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[知识拓展]

知识点2数列的通项公式

如果数列 \left\{a_{n}\right\} 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.

体验1.在数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{n}=3^{n-1} ，则 a_{2} 等于

A.2 B.3 C.9 D.32

体验2.下列可作为数列 \left\{a_{n}\right\} :1,2,1,2,1,2.…·的通项公式的是 ( ）

A. a_{n}=1 B_{*}a_{n}=((-1)^{n}+1)/(2) ~C.~a_{n}=2-\left|\sin(nπ)/(2)\right|\qquadD.~a_{n}=((-1)^{n-1}+3)/(2)

知识点3数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：

思考2.数列的通项公式 a_{n}=f(n) 与函数解析式 \scriptstyle y=f(x) 有什么异同？

[尝试解答]

反思领悟1.常见数列的通项公式归纳

(1)数列1,2,3,4,…的一个通项公式为 a_{n}=n (2)数列1,3,5,7，·的一个通项公式为 style{a_{n}} =2n-1 ；
(3)数列 2,4,6,8,*s 的一个通项公式为 style{a_{n}} =2n; ；
(4)数列 1,2,4,8,*s 的一个通项公式为 style{a_{n}} =2^{n-1} ；
(5）数列 1,4,9,16,*s 的一个通项公式为a_{n}=n^{2} ；
(6)数列- \mathbf{\Phi}_{-1,1,-1,1,*s} 的一个通项公式为 a_{n}=(-1)^{n} ；
(7）数列 1,(1)/(2),(1)/(3),(1)/(4), ·…·的一个通项公式为a_{n}={(1)/(n)}.

2.复杂数列的通项公式的归纳方法

(1)考察各项的结构；（2)观察各项中的“变”与“不变”；（3)观察“变”的规律是什么；(4)每项符号的变化规律如何；(5)得出通项公式.

[跟进训练]

写出下面各数列的一个通项公式：(1)9,99,999,9 999,·;(2)1,-3,5,—7,9,···;
1 9 25（3）
2 2 2(4)3,5,9,17,33,·

类型2 通项公式的应用

【例2】【链接教材P135例2】

已知数列 \{a_{n}\} 的通项公式为 a_{n}=3n^{2}-28n ，

(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)-49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？

尝试与发现

1.已知数列的通项公式，如何求数列的某一项？2.如何判断某一个数是否为数列中的项？

尝试解答]

【母题探究]

1.(变结论)若本例中的条件不变，

(1)试写出该数列的第3项和第8项；

(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？

配苏教版数学选择性必修第一册

2.（变条件，变结论)若将例题中的“a,=3n2一28n^{\prime} 变为“ a_{n}=n^{2}+2n-5^{,} ,试判断数列 \{a_{n}\} 的单调性.

1.在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中， x 等于C ）

A. 11 B.12 C.13 D.14

2.已知数列 1,{√(3)},{√(5)},{√(7)},*s,{√(2n-1)} ，则 3{√(5)} 是它的 ( ）

A.第22项 B.第23项C.第24项 D.第28项

3.数列 \{a_{n}\} ： -{√(3)},3,-3{√(3)},9,*s 的一个通项公式是 Y >

A. a_{n}=(-1)^{n}\ √(3n)(n\in\mathbf{N}^{*}\ ) 司 B. a_{n}=(-1)^{n}\ √(3^{n)}(n\in\mathbf{N}^{*}) C. a_{n}=(-1)^{n+1}√(3n)(n\in\mathbf{N}^{*}) D. a_{n}=(-1)^{n+1}{√(3^{n)}}(n\in\mathbf{N}^{*})

4.已知数列 \{a_{n}\} 的通项公式 a_{n}=4n-1 ,则它的第7项是 a_{2026}-a_{2025}=

5.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式为 a_{n}={(1)/(n(n+2))} (n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Lambda})

(1)计算 a_{3}+a_{4} 的值；

(1)/(120) 是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.

反思领悟1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对 n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中已知函数解析式和自变量的值求函数值.

2.判断一个数是否为该数列中的项，要看以n 为未知数的方程有没有正整数解.有正整数解就是，否则就不是.

