){x}2.8+(x-18){x}3.2=3.2x-13.2. 所\left\vert2.2x,x\in\lbrack0,10]\right.
以 \scriptstyle y=\left\{2.8x-6,x\in(10,18]\right. \big\lfloor3.2x-13.2,x\in(18,+∞).
(2)设6月份用水 x t.因为6月份水费少，所以
x{<}18. 又 2.8{x}18{-}6{=}44.4 且 44.4-12>22. 所
以 x{>}10. 所以 2.8x-6+12=3.2x(36-
_{x})-13.2. 解得 x=16. 所以6月份用水 16~t~ 费
7月份用水 36-16=20({t}) ，12BCD【解】由题意，得 f\ (\boldsymbol{\mathscr{x}})\ = |x+2,-2{<=slant}x{<}-1.
\vert x+1,-1{<=slant}x{<}0
\{x,0{<=slant}x{<}1 ， f(x) 的图象如下图所示.\scriptstyle|{x-1,1<=slant x<2} 素
\mid x-2,2<=slant x<3 费
...
由图象，知 0{<=slant}f(x){<}1 ，故 f(x) 无最大值，
有最小值O,故A错误，B正确.
_{y}=f(\boldsymbol{x}) 的图象与直线 y=/12 有无数个交
点，故C正确....x+3，-3≤x≤-2，|x+2,-2{<=slant}x{<}-1,
f(x+1)=\left\{x+1,-1<=slant x<0\right. ，即为 f(x) {\boldsymbol{x}},0{<=slant}x{<}1 ，x-1,1<=slant x<2 ，..
的解析式，所以 f(x+1)=f(x) ,故D正确.
故选BCD.
微专题二 函数的值域
1A【解】因为 x\in[0,1] ，所以 x^{2}+1\in[1 ，2].所以 x2+1∈[1,2].故选 A.
2A【解】A中， y=2x+1(x>0) 的值域为(1,+∞).B 中， y=x^{2} （ x>0) 的值域为（0，+∞).0 中， y=2x C x>0 ）的值域为（0，+∞).D中,y= 中 y{=}(1)/(\left|x\right|) 的值域为 (0,+∞) 故选A3A【解】当 x>3 时， f\ \left(\begin{array}{l}{\boldsymbol{x}}\end{array}\right)\ >=slant 2√((4)/(x-3)*(x-3))+3=7. 当且仅当 x- 3{=}(4)/(x-3) 3，即x=5 时，等号成立.所以f(x)的值域为 \scriptstyle[7,+∞) .故选A.
4C【解】设 t=√(1-2x)>=slant0 ，则 x= -(1)/(2)t^{2}+(1)/(2) 所以f(t) f(t)=-(1)/(2)t^{2}+(1)/(2)-t ，即f(x)=-(1)/(2)x^{2}+(1)/(2)-x,x>=slant0. 当 x{>=slant}0 时，f(x){<=slant}{(1)/(2)} 所以 f(x) 的值域为 \left(-∞,{(1)/(2)}\right] 故选C.
5D【解 1f(x) 的图象如下图所示，
f(0)=f(-4)=-6,f(-2)=-10.
依题意，得 -4<=slant m<=slant-2. 故选D.
C【解】由二次函数的性质,知当 x\in[1,2] 时， f(x) 的值域为[1,3],记为 A=[1,3]. 当a{>}0 时， g\left(x\right) 在 [-1,1] 上单调递增,所以g(x) 的值域为[-a一1， a-1] ，记为 B= [-a-1,a-1] 由题意，知 A\subseteq B ，所以{--1≤1解得a≥4.当a<0时,g(x)在[一1,1]上是单调递减，所以 g(x) 的值域为[a-1,-a-1] ，记为 C{=}[a{-}1,-a{-}1]. 由题意,知A≤C,所以{-≤ 解得 a<=slant -4.综上，得 a{>=slant}4 或 a<=slant-4. 故选C.
7【解】易知 -1{<=slant}x{<=slant}1,y{\>}0 ，则 y^{2}=2+ 2√(1-x^{2)}\in[2,4] 故 y\in[√(2) ,2]故填[/2,2].8[解】 4x+2--4(2x+1).因为-3<=slant x<=slant-1 ，所以 -5<=slant2x+1<=slant-1 ，\begin{array}{r}{-(1)/(4){<=slant}(1)/(4(2x+1))<=slant-(1)/(20),}\end{array} 所以0 (7)/(20)<=slant -(7)/(4(2x+1)){<=slant}(7)/(4) 所以 (8)/(5)<=slant y<=slant3 ,即所求值域为 \left[{(8)/(5)},3\right]
(2)y={(x^{2}-2x)/(x^{2)-2x+3}}=1-{(3)/(x^{2)-2x+3}}.
因为 x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2>=2 ，所以 0< (3)/(x^{2)-2x+3}<=slant(3)/(2),-(3)/(2)<=slant(-3)/(x^{2)-2x+3}<0. 从而 \displaystyle{_{y}\in\left[-(1)/(2),1\right)} 即所求值城为 \left[-{(1)/(2)},1\right) ：(3)令 t=√(1-2x)(t>=0) ，得 \scriptstyle x={(1-t^{2})/(2)}
所以 y=(1-t^{2})/(2)+t=-(1)/(2)(t-1)^{2}+1(t>=0), 当 t=1 ,即 \scriptstyle x=0 时， y 有最大值1.
故函数的值域为 (-∞,1] ：
(4)函数的定义域为 \mathbf{R} 由 y=(2x^{2}-x+2)/(x^{2)+x+1} 十x+1，得 (y-2)x^{2}+(y+1)x+y-2=0. 当 y-2=0 ，即 y=2 时，上式化为 3x+0=0 ，所以 x= 0\in\mathbf{R} 当 y-2\neq0 ，即 y\neq2 时 \Delta=(y+1)^{2}- 4x(y-2)^{2}>=slant0 ,解得 1{<=slant}y{<=slant}5 ,且 y\neq2. 故函数的值域为[1,5].
3.2 函数的基本性质
3.2.1单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1D【解】函数的对称轴为 x=-{(1)/(2)} ,开口向上,所以单调减区间为 \left(-5,-{(1)/(2)}\right) .故选D.2D【解 1f(x) 是减函数； g\left(x\right) 的对称轴为\scriptstyle x={(3)/(2)} ，在(0,+oo)上先减后增;h(x)在(0,+∞) 上单调递减； \varphi(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.故选D.3B【解】依题意，得 f(x){-}g(x) 是增函数，g\left(x\right)-f\left(x\right) 是减函数， f\left(x\right)+g(x) ，f(x)g(x) 的单调性无法判断.故选B.
4A【解】若 f(x) 在 bf{R} 上单调递减,则 \forall x_{1} ，
x_{2}\in\mathbf{R} ，当 x_{1}<x_{2} 时，有 f(x_{1}){\>}f(x_{2}) ，则甲 \Rightarrow 乙.但乙≠甲，所以甲是乙的充分不必要条件.故选A.
5CD【解】对于A,由函数单调性的定义，知A错误.
对于B，函数 f(x)={(1)/(x)} 在区间 (-∞,0) 和(0,+∞) 上单调递减，而不是在定义域内单调递减，故B错误.
对于 \operatorname{C},f(x) 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线 x=1 ，单调递增区间是[1,十∞),故C正确.
对于 \operatorname{D},x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}>=slant0 ,故D正确.故选CD.
6AC【解】因为 f\left(x\right)=-1+(4)/(x+1) x十1所以f(x) 在 (-∞,-1) 和 (-1,+∞) 上单调递减，故A,C正确，B,D错误.故选AC.
[解]函数 y=x^{2}+x 在 \big(-∞,-(1)/(2)\big)\perp\Phi 单调递减，在 \left(-(1)/(2),0\right] 上单调递增，函数y={(1)/(x)} 在 (0,+∞) 上单调递减，
所以 f(x) 的单调递减区间是 \left(-∞,-(1)/(2)\right) 和(0,+).故填(-) 和 (\mathbf{0},+∞) ：8【解】由 x^{2}-2x-3>=0 ，解得 x<=slant-1 或x{>=slant}3. 所以 f(x) 的定义域为 (-∞,-1]\cup [3,+∞) .易得 f(x) 在 [3,+∞ 上单调递增.故填[3， +∞)
9【解】由图(1),可知 y=f(x) 的单调区间为[-3，-2)， [-2,1) ,[1,2),[2,3],其中单
调递减区间为 [-3,-2) ,[1,2),单调递增区间为 [-2,1) ,[2,3].由图(2)，可知 y=f(x) 的单调区间为 \Big[-π,-(π)/(2)\Big),\Big[-(π)/(2),(π)/(2)\Big), \left[{(π)/(2)},π\right] ，其中单调递增区间为 \left[-π,-(π)/(2)\right) \left[{(π)/(2)},π\right] ,单调递减区间为 \left[-(π)/(2),(π)/(2)\right)
10【解】任取 2{<=slant}x_{1}{<}x_{2}{<=slant}3,f(x)=1+ x所以f（x1）-f（x2）= x1-1x2-1 (x1-1)(x2-1).因为 2≤α1<x_{2}{<=slant}3 ，所以 x_{2}-x_{1}>0,x_{1}-1>0,x_{2}-1> 0.所以 f(x_{1})-f(x_{2})>0. 即 f\left(x_{1}\right)> f(x_{2}) .所以 f(x) 在[2,3]上单调递减.
11【解】 \scriptstyle|{y=x+{√(x+1)}} 的定义域为 [-1 ，+∞ .因为 \scriptstyle t=x+1 在 [-1,+∞] 上单调递增，所以 y={√(x+1)} 在 [-1,+∞) 上单调递增.又 y=x 在 [-1,+∞) 上也单调递增，所以 y=x+{√(x+1)} 在 [-1,+∞) 上单调递增.故填 [-1,+∞) ：[解】f(x)=xlx-2|={22-2x,x≥2,结合二次函数性质，得 f(x) 的单调递增区间是(-∞,1),(2,+∞) .故填 (-∞,1),(2,+∞) 13【解】 (1)f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增.证明如下.设 1{<x_{1}<x_{2}} ，则 f(x_{1})-f(x_{2})= x_{1}^{2}+{(2)/(x_{1)}}-x_{2}^{2}-{(2)/(x_{2)}}=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+\Bigl({(2)/(x_{1)}}-{(2)/(x_{2)}}\Bigr)= (x_{1}-x_{2})\Big(x_{1}+x_{2}-(2)/(x_{1)x_{2}}\Big) 因为 1{<x_{1}<} x_{2} ，所以 x_{1}-x_{2}<0,x_{1}+x_{2}>2 且 x_{1}x_{2}> 1,则 x_{1}+x_{2}-(2)/(x_{1)x_{2}}>0. 所以 f\left(x_{1}\right)- f(x_{2}){<}0 ，即 f(x_{1}){<}f(x_{2}). 所以 f(x) 在
(1,+∞) 上单调递增.
(2)由(1)，可知 f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(x_{1}- x_{2})\Big(x_{1}+x_{2}-(2)/(x_{1)x_{2}}\Big) .当 0{<}x_{1}{<}x_{2}{<}1 时，x_{1}-x_{2}<0,0<x_{1}+x_{2}<2,0<x_{1}x_{2}<1 则x_{1}+x_{2}-(2)/(x_{1)x_{2}}{<}0. 所以 f(x_{1})-f(x_{2}){>}0 即 f(x_{1}){\>}f(x_{2}) .所以 f(x) 在(0,1)上单调递减.当 x_{1}<x_{2}<0 时， x_{1}-x_{2}<0,x_{1}+ x_{2}{<}0,x_{1}x_{2}{>}0 ，则 x_{1}+x_{2}-(2)/(x_{1)x_{2}}<0. 所以f(x_{1})-f(x_{2}){>}0 即 f(x_{1}){\>}f(x_{2}). 所以f(x) 在 (-∞,0) 上单调递减.综上， f(x) 的单调递增区间是 (1,+∞) ,单调递减区间是(-∞,0) 和(0,1).
14B【解】由题意，得 f\left(x_{1}\right)+2x_{1}< f(x_{2}){+}2x_{2} .构造函数 g(x)=f(x)+2x= a x^{2}+2x+2 ,即有 g\left(x_{1}\right){<}g\left(x_{2}\right) .由单调性的定义，可知 g(x) 在(1,2)上单调递增.