3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 \mathbf{N}^{*} （或它的有限子集{1,2，\left.3,*s,k\right\} )这一约束条件.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.什么是数列、数列的项和数列的通项公式？
2.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需抓住其哪些特征？

第 2课时 数列的递推公式

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

看下面例子： (1)1,2,4,8,16,... (2)1,cos l,cos(cos 1),cos[cos(cos 1)］,.. (3)0,1,4,7,10,13.

请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项的关系怎样？

知识点1数列的递推公式

(1)两个条件：
① 已知数列的第1项(或前几项)；
② 任一项 与它的前一项
（或前几项）间的关系可以用一个
来表示.
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的 公式.

思考）1.所有数列都有递推公式吗？

体验1.已知数列 \{a_{n}\} 的首项 a_{1}=1 ，且满足a_{n+1}=(1)/(2)a_{n}+(1)/(2n) 此数列的第3项是 ( ）

(1)/(2) (3)/(4) 5
A. 1 B’ C· D. 8

体验2.数列{α,}满足α>+=1-， ，且a= a_{1}= 2,则 a_{2\ 027} 的值为 ( )

A. B.-1 C.2 D. 1 2

知识点2数列递推公式与通项公式的关系

思考2.仅由数列 \{a_{n}\} 的关系式 \boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{a}_{n-1} +2(n{>=slant}2,n{\in}\mathbf{N}^{*} )就能确定这个数列吗？

体验3.数列 2,4,6,8,10,*s 的递推公式是

A. a_{n}=a_{n-1}+2(n{\ge}2) B. a_{n}=2a_{n-1}(n{>=slant}2) \complement.a_{1}=2,a_{n}=a_{n-1}+2(n>=2) D. a_{1}=2,a_{n}=2a_{n-1}(n>=2)

类型1由递推公式求数列中的项

【例1】【链接教材P136例3】

已知在数列 \{a_{n}\} 中， a_{1}=1,a_{2}=2 ,后面各项由 a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}(n>=slant3) 给出.

(1)写出此数列的前5项；

(2)通过公式 b_{n}={(a_{n})/(a_{n+1)}} α构造一个新的数列\{b_{n}\} ,写出数列 \{b_{n}\} 的前4项.

[尝试解答]

[跟进训练]

1.已知数列 \{a_{n}\} 的第1项 a_{1}=1 ,后面的各项由公式 a_{n+1}=(2a_{n})/(a_{n)+2} 5项.

反思领悟 由递推公式写出数列的项的方法

(1)在递推公式中令 n{=}1,2,3,4,5,*s, 结合a_{1} 的值，即可以求出数列的前几项.
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如 a_{n}= 2a_{n+1}+1 ：
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如 a_{n+1} ={(a_{n}-1)/(2)}.

类型2数列的单调性

【例2】 已知数列 \{a_{n}\} 的通项公式是 a_{n}=(n+ 2)x\Big((7)/(8)\Big)^{n}(n\in\mathbf{N}^{*} )，试问数列 \{a_{n}\} 是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.

[思路探究］判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设 \boldsymbol{a}_{n_{}} 是数列的最大项，解不等式.

[尝试解答]

反思领悟求数列 \{a_{n}\} 的最大(小)项的方法
一是利用函数的单调性和最值，即参照数列
对应的函数的性质的研究方法，由函数的单
调性过渡到数列的增减性，然后判断最值.\begin{array}{r}{\left\{{a}_{k}\middle\vert{>=}{a}_{k-1},\right.}\\ {{a}_{k}{>=}{a}_{k+1},}\end{array}
二是设 a_{k} 是最大项，则有 对任意
的 k\in\mathbf{N}^{*} 且 k{>=slant}2 都成立，解不等式组即可.

[跟进训练]

2.已知数列 \{a_{n}\} 的通项公式为 a_{n}=n^{2}-7n-8.

(1)数列中有多少项为负数？

(2)数列 \{a_{n}\} 是否有最小项？若有，求出其最 小项.

类型3根据递推公式求通项

【例3】 (1)已知数列 \{a_{n}\} 满足 a_{1}=-1,a_{n+1}= n(n+1)nEN",求通项公式aα;

(2)设在数列 \left\{a_{n}\right\} 中 a_{1}=1,a_{n}=\Big(1-{(1)/(n)}\Big)a_{n-1} C \scriptstyle n>=slant2) ，求通项公式 style{a_{n}}

尝试与发现

1.对于任意数列 \left\{a_{n}\right\} ，等式 a_{1}+(a_{2}-a_{1}) +(a_{3}-a_{2})+*s+(a_{n}-a_{n-1})=a_{n} 都成立吗？若数列 \left\{a_{n}\right\} 满足： a_{1}=1,a_{n+1}- a_{n}=2 ，你能求出它的通项 a_{n} 吗？

2.能否把分式 (1)/(n(n-1)) 化为两项的差？

3.若数列 \left\{a_{n}\right\} 中的各项均不为0，等式a_{1}\bullet{(a_{2})/(a_{1)}}\bullet{(a_{3})/(a_{2)}}\bullet*s\bullet{(a_{n})/(a_{n-1)}}=a_{n} 成立吗？若数列 \left\{a_{n}\right\} 满足： a_{1}=3,(a_{n+1})/(a_{n)}=2 a+1=2,则它的通项 a_{n} 是什么？

4.{(n-1)/(n)}{x}{(n-2)/(n-1)}{x}{(n-3)/(n-2)}{x}*s{x}{(2)/(3)}{x}{(1)/(2)}{x}1 的运算结果是什么？

尝试解答］

母题探究]

1.（变条件）将例题（1)中的条件“ a_{1}=-1 ，a_{n+1}=a_{n}+{(1)/(n(n+1))} n（n+1)′n∈ N\*”变为“a=a,a-1=a-1-α,(n≥2)",求数列{α）的通项公式.

2.(变条件)将例题（2)中的条件“ a_{1}=1 ， a_{n} =\Big(1-(1)/(n)\Big)a_{n-1}(n>=2) ”变为“ a_{1}=2,a_{n+1} \mathbf{\tau}=3a_{n}(n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{ε})^{±b{γ},} ,写出数列的前5项，猜想 a_{n} 并加以证明.

反思领悟由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 a_{n+1}=a_{n}+f(n) 或 a_{n+1}= g(n)* a_{n} ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：

(1)累加法:当 a_{n}=a_{n-1}+f(n) 时，常用 a_{n}= (a_{n}-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+*s+(a_{2}-a_{1}) +a_{1} 求通项公式；

(2)累乘法：当 a=g(n)时,常用 an a_{n}={(a_{n})/(a_{n-1)}} an-1
(a_{n-1})/(a_{n-2)}**s*(a_{2})/(a_{1)}* a_{1} ·a 求通项公式.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.通项公式与递推公式有什么区别？
2.求数列通项公式有哪些方法？

提示》请完成《课时分层作业（二十一）》见第223页

4.2 等差数列

4.2.1 等差数列的概念

4.2.2 等差数列的通项公式

第1课时 等差数列的概念及通项公式

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28，.

那么，第30排有多少个座位？

知识点1等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第 项起，每一项减去它的 所得的差都等于 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个 叫作等差数列的公差，公差通常用字母 表示.

体验）1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打*_{\bigtriangledown}*\boldsymbol{\mathsf{V}}_{}^{})

(1)一般地，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. ）

(3)若三个数 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol{b}},\mathbf{\boldsymbol{c}} 满足 2b=a+c ，则 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol{b}},\mathbf{\boldsymbol{c}} 一定是等差数列. ）(4)一个无穷数列 \{a_{n}\} 的前四项分别为1,2，3,4，则它一定是等差数列. （）

知识点2 等差数列的通项公式

(2)等差数列 \{a_{n}\} 的单调性与公差d有关. Y

以 a_{1} 为首项， d 为公差的等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式 a_{n}=\_

思考1.教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？

体验2.在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{3}=2 ， d= 6.5，则 a_{7}= ( ）

A.22 B.24 C.26 D.28

配苏教版数学选择性必修第一册

体验3.已知数列 \{a_{n}\} 的首项 a_{1}=(1)/(3) ，且满足 (1)/(a_{n+1)}{=}(1)/(a_{n)}{+}5(n{\in}\mathbf{N}^{*}) +5(nEN\*）,则ag=

[知识拓展］从函数角度认识等差数列 \left\{a_{n}\right\} 若数列 \{a_{n}\} 是等差数列，首项为 a_{1} ，公差为 d ，则a_{n}=f(n){=}a_{1}+(n-1)d{=}n d+(a_{1}-d). (1)点 (n,a_{n}) 落在直线 \scriptstyle y=d x+(a_{1}-d) 上；