① 当 a=0 时， g\left(x\right)=2x+2 符合.
② 当 a{>}0 时， g\left(x\right) 的对称轴为 x=-{(1)/(a)}< 0，所以 g(x) 在(1,2)上单调递增.
③ 当 a{<}0 时，要使 g\left(x\right) 在(1,2)上单调递增，则有 \scriptstyle x=-{(1)/(a)}>=2 ，解得 -(1)/(2)<=slant a<0 ，
综上： α\in\left[-(1)/(2),+∞\right) .故选B.
第2课时函数单调性的应用
D【胜 1f(-1){<}f(0) 成立，其他均错误.
故选B.2B【解】依题意，知 m-1>0 ，即 m{>}1 ，所以 f(m){>}f(1) 故选B.
3C【解】由题意,知-α+3 ，解得 a<=slant -9. 故选C.
4B【解】 f\left(x\right) 是一个单调递增函数.由f(-1){>}f(x{-}1) ，得 -1>x-1 解得 x< 0.故选B.
5A【解】由 a+b>0 ，知 a>-b 且 b{>}{-}a ：依题意，得 f(a){>}f(-b),f(b){>}f(-a) 故 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) .故选A.6AC【解】 f(x) 的对称轴为 x=1 所以f(x) 在 (-∞,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增.所以 f\left(2\right){<}f\left(3\right),A 正确，B错误.f(0){<}f(-1) ,C正确，D错误.故选AC.\scriptstyle\int-1<2a-1<3
7【解】依题意，得 \{-1{<}2-a{<}3 ，解得\lfloor2a-1{>}2-a ，
1{<}a{<}2. 所以实数 \scriptstyle a 的取值范围是(1，2).故填(1,2).
8【解】由题意，知
style\left\{{\displaystyle}-a<0\right\}
\vert a-3<0 ，
\stackrel{1}{\left.\vert2a\right.}<=slant1 ， 解得\Big\lfloor(a-3)x1+a+2>=-ax1^{2}+1,
(2)/(3)<=slant a<3. 故填 \left[{(2)/(3)},3\right)
【解 {\bf\sf z}{\bf]}a^{2}-a+1=\left(a-(1)/(2)\right)^{2}+(3)/(4)>=(3)/(4) 当且仅当 a={(1)/(2)} 时,等号成立.又 y=f(x) 在[0,+∞) 上单调递减，所以 f(a^{2}-a+1)<=slant f{\biggl(}{(3)/(4)}{\biggr)} ：10【解】（1）证明：任取 x_{1}>x_{2}>=slant1 则\begin{array}{r c l c r c l}{f(x_{1})-}&{f(x_{2})=}&{(x_{1})/(x_{1)^{2}+1}}&{-}&{(x_{2})/(x_{2)^{2}+1}}&{=}&{}\end{array}
(x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}-x_{2}x_{1}^{2}-x_{2})/((x_{1)^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}{=}((x_{2}-x_{1})(x_{1}x_{2}-1))/((x_{1)^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)} 因为 _{x_{1}>x_{2}>=slant1} ，所以 \begin{array}{r}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)>0.}\end{array} x_{2}-x_{1}<0 ， x_{1}x_{2}-1>0. 所以 f\left(x_{1}\right)- f(x_{2}){<}0 ，故 f(x) 在[1， +∞ 上单调递减.(2)由(1)及 f(a^{2}){>}f(2a+3) ，得
style\left\{a^{2}>=slant1\right\} ，
2a+3>=slant1 ，解得 1{<=slant}a{<}3 即 \scriptstyle a 的取值范围\lfloor a^{2}<2a+3 ，
是[1.3).
11ABC【解】由题意，知 _{y}=1-a x 在[2,3]上单调递减，所以 a>0,f\left(x\right) 的定义域为\left(-∞,{(1)/(a)}\right] ,且在定义域内单调递减,所以\stackrel{\left\{a>0,\right.}}{1-3a}>=slant0 解得0<a≤· 故选ABC.
[解】因为 f\left(x\right)=\binom{x-a,x>= a}{a-x,x<a} -a,x≥a，所以 所以f(x) 在 [a,+∞) 上单调递增，在 (-∞ ,a]上单调递减.依题意，得 \scriptstyle a<=slant0 或 \scriptstyle a>=slant4.
故填 (-∞,0]\cup[4,+∞) ：
13【解】(1)若满足 ②a=-1. 则 f(x) 的图象开口向下， f(x){<}0 的解集不能满足 \left\{x\vert-1<\right. \scriptstyle x<3\} ，此时 f(x) 无最小值.所以 ①② 不能同时满足， ②③ 不能同时满足.
所以满足的两个条件为 ①③ ，
\scriptstyle\int d-1)=a-b+c=0. \scriptstyle(a=1 ，
所以 \scriptstyle f(3)=9a+3b+c=0. 解得 b{=}{-}2 ，
\scriptstyle\left\lfloor f(1)=a+b+c=-4.\right\rfloor \scriptstyle(c=-3.
所以 f(x){=}x^{2}-2x-3.
(2)f(x) 的图象的对称轴为直线 _{x=1} 且函数在 (-∞,1) 上单调递减， (1,+∞) 上单调递增.若 f(3x^{2}+2x+2)>f(-2x^{2}+4x-5) 则
|3x^{2}+2x+2-1|>|-2x^{2}+4x-5-1| ，即|3x^{2}+2x+1|>2|x^{2}-2x+3| ：
因为 3x^{2}+2x+1{>}0 恒成立， x^{2}-2x+3>0 恒成立，所以 3x^{2}+2x+1>2x^{2}-4x+6 即x^{2}+6x-5>0. 解得 x<-3-√(14) 或 x> -3+{√(14)} .所以原不等式的解集为 (-∞ ，-3- √(14) )U (-3+{√(14)} +∞) ：
14【解】由题意，知 -3=3f\left(2\right)=f\left(8\right) ，f(x+2)+f(x+4)=f(x^{2}+6x+8) ：
由 f(x+2)+f(x+4)>-3, 得
? x+2>0 \left(f(x^{2}+6x+8)>f(8)\right. ， ‘即]22+6x+8<8,x>-2，
\ensuremath{\left\vert{\boldsymbol{x}}+4>0\right.} ，
解得- -2{<x<}0. 故填 \scriptstyle(-2,0)
第3课时函数的最大(小)值
1A【解】因为 f(x) 在 [1,+∞] 上单调递增，所以 f(x)_{min}=f(1){=}0. 故选A.
2D【解】函数 y=1+(3)/(x-1) 在[2,5)上单调递减，所以函数在 \scriptstyle x=2 处取得最大值4，而x=5 取不到，则最小值取不到.故选D.
3D【解】当 x{<=slant}0 时， 2x+3{<=slant}3 ；当 0{<}x{<=slant}1 时， 3{<}x+3{<=slant}4 ；当 x{>}1 时 ,-x+5<4 ，
综上，当 _{x=1} 时 ,y 有最大值4.
另解：作出函数图象，观察可得.故选D.
4C【解】显然 y{<=slant}0. 故选C.
5AD【解】依题意，得 f(1){>}f(4),f(x) 的最大值为 f(1) ,故A,D正确. f(-2),f(4) 的大小关系不确定， f(-1) ， f(2) 的大小关系也不确定，故B，C错误.故选AD.
6AD【解】对于A， y=(x+1)^{2}+2>=2 ，当x=-1 时，取最小值2，故A满足.
对于B,当x<0时,y=x+ ，故B不满足.对于 \displaystyle{C,}y=(4)/(x-1) 在[3,9]上单调递减，所以当x=9时，函数有最小值为g=故C不满足.
对于 \scriptstyle{D,}y=x-{(3)/(x)} 在[-1,0)]上单调递增，所以当 x=-1 时，函数有最小值为 ^{-1-} =2,故 D满足.故选 AD.
7【解】由题意，知 \left(x+{(1)/(x)}\right)_{{min}}>a >a.因为y=x+{(1)/(x)} 在 (1,2) 上单调递增，且当 x=1 时，\scriptstyle x+{(1)/(x)}=2 ，所以 a{<=slant}2. 故填 _{(-∞,2]}
[解】当 x{>}0 时 f(x)=x+{(1)/(x)}>=2 当且仅当 _{x=1} 时，等号成立.当 \scriptstyle x<=slant0 时， f(x)= -{x}+{a} 的最小值为 f(0)=a 因为 f(0) 是f(x) 的最小值，所以 a{<=slant}2. 故填 (-∞,2] 9【解】(1)由 f\left(x\right) 的解析式，得 f\left(3\right)= -3+6{=}3,f(-1){=}-1+2{=}1 则 f(f(-1))= f(1){=}1.
(2)f(x) 的图象如下图所示.
由图象，知 f(x) 的最大值为4.
10【解】(1)由题意,得f(2)=2+” =4，解 解得 \scriptstyle{m=4} ：
(2)f(x)=x+{(4)/(x)} 電在 [2,+∞) 上单调递增.证明如下.
设 2{<=slant}x_{1}{<}x_{2} ：
f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+(4)/(x_{1)}-x_{2}-(4)/(x_{2)}= ((x_{1}-x_{2})(x_{1}x_{2}-4))/(x_{1)x_{2}}
因为 x_{1}-x_{2}<0,x_{1}x_{2}-4>0 ，
所以 f(x_{1}){-}f(x_{2}){<}0.
所以 f(x) 在 [2,+∞] 上单调递增.
(3)由(2)，知 f(x)=x+{(4)/(x)} 在[3,4]上单调递增，故 f(x) 在[3,4]上的最大值为 f(4)= f(3){=}{(13)/(3)}
5，最小值为
，
11A【解】若 f(x) 在[0,1]上单调递增，则f(x) 在[0,1]上的最大值为 f(1) ：
若 f(x) 在[0,1]上的最大值为 f(1) ，
比如 f(x)=\left(x{-}(1)/(3)\right)^{2} 電在時 \left[0,{(1)/(3)}\right] 上单调递减，在 \left[(1)/(3),1\right] 上单调递增，故后者推不出前者.故前者是后者的充分不必要条件.故选A.12ABC【解】显然 f(0){=}0,f(1){=}1 ，故A，B正确.
对于C，当 x\in(a,+∞ ）时， f(x) 的值域为(a^{3},+∞) ，故 f(x) 一定不存在最大值，故C正确.
对于D,若 \scriptstyle a=0 ，当 x\in(0,+∞) 时， f(x) 的值域为 (0,+∞) ，当 x\in(-∞ ，0]时， f(x) 的值域为[0， +∞. ），此时 f(x) 存在最小值
0，故 ~D~ 错误.故选ABC.
13【解】(1)当 x=2 时， P=3 ，销售价为20+{(1)/(t)}*{(2)/(3)}=20+{(2)/(3t)} 年利润 W{=}3\Big(20+ (2)/(3t)-16\Big)-2=10+(2)/(t)>=12 ，解得 \scriptstyle0<t<=slant1 ：(2)当 t=4 时，
年利润 W{=}P\left(20{+}(x)/(4P){-}16\right){-}x{=}4P- {(3)/(4)}x{=}16{-}{(12)/(x{+)1}}{-}{(3)/(4)}x{=}16{-}3{\Bigl(}{(4)/(x{+)1}}{+}{(x)/(4)}{\Bigr)} ，设 f(x)=(4)/(x+1)+(x)/(4)\left(0<=slant x<=slant2\right),0<=slant x_{1}< x_{2}{<=slant}2 则
f(x_{1})-f(x_{2})={(4)/(x_{1)+1}}+{(x_{1})/(4)}-\left({(4)/(x_{2)+1}}+\right. {(x_{2})/(4)}\int={(4(x_{2}-x_{1}))/((x_{1)+1)(x_{2}+1)}}+{(x_{1}-x_{2})/(4)}=(x_{2}- x_{1})\biggl[(4)/((x_{1)+1)(x_{2}+1)}{-(1)/(4)}\biggr]
因为 0{<=slant}x_{1}{<}x_{2}{<=slant}2, 所以 1{<=slant}x_{1}+1{<}3,1{<} x_{2}+1{<=slant}3. 所以 1{<}(x_{1}+1)(x_{2}+1){<}9. 所以(4)/((x_{1)+1)(x_{2}+1)}-(1)/(4)>(4)/(9)-(1)/(4)>0.