类型1等差数列的概念

【例1】【链接教材P140例1】(1)(多选题）下列命题正确的有 (

A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B.数列 \not{D}_{a},a-1,a-2,a-3 是公差为一1的等差数列
C.等差数列的通项公式一定能写成 style a_{n}=k n +b 的形式 (k,b 为常数)
D.数列 \{2n+1\}(n{\in}\mathbf{N}^{*} )是等差数列

（2）下列数列中，递增的等差数列有 个.\begin{array}{r l}&{\Phi1,3,5,7,9;②2,0,-2,0,-6,0,*s;③(1)/(9),}\\ &{/29,/39,/49,*s;④0,0,0,0,*s;⑤√(2)-1,√(2),}\end{array} {√(2)}+1

[尝试解答]

反思领悟（1）判断一个数列是否为等差数列，只需看 a_{n+1}-a_{n}\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right) 是不是一个与n 无关的常数.
(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列 \left\{a_{n}\right\} 的公差 d 是否大于0.
(3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可.

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 d ，

思考2.由等差数列的通项公式可以看出，要求 style{a_{n}} ，需要哪几个条件？

[跟进训练]

1.下列数列不是等差数列的是 1

A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.(1)/(3),(2)/(3),1,(4)/(3),(5)/(3) D.-3,-2,-1,1,2

2.在数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{1}=2,2a_{n+1}=2a_{n}+1(n\in \mathbf{N}^{*} ),则数列 \left\{a_{n}\right\} （填“是”或“不是”)等差数列，若是，公差为

类型2等差数列的通项公式

【例2】【链接教材P143例4】

(1)在等差数列 \{a_{n}\} 中，已知 a_{4}=7,a_{10}=25 ，求通项公式 \boldsymbol{a}_{n}
(2)已知数列 \{a_{n}\} 为等差数列， a_{3}=20,a_{7}= 28，求 a_{15} 的值.

[尝试解答］

反思领悟 等差数列通项公式的妙用

(1)等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式 a_{n}=a_{1}+(n- 1)d 中含有四个量，即 a_{n}* a_{1}* n,d. 如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”
(2)从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式 a_{n}=a_{1}+(n-1)d 可得 a_{n}=d n+(a_{1}-d) ，当 d{\neq}0 时， a_{n} 是关于n 的一次函数.
(3)由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.

[跟进训练]

3.已知数列 \{a_{n}\} 为等差数列.

(1)已知 a_{1}=6,d=3 ，求 a_{8} ；

(2)已知 a_{4}=10,a_{10}=4 ，求 a_{7} 和 d

(3)已知 a_{2}=12,a_{n}=-20,d=-2 ，求 n ；

(4)已知 a_{7}=(1)/(2),d=-2 ，求 a_{1} ：

类型3等差数列的判定与证明

【例3】 已知数列{α,}满足a=2,αn+1 ={(2a_{n})/(a_{n)+2}}.

(1)数列 \left\{{(1)/(a_{n)}}\right\} 是否为等差数列？说明理由；(2)求 style{a_{n}} ：

尝试与发现

如何用定义证明数列 \{a_{n}\} 是等差数列？

尝试解答］

母题探究]

1.(变条件)将本例中条件“ a_{1}=2 ,an+1= (2a_{n})/(a_{n)+2} ”"换成“a a_{1}=(1)/(5),(a_{n-1})/(a_{n)}=(2a_{n-1}+1)/(1-2a_{n)}(n>=slant(1)/(2) 2,n\in\mathbf{N}^{*} )”,结论如何?

2.（变条件，变结论)将例题中的条件“ a_{1}=\vdots ?,a_{n+1}=(2a_{n})/(a_{n)+2}; 2.42换为“a=4，aα=4- 4an-1(n{>}1) ”，记 b_{n}=(1)/(a_{n)-2}

(1)证明：数列 \{b_{n}\} 为等差数列；

(2)求数列 \{a_{n}\} 的通项公式.