因为 x_{2}-x_{1}>0 ，所以 f(x_{1}){\>}f(x_{2}) ，
所以 f(x)=(4)/(x+1)+(x)/(4) 十在[0,2]上单调递减.所以当 0{<=slant}x{<=slant}2 时， \left({(4)/(x+1)}+{(x)/(4)}\right)_{{min}}={(4)/(3)}+ 2=所以Wx=16-3x2.
综上，当广告费为2百万时，该玩具厂获得最大利润,最大利润为 (21)/(2) 百万元。14【解】由 x^{2}-4x+3{<=slant}-x+3, 得 0{<=slant}x{<=slant} f(x)=\left\{{\begin{array}{l l}{-x+3,0{<=slant}x{<=slant}3,}\\ {x^{2}-4x+3,x{<}0}\end{array}}\right.
3，所以 或 \scriptstyle x>3 ，当 x{<}0 时， f(x) 在 (-∞,0) 上单调递减，f(x){>}3 ，
当 0{<=slant}x{<=slant}3 时， f(x) 在[0,3]上单调递减，0{<=slant}f(x){<=slant}3
当 x{>}3 时， f(x) 在 (3,+∞ )上单调递增，f(x){>}0 ：
所以当 \scriptstyle x=3 时， f(x) 取得最小值0.故填0.
微专题三 二次函数的最值
1B【解】易知当 x{=}1 时， y_{min}=1 ，当 \scriptstyle{x=-2} 时， y_{max}=10. 故选B.
2C【解】 f\ (2)=-\ 4 ，f(0){=}0,f(4){=}0.
f(x) 的大致图象如右图所示.因为 f(x) 的定义域为[0，m ]，值域为[一4，0]，所以由图，知 m 的取值范围是[2,4]故选C3D【解】由 y=x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2 ，知当 x=1 时， y 取最小值2.由 x^{2}-2x+3= 3，解得 \scriptstyle x=0 或 \scriptstyle x=2. 由 y=x^{2}-2x+3 的图象性质，知当 m\in[1,2] 时，能保证 _y 的最大值为3，最小值为2.故选D.
4D【解】当 x\in(0,1] 时， f\left(x\right)= 4{\left({\begin{array}{l l}{x-{(1)/(2)}}\end{array}}\right)}^{2}-1 易知当 \scriptstyle x={(1)/(2)} 时，f(x)min=-1. 因为 f\left(x+1\right)=3f\left(x\right) ，所以 f(x- f(x).当x∈(-1,0]时,f(x)mm={(1)/(3)}x(-1)=-{(1)/(3)} .故选 D.
5C【解 1f(x) 的图象的对称轴为 \scriptstyle{x=m} ，
当 m{<=slant}{-}1 时， f(x) 在 [-1,1] 上单调递减，故 M=f(-1)=-1-m>=0
当 -1<m<1 时，易知 M=f\left(m\right)=m+ m^{2}=\Big(m+(1)/(2)\Big)^{2}-(1)/(4)\in\Big[-(1)/(4),2\Big).
当 m{>=slant}1 时， f(x) 在[—1,1]上单调递增，故\begin{array}{r}{M=f(1)=3m-1>=2.}\end{array}
综上， M 的最小值为 一故选C.
6ABD【解】对于A，易知 f(x) 在[-1,1]上的值域为[—2,2]，可知[—2,2]是 f(x) 的“2倍跟随区间”，故A正确.
对于B，由已知，得 f(x) 在区间[1,6]上单调递增，则有 f(b)=b^{2}-2b+2=b,b>1.
解得 b{=}2 或 b{=}1 人百云以 b{=}2 叹D正佣.对于 \operatorname{C},f(x) 的图 y4
象如右图所示. y=f(x)
若 f(x) 存在跟随
区间[a，6]（ a<
6)，则区间 [a,b]
( a<b )一定是 0 xf(x) 的单调区间，
即 0{<}a{<}b 或 a<
b{<}0. 则有 {f(a)=b，解得a=6= a=b={(1±{√(5)})/(2)} ，故 f(x)=1+{(1)/(x)} 不存在跟随区间,故C错误.对于D,当 a<b<=slant1 时，函数在 [a,b] 上单调递增，则 {\bf\Pi}_{a,b} 是方程 -{(1)/(2)}x^{2}+x=3x 的两个不相等的实数根，解得 x{=}0 或 x=-4
故存在区间 [-4,0] ,使得值域为 [-12,0] ，故D正确.故选ABD.
7【解】若 a=0,f(x)=\Big\{\L_{(x-2)^{2},x>=0}^{1,x<0,} 所以 f(x)_{min}=0
若 a<0 ，当 x{<}a 时， f(x)=-a x+1 单调递增，当 x{\rightarrow}{-}∞ 时 ,f(x){\rightarrow}{-}∞ ，故 f(x) 没有最小值，不符合题目要求.
若 a{>}0 ，当 x{<}a 时， f(x)=-a x+1 单调递减， f(x){>}f(a){=}{-}a^{2}{+}1
当x>a时,f(x)mm={0.0<a<2, 2
所以当 \scriptstyle0<a<2 时 \scriptstyle-a^{2}+1>=0 ，得 0<a<=slant 1;当 \scriptstyle a>=slant2 时 ,-a^{2}+1{>=slant}(a-2)^{2} ，无解。
综上， 0{<=slant}a{<=slant}1. 故填0(答案不唯一);1.
8【解】(1)因为 f(x) 的图象过点 (1,-1) ，所以 2+m+n=-1① ：
又 f(-2)=f(3) ，
所以 8-2m+n=18+3m+n② ：
联立①②，解得m=-2,
所以 f(x){=}2x^{2}-2x{-}1.
(2)由(1),知 f(x)=2{\left(x{-}(1)/(2)\right)}^{2}-(3)/(2),x\in [a,a+2] ：
当 \left|(1)/(2)-a\right|>=slant\left|a+2-(1)/(2)\right| ,即 a<=slant-{(1)/(2)} 时，f(x)_{max}=f(a){=}2a^{2}{-}2a{-}1
，当 \left|\ {(1)/(2)}{-a}\right|<\left|\ a+2{-{(1)/(2)}}\right| ·即a> a>-{(1)/(2)} 时f(x)_{max}=f(a+2)=2a^{2}+6a+3.
综上， f(x)_{max}=\left\{\begin{array}{l l}{2a^{2}-2a-1,a<=slant-(1)/(2),}\\ {\qquad2a^{2}+6a+3,a>-(1)/(2).}\end{array}\right.
(3)设 g\left(x\right) 的两个不相等的不动点分别为
x_{1},x_{2} ，且 \boldsymbol{x}_{1}>0,\boldsymbol{x}_{2}>0 ，则方程 g\left(x\right)=x ，
即 2x^{2}-(3+t)x+t-1=0 有两个不相等的
正实根 x_{1},x_{2} ，(△=(3+t)2-8(t-1)>0,
所以1+x2 \centering x_{1}+x_{2}=(3+t)/(2)>0 北 解得 t{>}1. \bigg\vert{_{x_{1}x_{2}}}=(t-1)/(2){>}0.
故 \mathbf{\Psi}_{t}~ 的取值范围为 (1,+∞) ：3.2.2奇偶性
第1课时奇偶性的概念
1B【解】 f(x) 的定义域为 bf{R} ，且 f(-x)= (-x)^{2}+{(9)/(1+|-x|)}=x^{2}+{(9)/(1+|x|)}=f(x) 所以 f(x) 为偶函数.故选B.
2C【解】 f(x) 的定义域为 (-∞,0)\cup(0 +∞) ，且 f(-x){=}{-}f(x) ，所以 f(x) 是奇函数，图象关于原点对称.故选C.
C【解】易得 f\Big(-/12\Big)=-f\Big(/12\Big)= -{\Big(}{(1)/(2)}-2{\Big)}={(3)/(2)} 故选C
4A【解】由题意，知 f\left(-x\right)=f\left(x\right) ，g(-x)=-g(x) ．因为 it{f}\left(it{bf{-}}\boldsymbol{x}\right)it{+} \left|g(-x)\right|{=}f(x)+\left|g(x)\right| ，所以 f(x)+ \left|g(x)\right| 为偶函数.易验证其他选项不一定正确.故选A.
5BC【解】显然C正确.因为函数 _{y}=f(\boldsymbol{x}) 为奇函数，所以 f(-a){=}-f(a) ，即点 (-a ，-f(a)) 一定在函数 y=f(x) 的图象上,B正确.故选BC.
BC【解】对于A， f(x) 的定义域为 [-1 ，1)，所以 f(x) 不是偶函数，故A错误.
对于B,当 x{>}0 时， -{x}<0 ，
所以 f(-x){=}x^{2}{-}x{=}{-}(-x^{2}+x){=}{-}f(x), 当 x{<}0 时， -{x}>0 ，所以 f(-x)=-x^{2}- \scriptstyle x=-f(x) 所以 f(x) 是奇函数，故B正确.对于C，由 3-x^{2}{>=slant}0 ，且 x^{2}-3>0 得 \scriptstyle x=±{√(3)} ，且 f(x){=}0 ，所以 f(x) 既是奇函数又是偶函数，故C正确.
对于D,由 x+1-i≠0,得-1≤x<0,或<x≤1,所以 f（x)==1-因为 f(-x)={(√(1-(-x)^{2)})/(-x)}=-{(√(1-x^{2)})/(x)}= -f(x) ，
所以 f(x) 是奇函数，故 ~D~ 错误.故选BC.
7【解】易知 f(x){=}{-}f(-x) ，即 x\mid2x+ _{a}\mathinner{|{=}_{x}|}a-2x\mathinner{|{}_{}|} ，可得 2x+a=-2x+a （舍去)，或一 (2x+a)=-2x+a ，解得 a=0. 故填0.
8【解】因为 f(x) 为奇函数，所以 f(-1)= -f(1) ，即 -1-a=-3. 解得 a=2
经检验，符合题意.
所以 f(a)=f(2)=4+4=8. 故填8.
9【解】 (1)f(x) 为奇函数,理由如下.
f(x) 的定义域为（一∞,0） ~J~(0,+∞) ，f(-x){=}(-x)^{3}{+}(2)/(-x){=}-x^{3}{-}(2)/(x){=}{-}f(x), 1所以 f(x) 为奇函数.
(2)由 f(x) 为奇函数，得 f(x)+f(-x)= 0，所以 f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(1)+ f(2)+f\left(3\right)=\left[f\left(-3\right)+f\left(3\right)\right]+ \left[f(-2)+f(2)\right]+\left[f(-1)+f(1)\right]=0.
10【解】（1)由题意，作出 f(x) 在 bf{R} 上的图象，如下图所示.
(2)根据图象，可知 f(x) 的单调递减区间为（一∞o，一2]，[0,2]；单调递增区间为[一2，0],[2,+∞) ：
11B【解】由题意，得 f(x)={(1-x)/(1+x)}=-1+ {(2)/(1+x)}.f(x-1)+1={(2)/(x)} 是奇函数,故B符合题意.易验证A，C,D不是奇函数.故选B.
12【解】设函数 g\left(x\right)=x^{2025}+a x^{3}+b x ，则f(x)=g\left(x\right)+1.
由 g\ (-\ x)=(-x)^{2025}+a\ (-\ x)^{3}\ + b(-x)=-x^{2025}-a x^{3}-b x=-g\left(x\right) 得g(x) 为奇函数.
由 f(-2\ 026)=g\left(-2\ 026\right)+1=10 解得g(-2\ 026)=9
所以 g Q 2~026)=-9 ，于是 f\left(2\ 026\right)= g(2\ 026)+1=-8. 故填 \mathbf{-8}.
13【解】 (1)f(x) 的定义域是R.
因为 f(-x){=}((-x)^{2})/(1{+)(-x)^{2}}{=}f(x)
所以 f(x) 是偶函数.
\begin{array}{l}{{(2)f(2)+f\Big(\displaystyle(1)/(2)\Big)=\displaystyle(2^{2})/(1+2^{2)}+\displaystyle(\Big(\displaystyle/{1)/(2)\Big)^{2}}{1+\Big(\displaystyle(1)/(2)\Big)^{2}}=1,\hfill}}\\ {{f(3)+f\Big(\displaystyle(1)/(3)\Big)=\displaystyle(3^{2})/(1+3^{2)}+\displaystyle(\Big(\displaystyle/{1)/(3)\Big)^{2}}{1+\Big(\displaystyle(1)/(3)\Big)^{2}}=1.\hfill}}\end{array} (3)证明:因为 f(x)+f(÷)=++{(\left({/{1)/(x)}\right)^{2}}{1+\left({(1)/(x)}\right)^{2}}}{=}{(x^{2})/(1+x^{2)}}{+}{(1)/(x^{2)+1}}{=}1,
所以 f(x)+f{\biggl(}{(1)/(x)}{\biggr)} 是定值1.
14【解】由题意，得 f(0){=}0 ，
由 f{\Bigl(}{(3)/(2)}+x{\Bigr)}=-f{\Bigl(}{(3)/(2)}-x{\Bigr)} 令 得f(3)=-f(0)=0,令x=, ，得f(2)=-f(1)=-2 ：
所以 f(2)+f(3)=-2. 故填 ^{-2}
第2课时奇偶性的应用
1A【解】易得 f(3){<}f(2){<}f(1) 又 f(x) 是偶函数，所以 f(2)=f(-2). 所以 f(3)< f(-2){<}f(1) .故选A.
2C【解】易知 g(2)=f(2)-2=1-2=-1 ，因为 y=g\left(x\right) 是偶函数，所以 g\left(-2\right)= f(-2)+2=g(2)=-1. 所以 f(-2)=-3 故选C.
3B【解】由题意，得 \scriptstyle a-4+a+2=0 ，解得α=1.当xE[-3,0)时,f(x)=-， ，所以f(a){=}f(1){=}{-}f(-1){=}{-}(1)/(3). ·故选B.4A【解】因为 f(x)=x^{3} 是定义域为 bf{R} 的奇函数，且在定义域上单调递增，所以 f(1- x){>}{-}f(1){=}f(-1) 等价于 1-x>-1. 解
得 x{<}2. 故选A.
5C【解】因为 f(x) 是偶函数，且在 (-∞ ，0]上单调递增，所以 f(x) 在 [0,+∞) 上单调进减.若 f(a)>=slant f{\biggl(}{(1)/(3)}{\biggr)} 则 \mid a\mid<=slant(1)/(3). 解得-(1)/(3)<=slant a<=slant(1)/(3) 故选C.
6AB【解】因为 x_{1}<0,x_{1}+x_{2}>0 ，所以x_{2}{>}{-}x_{1}{>}0 ，
又 f\left(x\right) 在 (0,+∞ ）上单调递减，所以f(x_{2}){<}f(-x_{1}) ，
因为 f(-x_{1}){=}f(x_{1}),f(-x_{2}){=}f(x_{2}) ，所以 f(-x_{2}){<}f(x_{1}),f(-x_{1}){>}f(-x_{2}) ：故只有A，B正确.故选AB.
7【解】因为 f(x) 为奇函数,且在 (-∞,0) 上单调递减，
所以 f(x) 在 (0,+∞) 上也单调递减.
又 f(-2)=0 ，所以 f(2)=0 ，
函数 y=f(x) 的大致图象如右图所示.当x{<}0 时， .x f(x)<0 即f(x)>~0 ，则 x\in (-∞,-2) ；当 x>0 时， x f\ (\ x\ )<0 即
f(x){<}0 ，则 x\in(2,+∞) .所以 x f(x)<0 的解集为 (-∞,-2)\cup(2,+∞) ，
故填 (-∞,-2)\cup(2,+∞) ，
8【解】因为 f(-x)=-f(x),g(-x)= g(x) ，所以
\begin{array}{l}{\left\{f(x)+g(x)=3x+(2)/(x-2),\right.}\\ {\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle f(-x)+g(-x)=-3x+(2)/(-x-2),}\\ {\displaystyle\int(x)+g(x)=3x+(2)/(x-2),}\end{array}\right.}\\ {\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle f(x)+g(x)=-3x-(2)/(x+2).}\\ {\displaystyle-f(x)+g(x)=-3x-(2)/(x+2).}\end{array}\right.}\end{array} 即
解得 f(x)=3x+{(2x)/(x^{2)-4}} 故填 3x+{(2x)/(x^{2)-4}} 9【解】（1 )\ f(2)=f(-2)=(-2)x (-3)=6
(2)令 x>0 ，得 -\boldsymbol{x}<0 ，则 f\left(-x\right)= -x(-x-1)=x(x+1) ：
又 f(x) 为偶函数，所以 f(x)=f(-x)= x(x{+}1) ,即当 x{>}0 时， f(x){=}x(x{+}1) 10【解】由题意，知 f(3a-1)+f(a-1)< 0,即 f(3a-1){<}-f(a-1)=f(1{-}a) ，\displaystyle{\int3a-1<1-a} ，
等价于 \stackrel{1}{-}2{<}3a-1{<}2 ，解得 -(1)/(3)<a<(1)/(2) \scriptstyle\lfloor-2<1-a<2.
故实数 \scriptstyle a 的取值范围是 \left(-{(1)/(3)},{(1)/(2)}\right)
11BD【解】由题意，知 f(x) 在 (-∞,0] 上单调递减，在 (0,+∞), 上单调递增， g\left(x\right) 在bf{R} 上单调递减.所以 f\left(1\right)<f\left(2\right),g\left(0\right)=0> g\left(1\right)>g\left(2\right). 所以 f(g(1)){<}f\left(g\left(2\right)\right), g(f(1)){>}g (f(2))， g(g(1)){<}g(g(2)) 故B,D正确，C错误.
若 f (1) 1>|\boldsymbol{\mathscr{f}}| （2）|，则 f\left(f\left(1\right)\right)> f(f(2)) ，故A错误.故选BD.
12ABD【解】由条件 ① ，得 f(x) 为偶函数.由条件 ② ，得 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，故 f(3){>}f(4),A 正确.
对于B,由 f(m-1){<}f(2) ，得 |m-1|{>}2 解得 m{>}3 ，或 m{<}{-}1,B 正确.
对于C，由 f(-1)=0 得 f(1)=0 ，
若 x f(x){>}0 则 \left\{\begin{array}{l l}{f(x)>0,}\\ {x>0}\end{array}\right.\qquad\stackrel{}{\underset{\equiv}{\equiv}}\left\{\begin{array}{l l}{f(x)<0,}\\ {x<0.}\end{array}\right. 得 x{<}-1 ，或 0{<}x{<}1,C 错误.对于D,易得 f (0)为 f\left(x\right) 的最大值，即f(x){<=slant}f(0) 所以V \scriptstyle x\in\mathbf{R} ，3 m{=}f(0) ，使得f(x){<=slant}m ,D正确.故选ABD.
13【解】（1） f(x) 在 [-1,1] 上单调递增.证明如下.
任取 x_{1},x_{2}\in[-1,1] 且 x_{1}<x_{2} ，则一 x_{2}\in [—1,1].
因为 f(x) 为奇函数，所以 f(x_{1})-f(x_{2})= f(x_{1})+f(-x_{2})={(f(x_{1})+f(-x_{2}))/(x_{1)+(-x_{2})}} (x_{1}-x_{2}) ：
由已知，得 f(x1)+f(-x2)>0.又x1x_{2}<0 ，
所以 f(x_{1}){-}f(x_{2}){<}0 ，即 f(x_{1}){<}f(x_{2}) 所以 f(x) 在 [-1,1] 上单调递增.
(2) f\left(x\right) 在 [-1,1] 上单调递增， f\left(x+\right. \scriptstyle{(1)/(2)}\displaystyle\int<f{\Bigl(}{(1)/(x-1)}{\Bigr)} 即
\scriptstyle\left(x+{(1)/(2)}<{(1)/(x-1)}\right.
\left\{-1{<=slant x}+(1)/(2){<=slant1}\right\}
\leftarrow1<=slant(1)/(x-1)<0 <0,或 0{<}(1)/(x{-)1}{<=slant}1
解得 -{(3)/(2)}<=slant x<-1.
故原不等式的解集为 \left\{x\bigg\vert-(3)/(2)<=slant x<-1\right\} 14【解】设函数 g(x){=}f(x){+}2 ，
因为 f(x) 的图象关于点 (0,-2) 对称，所以g(x) 的图象关于原点对称，即 g\left(x\right) 是定义在 (-2,2) 上的奇函数.
因为 f(x) 是定义在 (-2,2) 上的增函数,所以 g(x) 也是定义在 (-2,2) 上的增函数.
由 f(x)+f(x+2)+4>0, 得 f\left(x+2\right)+ 2{>}-f({\boldsymbol{x}})-2=-\big[f({\boldsymbol{x}})+2\big] ，
即 g(x+2){{>}-}g(x){=}g(-x)
\left(x+2\right)>-x ，
故 -2<x+2<2 ，解得 -1{<x<}0 ，
\scriptstyle1-2<-x<2
故不等式的解集为 (-1,0) ，
也可根据题意构造函数 f(x){=}x{-}2 代人运算(先求定义域).故填 \mathbf{\left(-1,0\right)}
滚动训练1
1A【解】对于 \operatorname{A},g\left(x\right)=sqrt[3]{x^{6}}=x^{2} ,故A正确.
对于 \ensuremath{B},f(x) 的定义域为R， g\left(x\right) 的定义域为[0， +∞) ，两个函数的定义域不同，故B错误对于 \ensuremath{C},f(x) 的定义域为R， g\left(x\right) 的定义域为 (-∞,0)\cup(0,+∞) ，两个函数的定义域不同，故C错误.
对于D， u={√(v^{2)}}=|v| ,两个函数的对应关系不同，故D错误.故选A.
2C【解】令 style{\binom{x+4>=0}{x-1\neq0}} 日 解得 x{>=slant}-4 ，且 x\neq ，
1.故选C.
3C【解】由题图，知 y=f(x) 的单调递增区间为L一3，1].故选C.
4A【解】易知纵坐标随横坐标增加而减少，故排除C和D.由题意，得图象斜率的绝对值先小后大，故排除B.故选A.
5A【解】在 y=f(x+1) 中， x\in[-1,3] ，所以 x+1\in[0,4]. 所以 f(x) 的定义域是[0,4].故在 f(x^{2} 中， 0{<=slant}x^{2}{<=slant}4 ，解得 -2<=slant x<=slant2. 所以 f(x^{2}) 的定义域是[一2，2].故选A.6B【解】因为 f\left(x\right)+1 为奇函数，所以f(-x)+1=-\left[f(x)+1\right], 即 f(-x)+ f(x)=-2. 令 x=1 ，得 f(-1)+f(1)= -2. 又 f(-1)=-2 ，所以 f(1)=0. 故选B.7A【解】由题意，得 f(x) 的图象关于直线x=4 对称，且 f(x) 在 [4,+∞) 上单调递减.所以 f(5)>f(6)=f(2)>f(8). 故选A.8BD【解】 y=2+{√(x)} 的定义域是[0，+∞) ，故函数为非奇非偶函数，故A错误.y=x^{2}+2 的对称轴为 x=0 ,故函数是偶函数且在区间 (0,+∞ 上单调递增，故B正确.易知C中函数为奇函数，故C错误.
易知D中函数为偶函数,且当 x{>}0 时， y= _{x+1} 单调递增，故D正确.故选BD.
9ABD【解】易知 f(1)=1,f(2)=2 故A正确.
又 f(x){>}f(x{-}1){+}f(x{-}2) ，所以 f(3)> f(2)+f(1)=3 ,故B正确.
f(4)>f(3)+f(2)>5 f\left(5\right)>f\left(4\right)+ f(3){>}8,*s,f(9){>}f(8)+f(7){>}55,*s f(15)>f(14)+f(13)>987>900, 故D正确.但没有足够条件判断C的正误.故选ABD.10【解】当 x{>}0 时， -{x}<0 ，则 f(-x)= -{x}+1.
又 f(x) 是偶函数，所以 f(x)=f(-x)= -{x}+1. 故填一 x{+}1 ：
1【解】由题意，知 f(x){=}f(-x) ,即 (x- a)(x+2)=(-x-a)(-x+2) ：
整理，得 2(a-2)x=0 对 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} 都成立.