反思领悟 等差数列的判定方法

(1)定义法： a_{n+1}-a_{n}=d （常数）（ n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Lambda})\Leftrightarrow \{a_{n}\} 为等差数列；
(2)通项公式法： a_{n}=a n+b(a,b 是常数， n\in \mathbf{N}^{*}\mathbf{π})\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 为等差数列.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.等差数列的定义与通项公式分别是什么？
2.判断一个数列是等差数列的方法有哪些？

提示请完成《课时分层作业（二十二）》见第225页

第 2课时 等差数列的性质

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

如图，第一层有1个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？

知识点1等差数列的图象

等差数列的通项公式 a_{n}=a_{1}+(n-1)d ，当 d =0 时， a_{n} 是一个固定常数;当 d\neq0 时， \boldsymbol{a}_{n} 相应的函数是一次函数；点 (n,a_{n}) 分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.

思考1.由 a_{n}=a_{1}+(n-1)d 可得 d= {(a_{n}-a_{1})/(n-1)},d={(a_{n}-a_{m})/(n-m)} 你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？

知识点2等差数列的性质

(1) \{a_{n}\} 是公差为 d 的等差数列，若正整数 m,n,\boldsymbol{\phi},q 满足 m+n=p+q. 则 a_{\scriptscriptstyle m}+a_{\scriptscriptstyle n}= ① 特别地,当 \begin{array}{r}{m+n{=}2k(m,n,k\in\mathbf{N}^{*}}\end{array} )时， \boldsymbol{a}_{m} +a_{n}=2a_{k} ，

② 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 ，即 a_{1}+a_{n}= a_{2}+a_{n-1}=*s=a_{k}+a_{n-k+1}=*s.

(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为 数列.

(3)若 \{a_{n}\},\{b_{n}\} 分别是公差为 d_{1},d_{2} 的等差 数列,则数列 \{p a_{n}+q b_{n}\}(p,q 是常数)是公 差为 的等差数列.

(4) \{a_{n}\} 的公差为 d ，则 d{>}0{\Leftrightarrow}\{a_{n}\} 为
数列；
d{<}0{\Leftrightarrow}\{a_{n}\} 为 数列； d=0\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 为 常数列.

思考2.若 \{a_{n}\} 为等差数列，且 m+n=p (m,n,p\in{\bf N}^{*}) ，则 a_{m}+a_{n}=a_{p} 一定成立吗？

体验1.在等差数列 \{a_{n}\} 中， a_{4}+a_{6}+a_{8}+ a_{10}+a_{12}=120 ，则 2a_{10}-a_{12} 的差为 （ ）

A. 20 B.22 C.24 D.26体验2.已知在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{7}+a_{9}= 16,a_{4}=1 ，则 a_{12}=

类型1灵活设元解等差数列

【例1】已知递减等差数列 \{a_{n}\} 的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断一34是否为该数列的项.

[思路探究］前三项可以设为 a-d,a,a+ d ，也可以直接用“通法”解决.

[尝试解答］

反思领悟 等差数列的设项方法与技巧

(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 \left|a_{1}\right? ，公差为 d ，利用已知条件建立方程求出 \left|a_{1}\right? 和 d ，即可确定数列.
(2)当已知数列有 2n 项时，可设为 a-(2n- \begin{array}{c}{{1)d,*s,a-3d,a-d,a+d,a+3d,*s,a+}}\end{array} (2n-1)d ，此时公差为 2d
(3)当已知数列有 2n+1 项时，可设为 a- n d,a-(n-1)d,*s,a-d,a,a+d,*s,a+ (n-1)d,a+n d ，此时公差为 \boldsymbol{\mathscrn3vpj5pft7}

[跟进训练］

1.已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方 和为85. ，求这5个数.

类型2等差数列的实际应用

【例2】某公司2024年生产一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？

[尝试解答]

反思领悟 解决等差数列实际问题的基本步骤

(1)将已知条件翻译成数学(数列）问题；
(2)构造等差数列模型（明确首项和公差）；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题.

跟进训练]

2.某市出租车的计价标准为1.2元/ km ，起步价为10元，即最初的 4~km^{\prime} （不含 4~km, 计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14~km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,需要支付车费 元.