所以 a-2=0 ,即 a=2. 故填2.
12【解】易得 f(x) 在 bf{R} 上单调递减，则style\left\{-a-5<0\right. ，
?-(a-1)>=2
\left\lfloor2^{2}+2(a-1)x2-3a>=slant(-a-5)x2-2.\right\rfloor 解得 -4<=slant a<=slant-1. 故填 [-4,-1]
[解】(1)f(-1)=2+=-2 =1.
因为f(3)=2+36 =1,所以f（f(3))=f(1)=2+{(1-2)/(3)}={(5)/(3)}.
\left(2\right)f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{{x+2,-2<x<=slant0,}}\\ {{-(1)/(3)x+2,0<x<=slant3.}}\end{array}\right.
(3） f(x) 的图象如下图所示.
由图，得 f(x) 的值域为（0,2].
14【解】(1)设 f(x)=a x^{2}+b x+c(a\neq0), b? \scriptstyle{\int_{a}=1} ，2a
由题意，得 解得 b=-2 ，C=0，\lfloor{a+b+c=-1} \scriptstyle{c}=0
所以 f(x){=}x^{2}-2x ：
(2)f(x){>}m-2x ，即 x^{2}>m 在[0,3]上恒
成立.
当 x\in[0,3] 时， x^{2} 有最小值0，所以 m{\<}0. 所
以实数 m 的取值范围是 (-∞,0) ，
15【解】 (1)f(x) 是奇函数.证明如下.
因为 f\left(x\right) 的定义域关于原点对称，且
f(-x){=}{(-x)/(x^{2)+1}}{=}-f(x) 21=-f(x),所以f(x)为奇
函数.
(2)证明：设 x_{1},x_{2}\in[-1,1] ，且 x_{1}<x_{2} ，则X1 2
f(x1)-f(x2)=x2+1 x2+1
((x_{1}-x_{2})(1-x_{1}x_{2}))/((x_{1)^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}
因为一 *1{<=slant}x_{1}<x_{2}{<=slant}1, 所以 x_{1}x_{2}<1,x_{1}-
x_{2}<0 ，
所以 f(x_{1}){-}f(x_{2}){<}0 ，即 f(x_{1}){<}f(x_{2}) ：
所以 f(x) 在 [-1,1] 上单调递增，
(3)由 f(t-1)+f(2t)<0 得 f(t-1)<
-f(2t)=f(-2t) ：
因为 f\left(x\right) 在 [-1,1] 上单调递增，所以
\scriptstyle\displaystyle\int-1<=slant t-1<=slant1 ，
\scriptstyle{\binom{t-1<-2t}{t-1<-2t}} ，解得 \scriptstyle0<=slant t<{(1)/(3)} ，即t的取值
\scriptstyle\lfloor-1<=slant2t<=slant1 ，
池田’3) \left[0,{(1)/(3)}\right)
3.3幂函数1B【解】由幂函数的定义，知 y={(1)/(x^{3)}}=x^{-3} y={sqrt[4]{x^{5}}}=x^{(5)/(4)} 是幂函数， y=2x+1,y= x^{3}+x 不是幂函数.故选B.2A【解】在函数 y=x^{-1} ， y=x,y=x^{(1)/(2)} y=x^{3} 中，只有函数 y=x 和 y=x^{3} 的定义域是 bf{R} ,且是奇函数，故 \ a=1,3. 故选A.3A【解】易得 图{m2+m-1=12解得m-2. 所以 f(2)=2^{-2}={(1)/(4)} .故选A.4A【解】设幂函数的解析式为 y=x^{α} ，由题意，得 16^{a}=(1)/(4) 解得 α=-(1)/(2) ·故函数的解析式为 y=x^{-{(1)/(2)}}={(1)/(√(x))} ,大致图象如A中所示.故选A.5B【解】易知 a{<}0 ，故C,D错误.对于 A,当x=-1 时，=（-1)-=√-=1,故A错误.对于B,当 x=-1 时， y=(-1)^{-{(1)/(3)}}=-1. 故B正确.故选B.6BCD【解】对于 A,y=x^{-1} 不经过原点（0，0),A错误.显然B,D正确.对于 \operatorname{C},y=x^{2} 的图象关于 _y 轴对称，C正确.故选BCD.【解]由题意，得 \begin{array}{r}{\binom{m^{2}-2m-2=1}{m^{2}+m+3>0},}\end{array} “解得 m= 3，或 {}m{=}{-}1. 故填-1或3.8【解】令 f(x)=x^{α} e _{(α} 为常数).由 \forall x>=slant0 ，f(x)=f\left(-x\right) ，知 f\left(x\right) 的定义域为 bf{R} ，f(x) 是偶函数.又 \forall x{>=slant}0,f(x){<}f(x+1) ，所以当 f(x) 在[0,+∞) 上单调递增时，可以满足.所以 α 可以为正偶数.所以此函数可以是 f(x)=x^{2} ：故填 x^{2} (答案不唯一).9【解】(1)因为 y=x^{-3} 在 (0,+∞) 上单调递减，所以 2.5^{-3}{>}3.1^{-3} ：
(2)因为 y=x^{(3)/(2)} 在 (0,+∞) 上单调递增,所以 1.7^{(3)/(2)}>1.6^{(3)/(2)}
(3)因为 3.1^{(2)/(5)}>1^{(2)/(5)}=1,3.8^{-(2)/(3)}<1^{-(2)/(3)}=1 所以 3.1^{(2)/(5)}>3.8^{-{(2)/(3)}} ：
10【解】(1)由题意，得 3m-7<0 ，所以 m< .因为m∈N,所以 m=0,1或 2.因为幂函数的图象关于 _y 轴对称，所以3m-7 为偶数
当 m=1 时， f(x){=}x^{-4} 符合题意.
故函数的解析式是 f(x){=}x^{-4} ：
(2)不等式 f(x+2){<}16 可化为 (x+2)^{-4}< 16{=}{\Big(}{(1)/(2)}{\Big)}^{-4} ，则 x+2<-(1)/(2) ，或 x+2>(1)/(2) 解得 x<-{(5)/(2)} ，或x> x{>}-(3)/(2) ：
故所求不等式的解集为 \big(-∞,-(5)/(2)\big)\cup (-(3)/(2),+∞)
11B【解】因为 f\left(x\right)=m x^{m-(1)/(2)} 为幂函数，所以m=1.故f（x)=x。
故 f(x) 的定义域为 [0,+∞) ,且在定义域上单调递增.
\scriptstyle\left.β-a>=slant0\right.,
由 f(3-a){\>}f(a) ，可得 \{a>=slant0 ，解得 0<=slant 3-a>a.
a<(3)/(2) 故选B.12[解]设 f(x)=x^{(2)/(3)}=sqrt[3]{x^{2}} 则 f(x) 的定义域为R,且 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增.
又 f(-x)=sqrt[3]{(-x)^{2}}=sqrt[3]{x^{2}}=f(x) ，所以f(x) 为偶函数.所以 f(x) 在 (-∞,0) 上单调递减.
由 (2x+1)^{(2)/(3)}<(x-3)^{(2)/(3)} ，可得 \mid2x+1\mid< \vert x-3\vert .平方后整理，得 3x^{2}+10x-8<0 解得一 \scriptstyle*4<x<{(2)/(3)} <.故不等式的解集为（－4,{(2)/(3)}. .故填 \left(-4,{(2)/(3)}\right) ：13【解】(1)由题意，得 k^{2}-2k-2=1. 解得k=-1 或 k=3.
又 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，所以 m^{2}- 2m-3<0. 解得 -1{<}m{<}3 ，
因为 m\in\mathbf{N}^{*} ，所以 m=1 ，或 \scriptstyle m=2
当 m=1 时， f\left(x\right)=x^{-4} ,图象关于 _y 轴对称，符合题意；
当 m=2 时， f\left(x\right)=x^{-3} ,图象关于原点对称，不合题意.
综上， k=-1 或 k=3,m=1.
(2)由(1),得 m=1, 所以原不等式可化为 (a+ 1)^{-1}{less}(3{-}2a)^{-1} ：
而函数 y=x^{-1} 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上分别单调递减，
所以不等式可化为 a+1{>}3-2a{>}0 或 3- 2a{<}a{+}1{<}0 或 a+1{<}0{<}3{-}2a
解得 (2)/(3)<a<(3)/(2) ，或a<-1.
故α的取值范围是(一∞,-1)U(，)14【解】因为 x\in(-1,0)\bigcup(0,1) ，所以 0< |x|<1
要使 f(x)>\vert x\vert ，则 f(x)=x^{α} 在区间 (-1 ，0)U(0,1)上应大于0.
当 \scriptstyleα=-1,{(1)/(3)}, -1,,1时,f(x)=x2在区间（-1, ，0)U(0,1)可取到负值，不合题意.
当 \scriptstyleα=0 时， f(x)=x^{0}=1 ，在区间 (-1,0)\cup (0,1)上恒有 f(x){>}|x| 成立，符合题意.当 α=2 时， f\left(x\right)=x^{2} ，取 x={(1)/(2)} 2，则f{\Bigl(}{(1)/(2)}{\Bigr)}={(1)/(4)}<{\biggl|}{(1)/(2)}{\biggr|} ，不合题意。
当 α=-2 时 \mathbf{\nabla}* f(x)=x^{-2} .因为在区间 (-1 ，0)\bigcup(0,1) 上恒有 1>|\boldsymbol{x}^{3}| ，所以 f\left(x\right)= x^{-2}\bullet1{>}x^{-2}\bullet|x^{3}|=|x| .故在区间 (-1 ，0)\bigcup\left(0,1\right)\operatorname{E}f(x)>\left|x\right| 恒成立，符合题意，当 α=-(2)/(3) 时，f(x)= f(x)=x^{-{(2)/(3)}} .由 {(|x|)/(f(x))}{=}|x|^{(5)/(3)} 及 0<\mid x\mid<1 ，知 {(|x|)/(f(x))}={\bigl|}x{\bigr|}^{(5)/(3)}<1 所以f(x)>|x| 恒成立，符合题意.
当 \scriptstyleα={(2)/(3)} 时 f(x)=x^{(2)/(3)} 由 {(|x|)/(f(x))}{=}|x|^{(1)/(3)} 及0<|\boldsymbol{x}|<1 ，知 {(|x|)/(f(x))}=|x|^{(1)/(3)}<1 所以f(x)>\vert x\vert 恒成立，符合题意.
综上， α 的取值为一2， -(2)/(3),0 3，0或- (2)/(3)
故填 :-2,-(2)/(3),0>=(2)/(3).
3.4 函数的应用(一)
1D【解】易知 ~D~ 中图象符合.故选D.
2D【解】令 -10t+100=60 ，解得 t=4. 令(250)/(t){=}60 ，解得 t=(25)/(6)<5 ，不符合题意.所以泡茶时间为 4~min. 故选D.
3D【解】由题意，得 w(x)=22x-C(x)= -x^{2}+20x-4=-(x-10)^{2}+96 ，
故当 x=10 时， \boldsymbol{w}(\boldsymbol{x}) 取得最大值96.
(w(x))/(x)=(20x-x^{2}-4)/(x)=20-\Big(x+(4)/(x)\Big)<=slant20- 2{√(x*{(4)/(x))}}=16 当且仅当 \scriptstyle x=2 时，等号成立.因此，当生产10万件时，当月能获得最大总利润96万元.
当生产2万件时，当月能获得最大单件平均利润16元.故选D.4BD【解】A中，甲在公园休息的时间是5~min ，所以只跑了 25\ min,A 错误.
由题图，知B正确.
甲从家跑步到公园所用的时间比从公园跑步到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家跑步到公园的速度比从公园跑步到乙同学家的速度慢，C错误.
当 0<=slant x<=slant15 时，设 y=k x k\neq0 )，则 2= 15k.解得 k=(2)/(15) ,D正确.故选BD.
，5ABD【解】设购物总额为 \mathbf{\Psi}_{x} 元，应付款为 _y 元.依题意，有
\scriptstyle\left\{x,x<=slant50\right. ，
y=\{\stackrel{x-15,50<x<=slant100}{0.8x,100<x<=slant300},
\left\lfloor300x0.8+0.7(x-300),x>300.\right.