类型3等差数列的性质

【例3】（1)已知在等差数列 \{a_{n}\} 中， a_{3}+a_{6}= 8,则 5a_{4}+a_{7}= （ ）

A.32 B.27 C.24 D.16

(2)若关于 x 的方程 x^{2}-2x+m=0 和 x^{2}- 2x+n{=}0(m{\neq}n) 的四个根可组成首项为 (1)/(4) 的等差数列，则 |m-n| 的值是

[尝试解答]

母题探究]

1.（变条件，变结论)本例（1)中条件变为“在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中，若 a_{5}=8 ， a_{10}=20 ”，求a15·

2.（变条件，变结论)本例（1)中条件变为“在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=* 450”，求 a_{2}+a_{8} ：

1.在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中 * a_{1}=2,a_{3}+a_{5}=10 ，则 a_{7}= (

A.5 B.8
C.10 D. 14

2.在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{1}+a_{9}=10 ,则 a_{5} 的值为(

A.5 B.6
C.8 D.10

3.在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{2}+a_{5}+a_{8}=9 ，那么关于 x 的方程 x^{2}+(a_{4}+a_{6})x+10=0 （ ）

A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根

4.若 \scriptstyle a,b,c 成等差数列，则二次函数 \scriptstyle y=a x^{2}- 2b x+c 的图象与 x 轴的交点的个数为

5.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2， 首末两项的积为一8，求这四个数.

反思领悟 等差数列性质的应用技巧

已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：

(1)若 \begin{array}{r}{m+n{=}p+q(m,n,p,q{\in}\mathbf{N}^{*}}\end{array} )，则 \boldsymbol{a}_{m} +{a_{n}}={a_{p}}+{a_{q}} ,其中 a_{m}\:,a_{n}\:,a_{\scriptscriptstyle P}\:,a_{q} 是数列中的项.该性质可推广为：
若 m+n+z=p+q+k\left(m,n,z,p,q,k\in \mathbf{N}^{*} ),则 a_{m}+a_{n}+a_{z}=a_{\phi}+a_{q}+a_{k} ，
(2)若 m+n{=}2p(m,n,\boldsymbol{p}\in\mathbf{N}^{*}) ，则 style{a_{m}+a_{n}} =2ap.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：等差数列有哪些常见的性质？

4.2.3 等差数列的前 n 项和

第1课时 等差数列的前 n 项和

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？”

知识点 等差数列的前 n 项和公式

(1)数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和：对于数列 \left\{a_{n}\right\} ，把a_{1}+a_{2}+*s+a_{n} 称为数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和，记作 S_{n} ：

(2)等差数列前 n 项和公式推导：等差数列前n 项和公式是用倒序相加法推导的.

(3)等差数列的前 n 项和公式

思考在等差数列 \{a_{n}\} 前 n 项和公式推导中，运用了哪条性质？

体验1.在等差数列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知 a_{1}=2,d =2 ，则 S_{20}= ( 0

A.230 B.420 C.450 D.540

体验2.等差数列 -1,-3,-5,*s 的前 n 项和是一100,那么 n 的取值为 ( 1

A.8 B.9 C.10 D. 11

类型1 等差数列前 n 项和的有关

计算

【例1】【链接教材P149例1】在等差数列 \{a_{n}\} 中，若：(1)已知 a_{6}=10,S_{5}=5 ，求 a_{8} ；(2）已知 a_{2}+a_{4}=(48)/(5) 号，求Ss. 龍求莊 ：

[尝试解答]

反思领悟 求数列的基本量的基本方法

求数列的基本量的基本方法是构建方程、方程组或运用数列的有关性质进行处理.

(1)“知三求一”: a_{1},d,n 称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前 n 项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个.(2)“知三求二”：五个量 a_{1},d,n,a_{n},S_{n} 中可知三求二，一般列方程组求解.

[跟进训练]

1.（1）已知数列 \left\{a_{n}\right\} 为等差数列， S_{n} 为数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和，若 a_{2}+a_{4}=4 ， a_{5}=8 ，则 S_{10} \mathbf{\Sigma}= ( 冏）

A.125 B.115 C.105 D.95

(2)已知等差数列 \{a_{n}\} 的前 n 项的和为 S_{n} ， 若 S_{9}=27,a_{10}=8 ，则 {\cal S}_{14}= ( ）

A.154 B.153 C.77 D.78

类型2等差数列前 n 项和公式的

实际应用

【例2】【链接教材P151例4】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

[思路探究］因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程.