对于A,当 x=66 时， y=66-15=51 ，则应付款51元，正确.
对于B，因为 100-15{<}208{<}0.8{x}300, 所以y=208/0.8=260( 元)，正确.
对于C，因为 360{>}0.8x300 ，所以 y=300x 0.8+60x0.7=282( 元)，错误.
对于D,由 300x0.8+(x-300)x0.7=380 ，解得 x=500 ,正确.故选ABD.
6【解】（1)设此汽车使用 n 年的总利润为y 万元，则
\phantom{-}_{v}=5.\ 25n-\left(0.\ 25n^{2}\+0.\ 25n\right)-9= -0.25n^{2}+5n-9=-0.25\left(n^{2}-20n+36\right) nEN\* 1{<=slant}n{<=slant}8 ，
由 -0.25(n^{2}-20n+36)>0 ，解得 2<n<18. 所以此汽车从第3年起开始盈利.
(2)设此汽车使用 n 年的年平均利润为 z 万元，则
z={(-0.25(n^{2}-20n+36))/(n)}=-0.25\left(n+{(36)/(n)}-\right. 20\Big)<=slant-0.25x\Big(2√(n*(36)/(n))-20\Big)=2 -20）=2,当且仅当 {(36)/(n)}=n ,即 n{=}6 时，等号成立.
所以此汽车使用6年报废最划算.
7C【解】当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即 y{<=slant}200 ：
当 0{<=slant}t{<=slant}12 时，由 -10t+290{<=slant}200 ，解得 9<=slant t{<=slant}12
当 12{<}t{<=slant}24 时，由 56√(t)-24{<=slant}200 ，解得 12< t{<=slant}16.
综上，适宜开展户外活动的时间段为 \mathfrak{g}{<=slant}t{<=slant} 16,共计7h.故选C.
8BC【解】据题意和图2,知两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收人是0但支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故A错误，B正确.由图3,知当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜程度变大，即乘客量相同时收入变大,即票价提高了,即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确.故选BC.
9【解】 (1)W(x)=800x-R(x)-300,
当 0<x<40 时， W(x)=800x-(10x^{2}+ 200x)-300=-10x^{2}+600x-300
当 x{>=slant}40 时 \scriptstyle W(x)=800x-\left({801x+{(10~000)/(x)}}-\right. 9~500\Big)-300{=}{-x}{-}(10~000)/(x){+}9~200.
(-10x^{2}+600x-300,0<x<40 所以 W(x)=\left\{-x-(10~000)/(x)+9~200,x>=40.\right. (2)当 0{<}x{<}40 时，
W(x)=-10x^{2}+600x-300=-10(x- 30)^{2}+8700 ，所以当 x=30 时， W(x)_{max}= 8 700.
当 x{>=slant}40 时，
\begin{array}{r l}&{W(x)=-x-(10\ 000)/(x)+9\ 200=-\left(x+\right.}\\ &{\left.(10\ 000)/(x)\right)\ +\ 9\ 200<=slant-\ 2√(x*(10\ 000)/(x))\ +}\\ &{\circα\widehat{\circ}-\widehat{\circ}\ \widehat{\circ}\widehat{\circ}\widehat{\circ}}\end{array} 9~200{=}9~000
当且仅当 \scriptstyle x={(10\ 000)/(x)} 即 x=100 时，等号成立，此时 \L_{\Psi}(x)_{max}{=}9\ 000.
综上，当 \scriptstyle x=100 时 \begin{array}{r}{\left.W(\boldsymbol{x})_{max}=9~000.\right.}\end{array}
所以当2025年该产品产量为100千件时，企业获得最大利润，最大利润为 9\ 000 万元.10BCD【解】对于 \operatorname{A},P(x){=}R(x){-}C(x){=} -20x^{2}+2500x-4000,P(x) 的图象是开口向下、对称轴为直线 x=(2\ 500)/(40)=62.5 的抛物线.因为 x\in\mathbf{N}^{*} ，所以 P(x) 取得最大值时，每月产量为63台或62台，错误.
对于B, M P P\left(x\right)=P\left(x+1\right)-P\left(x\right)= \left[-20(x+1)^{2}+2\ 500\left(x+1\right)-4\ 000\right]- (-20x^{2}+2\ 500x-4\ 000)=2\ 480-40x Q \mathbf{\Phi}_{x\in\mathbf{N}^{*}} )，正确.
对于 C,P\left(x\right)_{max}=P\left(62\right)=P\left(63\right)=74~120. 因为函数 M P\left(x\right)=2~480-40x 为减函数，所以 M P(x)_{max}{=}M P(1){=}2~440{\neq}P\left(x\right)_{max}{} 正确.
对于D，由边际函数的定义及函数 M P(x)= 2\ 480{-}40x 为减函数，知 M P(x) 说明随着产量的增加,每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少，正确.故选BCD.
4.1指数
4.1.1 n 次方根与分数指数幂
1C【解】 {√((-3)^{2)}}=3 ,故A错误. {sqrt[4]{a^{4}}}=
la|,故B错误.当 a=0 时， * a^{\dagger} 无意义，故D错误.故选C.
2D【解】对于 A,a^{(3)/(2)}* a^{(2)/(3)}=a^{(3)/(2)+{(2)/(3)}}=a^{(13)/(6)} 故A错误.
对于B a^{(3)/(2)}/ a^{(2)/(3)}=a^{(3)/(2)-(2)/(3)}=a^{(5)/(6)} ,故B错误.对于 C,a^{-4}* a^{4}=a^{-4+4}=a^{0}=1 ，故C错误.对于D ,\left(a^{(3)/(2)}\right)^{(2)/(3)}=a^{(3)/(2)}x(2)/(3)=a 故D正确.故选 D.3B【解】 \mid x√(-x)=x\bullet(-x)^{(1)/(2)}= -(-x)*(-x)^{(1)/(2)}=-(-x)^{(3)/(2)} .故选B.
4B【解】32a-= 13^{2a-b}=((3^{a})^{2})/(3^{b)}=(4)/(5) （3）故选B.
5AD【解】当 n 为奇数时，可知 b 的 n 次方根只有一个，为α；当 n 为偶数时，由于(± a)^{n}=a^{n}=b ，所以 b 的 n 次方根有两个，为 ± a ,故A,D正确.故选AD.
BC【解】对于 A,\left(a^{(2)/(3)}b^{(1)/(2)}\right)\left(a^{(2)/(3)}b^{(1)/(2)}\right)^{6}= \left(a^{(2)/(3)}b^{(1)/(2)}\right)(a^{4}b^{3})=a^{(14)/(3)}b^{(7)/(2)} 故A错误。
对于B, {sqrt[{4}]{(-3)^{4}}}={sqrt[{4}]{81}}=3 ,故B正确.
对于 C,16^{-(3)/(4)}=2^{4x\left(-(3)/(4)\right)}=2^{-3}=(1)/(8) 故C正确。
对于D, {sqrt[{4}]{x^{3}+y^{3}}}=(x^{3}+y^{3})^{(1)/(4)}\neq(x+ y)^{(3)/(4)} ,故D错误.故选BC.
7【解】因为 {sqrt[6]{4a^{2}-4a+1}}={sqrt[6]{(2a-1)^{2}}}= {sqrt[6]{(1-2a)^{2}}}={sqrt[3]{1-2a}}>=0 所以 1-2a>=slant0 ，即 a{<=slant}(1)/(2) 故填 \left(-∞,{(1)/(2)}\right]
8【解】由题意，可知 a {√(-{(b)/(a))}}\ + b{√(-{(a)/(b))}}={(a)/(\mid a\mid)}{√(-a b)}+{(b)/(\mid b\mid)}{√(-a b)}= {√(5)}({(a)/(\left|a\right|)}+{(b)/(\left|b\right|)}) ：
由于ab=-5<0,故 者中一个为1,另一个为-1,即+
故 a{√(-{(b)/(a))}}+b{√(-{(a)/(b))}}=0 故填0.
[解](1)原=(） ={\Big(}{(81)/(16)}{\Big)}^{(1)/(2)}-1/{\Big(}{(3)/(4)}{\Big)}^{-2}+
\left({(64)/(27)}\right)^{-{(2)/(3)}}={(9)/(4)}-1/\left({(4)/(3)}\right)^{2}+\left({(27)/(64)}\right)^{(2)/(3)}={(9)/(4)}- (9)/(16)+(9)/(16)=(9)/(4) ：
(2）原式 :=\left(2^{(1)/(3)}x3^{(1)/(2)}\right)^{6}+\left(2^{(3)/(4)}\right)^{(4)/(3)}-4x(7)/(4)- 2^{(1)/(4)}x(2^{3})^{(1)/(4)}-1=2^{2}x3^{3}+2-7-2-1=100. 0[解](1)原式=aVa·a ={(a{√(a* a^{/{1)/(2))}}}{sqrt[4]{a^{2}}}}={(a{√(a^{/{3)/(2))}}}{a^{(2)/(4)}}}= {(a* a^{/{3)/(4)}}{a^{(1)/(2)}}}{=}{(a^{/{7)/(4)}}{a^{(1)/(2)}}}{=}a^{(5)/(4)}.
(2)原式 :=2a^{(2)/(3)}b^{(1)/(2)}x\left(-6a^{(1)/(2)}b^{(1)/(3)}\right)/\left(-3a^{(1)/(6)} ：6号）=4a+±-b+一=4a.
11D【解】因为 a={sqrt[4]{24}}={sqrt[12]{24^{3}}}= sqrt[12]{12^{3}x8} ， b=sqrt[3]{12}=sqrt[12]{12^{4}}=sqrt[12]{12^{3}x12} ，c={√(6)}={sqrt[12]{6^{6}}}={sqrt[12]{12^{3}x27}} ,所以 a<b<c 故选D.12【解】原式 ={√(({sqrt{3)}-2)^{2}}}-{√((2-{sqrt{2)})^{2}}}= 2-{√(3)}-(2-{√(2)})={√(2)}-{√(3)}. 故填 /2-√(3) .13【解】(1)当 n 为奇数时，原式 =(a-b)+ (a+b)=2a ，
当 n 为偶数时，原式 =\mid a-b\mid+\mid a+b\mid= \scriptstyle(b-a)+(-a-b)=-2a
所以 {sqrt[n]{(a-b)^{n}}}+{sqrt[n]{(a+b)^{n}}}={\left\{\begin{array}{l l}{2a,n}\\ {-2a,}\end{array}\right.} 为奇数，n为偶数.(2)因为 x-√(x y)-2y=0,x>0,y>0, 所以 ({√(x)}+{√(y)})({√(x)}-2{√(y)}){=}0.
显然 {√(x)}+{√(y)}>0, 所以 {√(x)}-2{√(y)}=0 ：
(2x-√(x y))/(y+2√(x y))=(8y-2y)/(y+4y)=(6)/(5). 所以 \scriptstyle x=4y. 所以
14【解】由 45^{x}=3 得 (45^{x})^{2}=9 ：
又由 45^{y}=5 ，得 45^{2x}x45^{y}=9x5=45=45^{1} ，
第四章 指数函数与对数函数
即 45^{2x+y}=45^{1} ，所以 2x+y=1. 故填1.
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
1C【解】 √(3) 的不足近似值为1.7，1.73， 1.732,1.732\ 0,1.732\ 05,*s;√(3) 的过剩近似值 为1.8,1.74,1.733,1.7321,1.732 06,..故由 ①② 两串有理数指数幂逐渐逼近得到的数为 2^{√(3)} .故选C.
2A【解】 \Big((3^{√(3)})/(9)\Big)^{2+√(3)}=(3^{√(3)-2})^{2+√(3)}=3^{3-4}= 故选 A.
3C【解】 {(4^{n})/(sqrt[{3)]{8^{m}}}}={(2^{2n})/(sqrt[{3)]{2^{3m}}}}={(2^{2n})/(2^{m)}}=2^{2n-m}= 2^{-1}=(1)/(2) .故选C.
4B【解】 4x60=240,240/8=30 ，故经过 4h可以分裂成 2^{30} 个.故选B.
5BCD【解】对于A,因为 -(1)/(a){>}0 ，所以 a< 0，则 {√(-{(1)/(a))}}=-{(√(-a))/(a)} ,故A错误.
对于B， √((π-e)^{2)}=π-e. 故B正确.
对于 C,\left(m^{(1)/(3)}n^{-(1)/(4)}\right)^{24}=\left(m^{(1)/(3)}\right)^{24}\left(n^{-(1)/(4)}\right)^{24}= ，故C正确.
对于 D,(x^{3-2√(2)})^{3+2√(2)}=x^{9-8}=x 故 ~D~ 正确. 故选BCD.
ABD【解 ]a^{2{√(3)}}+a^{-2{√(3)}}=(a^{-{√(3)}}+a^{√(3)})^{2}-2= 9-2{=}7 故A正确.
a^{3{√(3)}}+a^{-3{√(3)}}=(a^{-{√(3)}}+a^{√(3)})(a^{-2{√(3)}}-1+ a^{2{√(3)}})=3x6=18. 故B正确.
由 a^{-{√(3)}}+a^{{√(3)}}=3 可知 a>0,a^{(√(3))/(2)}+a^{-(√(3))/(2)}>0 贝 11\left(a^{(√(3))/(2)}+a^{-{(√(3))/(2)}}\right)^{2}=a^{√(3)}+2+a^{-{√(3)}}=5 所以 a^{(√(3))/(2)}+a^{-{(√(3))/(2)}}=√(5) a=√5，故C错误.
a^{-2{√(3)}}\ \bullet\ {√(a^{sqrt{3)}}}\ +{(1)/(a^{-2{√(3))}\ \bullet{√(a^{sqrt{3)}}}}}=a^{-{(3{√(3)})/(2)}}\ + a^{(3{√(3)})/(2)} 3√3 4 3√3 -3√3 +a3√3+2= 20，所以原式 =2{√(5)} ,故D正确.故选ABD.
7【解】由题意，得 6^{m}x6^{n}=2x3=6 ，所以m+n=1. 所以 m^{2}+n^{2}+2m n=(m+n)^{2}= 1.故填1.
8【解】由 2^{2^{m}}=4^{4^{m}} ，得 2^{2^{m}}=2^{2^{2m+1}} ，得 2^{m}=2^{2m+1} ，得 m=2m+1 ，解得 m=-1. 故填-1.
9【解】(1)原式 =2^{2}x3^{3}-4x(7)/(4)-1+5- 2{=}103 ，
对于D， (b)/(a)-(a)/(b)=(b^{2}-a^{2})/(a b)>0,D 正确.
故选ACD.
10ACD【解】显然A正确.
对于B,由题意，知关于 x 的二次方程 a x^{2}+ b x+c=0 的两根分别为一3，4，则
\left\{{\begin{array}{l}{{-3+4=-{(b)/(a)},}}\\ {{-3x4={(c)/(a)},}}\end{array}}\right. 可得 b a，
-12a.
所以不等式 a x-c<0 即为 a x+12a<0. 解得 x{<}-12,B 错误.
对于 C,a+b+c=a-a-12a=-12a<0,C 正确.
对于D,原不等式即为 -12a x^{2}+a x+a<0 即 12x^{2}-x-1{>}0, 解得 x{<}-(1)/(4) ，或x> x{>}(1)/(3) D正确.故选 ACD.
11ABD【解 \displaystyle1a+b=a b-3>=2\ √(a b) ，所以({√(a b)})^{2}-2{√(a b)}-3>=0. 解得 {√(a b)}>=slant3 ，即_{a b>=slant9} ，当且仅当 a=b=3 时，等号成立，故A正确.
因为 a+b+3=a b>=slant9 ，所以 a+b>=slant6 故B正确.
{(1)/(a)}+{(1)/(b)}={(a+b)/(a b)}={(a+b)/(a+b+3)}={(1)/(1+{/{3){a+b}}}}>=slant (1)/(1+/{3){6}}=(2)/(3) ，故C错误.
a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2a b=(a+b)^{2}-2(a+ b)-6=(a+b-1)^{2}-7>=slant(6-1)^{2}-7=18. 故D正确.故选ABD.
12[解 13x(2-x){<=slant}3x\Big((x+2-x)/(2)\Big)^{2}=3, 当且仅当 \scriptstyle x=2-x ,即 x=1 时,等号成立.所以 3x(2-x) 的最大值为3.故填3.13【解】由 \scriptstyle a=b+1 ，得 b=a-1 ，所以 0< a\left(a-1\right)<2. 解得 -1{<a<}0 ，或 1{<a<}2. 故可取 a=(3)/(2) 故填 (3)/(2) (答案不唯一)。
14【解】设矩形的一边长为 a~\m~(a>0) ，另一边长为 b\ m(b>0) ，则 a b=144 ：
因为 a+b>=slant2{√(a b)}=24 ，当且仅当 a=b= 12时，等号成立，所以需要的篱笆长度至少是 2x24{=}48(m) .故填48.
15【解】(1)由 1{<}a{<}4,2{<}b{<}8. 知 2{<}2a< 8,6<3b<24 ，所以 8{<}2a+3b{<}32. 故 2a+3b 的取值范围为 \{2a+3b|8<2a+3b<32\} ：
(2)由 1{<}a{<}4,2{<}b{<}8 知 -8<-b<-2 ，所以一 7<a-b<2. 故 a-b 的取值范围为\{a-b|-7<a-b<2\}
1[解](1)因为 a>b>0 所以 (a^{2}-b^{2})/(a^{2)+b^{2}}>0 ：{(a-b)/(a+b)}>0. >0.所以q2+b {({/{a^{2}-b^{2})/(a^{2)+b^{2}}}}{(a-b)/(a+b)}}={((a+b)^{2})/(a^{2)+b^{2}}}=1+
(2a b)/(a^{2)+b^{2}}{>}1. >1所以
(2)证明：因为 c<d<0 ，所以 -c>-d> 0.又 a>b>0 ，所以 a-c>b-d>0. 所以 0< a<-a又e<0,所以- (e)/(a-c){>}(e)/(b-d)
17【解】 \lvert\left(1\right)2x+y=1>=slant2\ √(2x y) 即 x y<=slant (1)/(8) .当日仅当 \scriptstyle{x={(1)/(4)},y={(1)/(2)}} 时，等号成立.所
以 x y 的最大值为 (1)/(8)
(2)(1)/(x)+(2)/(y)=\left((1)/(x)+(2)/(y)\right)(2x+y)=4+(y)/(x)+ {(4x)/(y)}>=4+2{√({(y)/(x))*{(4x)/(y)}}}=8 ，当且仅当 \scriptstyle x={(1)/(4)} ，_{y=(1)/(2)} 时，等号成立.故 (1)/(x)+(2)/(y) 的最小值为8.又 (1)/(x)+(2)/(y)>= m^{2}-2m 恒成立，所以 m^{2}- 2m{<=slant}8. 解得 -2<=slant m<=slant4. 所以实数 m 的取值范围是 \{m\vert-2<=slant m<=slant4\} ：
18【解】（1)由题意，知 2a x^{2}+(2+a)x+ 1{>=slant}0 对任意 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} 恒成立.
当 a=0 时 2x+1{>=slant}0 得 x{>=slant}{-}(1)/(2) ，不合题意当 a\ne0 时， \stackrel{\{2a>0,\}}{\Delta}=(2+a)^{2}-8a\ll0 解得 a=2, 综上， a=2 ：
(2)若 b=2 ，则不等式可化为 \left(a x+1\right)\left(x-1\right) 1){<}0 ：
当 a{>}0 时，集合 B=\left\{x\bigg\vert-(1)/(a)<x<1\right\}
当 a=0 时，集合 B{=}\{x\vert x{<}1\}
当一 -1{<a<}0 时，集合 B{=}\left\{x\left|x{>}{-}{(1)/(a)},\right. ，或x{<}1\big\}
当 a=-1 时，集合 B{=}\{x\vert x{\ne}1\}
当 a<-1 时，集合 B=\left\{x\bigg\vert x<-(1)/(a),\right. 1，或\left.x>1\right\}
(3)由 {(5)/(x-3)}{>=slant}-1 ,解得 x{<=slant}-2 ，或 \scriptstyle x>3
由 2a x^{2}+(2-a b)x-b<0 得 \left(a x+1\right)\left(2x-1\right)
b){<}0 ：
由 a<0,b<0 解得 x<(b)/(2) ，或x） x{>}-(1)/(a)
因为 A\cap B{=}A ，所以 A\subseteq B \left\{\begin{array}{l l}{-2<\displaystyle(b)/(2)<0,}\\ {0<-\displaystyle(1)/(a)<=slant3.}\end{array}\right.
所以 解得 a<=slant-{(1)/(3)},-4<b<0.
所以 \scriptstyle a 的取值范围是 \left\{a\bigg|a<=slant-(1)/(3)\right\},b 的取
值范围是 \{b\vert-4<b<0\}
19【解】（1)由矩形周长为 40~cm ，可知
A D{=}(20{-}x)cm. 由 A B{>}A D ，得 10{<}x{<}20.
设 D P=a{~cm} ，则 P C=(x-a)cm.
因为 \angle A D P=\angle C E P ， \angle A P D=\angle C P E ，
A D=B C=E C ，所以 \triangle A D P{\overset{\circ}{=}}\triangle C E P
所以 A P=P C=(x-a){cm}.
在 {Rt}\triangle A D P 中， A D^{2}+D P^{2}=A P^{2} ，即
(20-x)^{2}+a^{2}=(x-a)^{2} ,解得 a=20-{(200)/(x)}
所以 ~D P=\left(\ 20-(200)/(x)\right){cm,10<\it{x}<20.}
(2)由题意，得 20-(200)/(x)>(1)/(3)x
因为 x{>}0 ，所以 x^{2}-60x+600<0 ：
解得 30-10{√(3)}<x<30+10{√(3)}
又 10<x<20 ，所以 \mathbf{\Psi}_{x} 的取值范围是 \{x —
30-10{√(3)}<x{<}20\} ，
\left(3\right)S=(1)/(2)A D* D P=(1)/(2)\left(20-x\right)\left(20-
\left|\begin{array}{c c}{(200)/(x)\displaystyle{\vphantom{(200)/(x)}}\right)=300-10\left(x+(200)/(x)\right),10<x<20. 因为 10{<}x{<}20 所以 x+{(200)/(x)}>=2{√(x*{(200)/(x))}}= 20{√(2)} ,当且仅当 \scriptstyle x={(200)/(x)} ，即 \scriptstyle x=10{√(2)} 时，等号成立.所以（x+20) \left({\boldsymbol{x}}+{(200)/(x)}\right)_{{min}}=20{√(2)}. 故 S_{max}{=}300{-}200{√(2)} ，此时 \scriptstyle{x}=10{√(2)}
章末检测(三)
1D【解】对于A， f\left(x\right) 的定义域为 R,g(x) 的定义域为 [0,+∞) ，它们不是同一个函数，故A错误.
对于B,若函数 f(x) 的定义域是[0,1]，则函数f(2.x)的定义域是[0] 故B错误。
显然C错误.
对于D,奇函数的图象关于原点对称,若奇函数有最小值 M ,则一定也有最大值一M,D正确.故选D.
2D【解】由 x^{2}-4\neq0 ，解得 x\neq±2. 所以f(x) 的定义域为（一∞，－2)U（－2,2)U(2,+∞) .故选D.
3D【解】由题意，得 f(f(-3))=f(3)= 9.故选D.
D [解】对于A,f(x)=|x｜|={,x≤0,在 (-∞,0] 上单调递减，故A不满足题意.显然B,C不满足题意.
对于D, f(x) 是由两个增函数相加得来,显然是增函数，满足题意.故选D.5C【解】由幂函数 y=(m^{2}-3m+ 3)x^{m2-m-1} 在（0， +∞. ）上单调递减，得(m2-3m+3=1"解得m=1.所以前者是后者的充要条件.故选C.
6D【解】显然 f(x) 是奇函数.在 (0,+∞) 上， y=x^{3} ， \begin{array}{r}{y=-(4)/(x)}\end{array} 均单调递增，所以f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,且 f({√(2)})= 0.只有D符合.故选 \mathbf{D}.
7B【解】由题意，得 \stackrel{\left\{a<0,\right.}}{\left.-1^{2}+2x1{<=slant}3-a,\right.} 解，得 a<0. 故选B.