[尝试解答]

反思领悟遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.
(2)深入分析题意，确定是求通项公式 style{a_{n}} ，或是求前 n 项和 \boldsymbol{S}_{n} ,还是求项数 n

[跟进训练]

2.（1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布 ( ）

A.30尺 B.90尺 C.150尺D.180尺（2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤?"根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为 （）

A.6斤 B.9斤 C.9.5斤D.12斤类型3利用 a_{n}=\left\{\begin{array}{l l}{S_{1},n=1,}\\ {\qquad}\\ {S_{n}-S_{n-1},n>=2}\end{array}\right.

求通项

【例3】 根据下列数列的前 n 项和 S_{n} 求通项 \boldsymbol{a}_{n} ：(1)S_{n}{=}2n^{2}-n{+}1; (2)S_{n}=2\bullet3^{n}-2.

[思路探究]先写出 n{\stackrel{style>2}{style>}}2 时， a_{n}=S_{n}-S_{n-1} 的表达式，再求出 \scriptstyle n=1 时 a_{1}=S_{1} 的值，验证 a_{1} 是否适合 n{\stackrel{style>2}{style>}}2 时表达式.如果适合，则 \scriptstyle a_{n}=S_{n}- S_{n-1}(n{\in}\mathbf{N}^{*}) ），否则 a_{n}{=}\left\{\begin{array}{l}{{S_{1},n{=}1,}}\\ {{{}}}\\ {{S_{n}{-}S_{n-1},n{>=}2.}}\end{array}\right.

[尝试解答]

反思领悟1.数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项 style{a_{n}} 与前 n 项和S_{n} 之间的关系为 a_{n}=\left\{\begin{array}{l l}{S_{1},n=1,}\\ {S_{n}-S_{n-1},n>=2.}\end{array}\right.

2.用 style{a_{n}} 与 S_{n} 的关系求 \boldsymbol{a}_{n} 的步骤

(1)先确定 n>=slant2 时 a_{n}=S_{n}-S_{n-1} 的表达式；
(2)再利用 S_{n} 求出 a_{1}(a_{1}=S_{1}) ”
(3)验证 a_{1} 的值是否适合 a_{n}=S_{n}-S_{n-1} 的表达式；
(4)写出数列的通项公式.

[跟进训练]

3.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和 S_{n} 满足 n{=}\log_{2}{(S_{n}-} 1),求其通项公式 style{a_{n}}

■类型4等差数列前 n 项和 S_{n} 的函数

特征

【例4】数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和 S_{n}=33n-n^{2} ：(1)求 \{a_{n}\} 的通项公式；(2) \{a_{n}\} 的前多少项和最大?

尝试解答]

【母题探究]

1.（变条件)将例题中的条件变为“在等差数列 \{a_{n}\} 中， a_{1}=25,S_{9}=S_{17} ”，求其前 n 项和 S_{n} 的最大值.

.（变结论)本例中条件不变，令b,=丨α,｜，求数列 \left\{b_{n}\right\} 的前 n 项和 {\boldsymbol{T}}_{n} ：

反思领悟 1.在等差数列中，求 S_{n} 的最小（大）值的方法

(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值.(2)借助二次函数的图象及性质求最值.

2.寻求正、负项分界点的方法

(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用 \left\{\begin{array}{l}{{a_{n}>=0,}}\\ {{a_{n+1}<=slant0^{\#}}^{\displaystyle\int}a_{n+1}>=0,}\end{array}\right. 来寻找.(2)利用到 y=a x^{2}+b x(a\neq0) 图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.3.求解数列 \{\mid a_{n}\mid\} 的前 n 项和，应先判断\{a_{n}\} 的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题.

1.等差数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ,且 S_{3}{=}6,a_{3} =4 ,则公差 d 等于 ( ）

A. 1 B. (5)/(3) C.2 D. 3

2.设等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和为 S_{n} ，已知 S_{10} =100 ,则 a_{4}+a_{7}= ( ）

A. 12 B.20 C.40 D.100

3.若数列 \{a_{n}\} 的通项公式 a_{n}=43-3n ，则 S_{n} 取得最大值时， n= (

A.13 B. 14
C.15 D.14或15

4.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和公式 S_{n}=n^{2}-2n +1 ,则其通项公式为