8C【解】当 P_{1}<P_{0} 时，需求量大于供应量,故可排除A,D.且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除B.故选C.
9BD【解】对于A,其定义域是[0,2]，不等于集合 P ,故A错误.
对于B,其定义域是 [0,4]=P ，值域为[0,2]{\subseteq}Q ，故B正确.
对于C,其与函数定义相矛盾，故C错误.
对于D,其定义域是 [0,4]=P ，显然值域包含于集合 Q ,故D正确.故选BD.
10ABC【解】 f(-f(-x)){\stackrel{}{=}}f(f(x)) g(-g(-x)){=}g\left(-g\left(x\right)\right)=g\left(g\left(x\right)\right) ，-f(-g(-x)){=}{-}f(-g(x)){=}f(g(x)) ，A，B，C均正确. -g(-f(-x))= -g(f(x)) ,D错误.故选ABC.
11ABD【解】令 x=y=0 ，可得 f\left(0\right)= 2f(0) ，解得 f(0){=}0. 令 x=y=1 ，可得f(1){=}2f(1) ,解得 f(1)=0. 故A正确.
令 \scriptstyle x=y=-1 ，可得 2f(-1)=f(1)=0 ，则 f(-1)=0 令 y=-1 ，可得 f(-x){=}f(x){+}f(-1){=} f(x) ，所以 f(x) 为偶函数，故B正确.
任取 x_{1},x_{2}\in(0,+∞) ,且 \mathbf{\Psi}_{x_{1}>x_{2}} ，则 (x_{1})/(x_{2)}{>}1 ，可得 f{\biggl(}{(x_{1})/(x_{2)}}{\biggr)}>0. 所以 f(x_{1}){=}f{\biggl(}x_{2}*{(x_{1})/(x_{2)}}{\biggr)}= f(x_{2})+f{\biggl(}{(x_{1})/(x_{2)}}{\biggr)}>f(x_{2}) .所以 f(x) 在(0，+∞) 上单调递增.
又 f(x) 为偶函数，所以 f(x) 在 (-∞,0) 上单调递减，故C错误.
对于D,由 f\left(x\right)>f\left(1\right) ，可得 |x|{>}1 ，解得x{<}-1 ，或 _{x>1} ,故D正确.故选ABD.
12【解】易得 a-6+2a=0 ，解得 a=2. 由f(-x){=}f(x) ，即 a x^{2}-b x+1=a x^{2}+ b x+1 ，解得 b{=}0. 所以 a+b=2. 故填2.
13【解】 f(x)=\mid x\mid+2 为偶函数，在[0，+∞) 上单调递增，最小值为 f(0){=}2 ，满足要求.故填 |x|+2 或 x^{2}+2 等.(答案不唯一)14【解】当 x{>=slant}1 时，由 \scriptstyle x-1=-x^{2}+2x+ 1,解得 \scriptstyle x=2. 当 x<1 时，由 1-x=-x^{2}+ 2x+1 ，解得 \scriptstyle x=0 ：
则当 x{<}0 时， g\left(x\right){<f\left(x\right)} ；当 \scriptstyle0<x<2 时，f(x){<}g(x) ；当 \scriptstyle x>2 时， g\left(x\right){<f\left(x\right)} ：it{h}(x)=\left\{\begin{array}{l l}{-x^{2}+2x+1,x<}\\ {\left|x-1\right|,0<=slant x<=slant2,}\\ {-x^{2}+2x+1,x>}\end{array}\right. ，
所以 ，画出
h\left(x\right) 的图象如下图所示.
由图象，知 h\left(x\right) 的值域为 (-∞,1]. 故填(-∞,1]
15【解】(1)设 x-{(1)/(x)}=t. 因为 x^{2}+{(1)/(x^{2)}}= \left(x-{(1)/(x)}\right)^{2}+2 所以 f\left(t\right)=t^{2}+2. 所以f(x)=x^{2}+2. (2)设 f(x)=k x+b(k\neq0) ，则f(f(x)){=}k^{2}x{+}k b{+}b \begin{array}{l}{{\left\{{k^{2}=4},\right.}}\\ {{\left.}}\end{array} \begin{array}{l}{\displaystyle\int^{k=2,}}\\ {\displaystyle\lfloor b=-(1)/(3)}\end{array} k=-2，所以 解得 或
6=1.故 f(x){=}2x{-}{(1)/(3)} ，或f(x)=-2x+1.
16[解】(1)由 f(x) 为奇函数，知其图象关于原点对称，如右图作出已知图象关于原点对称的图象，即得该函数的完整图象.结合图象，可得 f(x) 的单调
递增区间为[一1,1]；单调递减区间为[一3，^{-1)} ,(1,3].
(2)结合 f(x) 的图象，可得函数 f(x) 的值域为[-3,3].
(3)当 0{<}x{<=slant}3 时， -3{<=slant}-x{<}0. 又当一 3<=slant x{<=slant}0 时， f\left(x\right)=x^{2}+2x ，所以 f\left(-x\right)= (-x)^{2}+2(-x)=x^{2}-2x ，
由 f(x) 为奇函数，可得 f(x){=}{-}f(-x)=
-x^{2}+2x ：f(x)=\left\{{-x^{2}+2x,-3{<=slant x}{<=slant}0}\right.
综上，
17【解】(1)因为 f(x) 是幂函数，
所以 m^{2}+m-1=1. 解得 m=-2 或 m=1 ，
又 f(x) 是偶函数，所以 m=-2 ，
(2)由(1),知f(x)=x-≥.
f(x) 的大致图象如下图所示.
(3）由(2)，知 f(x) 的图象关于 _y 轴对称，且在 (0,+∞) 上单调递减.由 f\left(2a-1\right)> f(a) ，得 \vert2a-1\vert<\vert a\vert ，且 2a-1\neq0,a\neq0 即 (2a-1)^{2}<a^{2} ，且 a{\neq}/12,a{\neq}0. 解得 (1)/(3)<a<(1)/(2) ，或 (1)/(2)<a<1 所以 \scriptstyle a 的取值范围为 style{\Bigl(}{(1)/(3)},{(1)/(2)}{\Bigr)}\cup{\Bigl(}{(1)/(2)},1{\Bigr)}
18【解】 (1)f(x) 是奇函数,理由如下.
因为 f(1)=5 ，所以 1+a=5. 解得 a=4
所以 f(x)=x+{(4)/(x)} 定义域为 (-∞,0)\cup (0,+∞) .又 f(-x)=-x+{(4)/(-x)}=-\left(x+\right. )=一f(x),所以 f(x)为奇函数.
(2)f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,证明如下.因为f（4)=3,所以 4+= 解得 a= -4. 所以 f(x)=x-{(4)/(x)}
设 0{<}x_{1}{<}x_{2} ，则 f(x_{2})-f(x_{1})=x_{2}- {(4)/(x_{2)}}{-}\left(x_{1}{-}{(4)/(x_{1)}}\right)=(x_{2}{-}x_{1})\left(1{+}{(4)/(x_{1)x_{2}}}\right)
因为 0<x_{1}<x_{2} ，所以 x_{2}-x_{1}>0,1+ (4)/(x_{1)x_{2}}>0 ，
所以 f(x_{2})-f(x_{1}){>}0 ，即 f(x_{2}){\>}f(x_{1}) ：所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.
(3)因为 x{>}0 ，所以 m x>=slant f(x) ，即 m>=slant1- 当x>0时，1-1 ∈(-∞o,1),故m的最小值为1.19【解】（1)由题意，可知总售价为 150x （万元)，总成本为 C(x)+300 （万元）.
当 0{<}x{<=slant}120 时， L\left(x\right)=150x-\left(0.1x^{2}+\right. 130x+300)=-0.1x^{2}+20x-300 ，
当 x>120 时， L\left(x\right)=150x-\left(151x+\right. (25~600)/(x)-1~350+300\Big)=-x-(25~600)/(x)+1~050. (-0.1x^{2}+20x-300,0<x<=slant120, 综上 ,L(x)=\left\{-x-(25\ 600)/(x)+1\ 050,x>120.\right. (2)当 0<x<=slant120 时， L\left(x\right)=-0.1x^{2}+ 20x-300 ，函数图象开口朝下，对称轴为 x= 100，故 L(x) 的最大值为 L(100){=}700
当 x>120 时， L\left(x\right)=-x-(25\ 600)/(x)+
1~050{<=slant}{-2}{√(x*{(25~600)/(x))}}+1~050{=}730, 当且仅当 \scriptstyle x={(25\ 600)/(x)} 即 _{x=160} 时，等号成立.因为 730{>}700 ，所以封装160万片时，公司可获得最大利润，最大利润为730万元.
章末检测(四)
c[解} \mathbf{le}^{2}\mathbf{e}^{(1)/(2)}=\mathbf{e}^{(5)/(2)} ，故A错误. (e^{2})^{3}=e^{6} 故B错误. \log_{6}2+\log_{6}3=\log_{6}6=1 ，故C正确 =og5故D错误故选C。
2D[解 1y=sqrt[3]{x}=x^{(1)/(3)} 是幂函数,故A错误 y=2^{x+1}=2x2^{x} 不是指数函数，故B错误 y=\log_{2}x 是对数函数，故C错误. y= \left({√(x)}-1\right)^{2}=x-2{√(x)}+1 不是二次函数,故D正确.故选D.
BA[解] f\left(-π\right)=\left({(1)/(2)}\right)^{-π}=2^{π}>0 则f(f(-π)){}=f(2^{π}){}=\log_{2}2^{π}=π. 故选A.
4C【解】因为 0=\log_{0.1}1<a=\log_{0.1}0.2< \log_{0.1}0.1=1,b=\log_{1.1}0.2{<}\log_{1.1}1=0,c c= 1.2^{0.2}>1.2^{0}=1 ，所以 c>a>b. 故选C.
5B【解】设 f(x)=3^{x}+2x-10 ，则 f(x) 在定义域内单调递增,故 f(x) 在定义域内至多有一个零点.因为 f{\Bigl(}{(3)/(2)}{\Bigr)}=3^{(3)/(2)}+3-10= 3√(3)-7{<}0,f(2)=9+4-10=3>0, 所以f(x) 仅在 \left({(3)/(2)},2\right) 内存在唯一零点，即方程3^{x}+2x-10=0 的解仅在 \left((3)/(2),2\right) 内.故选B.C【解】因为 f\left(-x\right)=(\left\vert-x\right\vert-2)/(2^{-x)+2^{x}}= 2+2=f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于 _y 轴对称，排除A,B.当 x>2 时，f(x){>}0 ,排除D.故选C.
7C【解】由题意，得 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.设方程 \ln(x+2)+2x-m=0 解的近似值为 x_{0} .由表格，得 f(0.531\ 25)f(0.562\ 5)< 0,所以 x_{0}\in(0,531 25，0.562 5).因为|0.531 25-0.562\ 5\vert=0.031\ 25<0.05 ，所以方程的近似解可取0.5625.故选C.
图（解）令 \scriptstyle{M=x^{2}+{(3)/(2)}x} 当 x\in\left({(1)/(2)},+∞\right) 时 .M\in\left(1,+∞\right),f(x)>0 所以 a>1. 所以函数 \begin{array}{r}{{\bf{\Sigma}}_{y}\ =\ \log_{a}M}\end{array} 为增函数.又 M= (x+(3)/(4))^{2}-(9)/(16) -所以M 的单调递增区间为\left(-{(3)/(4)},+∞\right) 又 α>0,即x>0或x{<}-(3)/(2) ,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞) .故选A.
9AB【解】在 (0,+∞) 上,显然A,B中函数
单调递减，C中函数单调递增.对于 D,因为 f{\Big(}{(1)/(2)}{\Big)}=3}{\Big|}{(1)/(2)}-1{\Big|}={√(3)},f(1)= 3^{|1-1|}=1 ， f(2){=}3^{|2-1|}=3 ，显然 f\left(x\right)= 3^{|x-1|} 在 (0,+∞) 上不单调，D错误.故选AB.10AC【解】根据题图，可知散点大致分布在某一幂函数或对数型函数曲线周围.故选AC.11ABD【解】对于A， \log_{(a b)}=\log_{a}+ \log_b=\log_a+1. 因为 1>a>b>0 ，所以