5.（教材P153习题4.2（2)T4改编）在等差数列 \{a_{n}\} 中：

(1)a_{1}=(5)/(6),a_{n}=-(3)/(2),S_{n}=-5 求 n 和 d (2)a_{1}=4 ， S_{8}=172 ，求 a_{8} 和 d (3)已知 d=2,a_{n}=11,S_{n}=35 求 \left|a_{1}\right? 和 n

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和 S_{n} 是什么？2.数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项 style{a_{n}} 与前 n 项和 S_{n} 之间有什么关系？

提示请完成《课时分层作业（二十四）》见第229页

第 2 课时 等差数列前 n 项和的性质

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

1.等差数列前 n 项和公式可以转化为关于 n 的一元二次函数（ \scriptstyle d\neq0 )或一次函数（ \scriptstyle\left.d=0\right) .反过来，如果一个数列的前 n 项和是关于 n 的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
2.在项数为 2n 或 2n{+}1 的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？

知识点等差数列前 n 项和的性质

(1)在等差数列 \{a_{n}\} 中，其前 n 项和为 S_{n} ，则\{a_{n}\} 中连续的 n 项和构成的数列 S_{n} ，， S_{3n}-S_{2n} ， ，构成等差数列.

(2)数列 \{a_{n}\} 是等差数列 \Longleftrightarrow S_{n}=a n^{2}+b n(a,b 为 常数).

思考如果 \{a_{n}\} 是等差数列，那么 a_{1}+a_{2}+ \dotsb+a_{10},a_{11}+a_{12}+\dotsb+a_{20},a_{21}+a_{22}+\dotsb+ a_{30} 是等差数列吗？

(3）在等差数列 \{a_{n}\} 中，数列 \left\{{(S_{n})/(n)}\right\} 为等差数列.

体验在项数为 2n+1 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则 n 等于 （）

A.9 B.10 C.11 D.12

[尝试解答]

反思领悟本题可从不同角度应用等差数列的性质（如通性通法，运用 S_{n} 和 \boldsymbol{a}_{n} 之间的关系，运用前 n 项和“片段和“的性质，使用性质\left\{{(S_{n})/(n)}\right\} 也是等差数列”，前 n 项和 S_{n}=A n^{2}+ B n 表示的特点等），并灵活选用前 n 项和公式，使问题快速得到解决.

跟进训练」

1.等差数列 \{a_{n}\} 的前 \mathbf{\Psi}_{m} 项和为30,前 2m 项和为100,求数列 \{a_{n}\} 的前 3m 项的和 S_{3m} ：

类型2裂项相消法求和

【例2】在等差数列 \{a_{n}\} 中， a_{1}=3 ，公差 d{=}2 ，S_{n} 为前 n 项和，求 (1)/(S_{1)}+(1)/(S_{2)}+*s+(1)/(S_{n)}.

[尝试解答]

反思领悟 1.裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项.

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

2.常见数列的裂项方法

[跟进训练]

2.已知数列 \left\{{\begin{array}{l}{a_{n}}\end{array}}\right\} 的通项公式为 a_{n}\ = (2n-1)(2n+1),求数列（α,）的前n项和 S_{n}

类型3有限项等差数列前 n 项和的性质及比值问题

【例3】（1)数列 \{a_{n}\},\{b_{n}\} 均为等差数列,前 n 项 和分别为 S_{n},T_{n} ,若 *(S_{n})/(T_{n)}{=}(3n{+}2)/(2n) (a_{7})/(b_{7)}= 7

（2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27,则该数列的公差为

尝试与发现

\mathbf{1},a_{7},b_{7} 能分别用 S_{n},T_{n} 表示吗？2.在等差数列中，偶数项的和 S_{G_{\overline{{\mathbb{H}}}}} 与奇数项的和 S_{\#} 能用公差 d 表示吗？

[尝试解答］

母题探究]

1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求 (a_{10})/(b_{3)+b_{18}}+(a_{11})/(b_{6)+b_{15}} 的值。

2.(变结论)在本例(1)条件不变时,求的值.

3.（变条件、变结论)把本例（1)中条件变为(a_{n})/(b_{n)}{=}(3n{+}2)/(2n) 3n+2”，求的值。

反思领悟 等差数列前 n 项和计算的两种思维方法

(1)整体思路：利用公式 S_{n}={(n(a_{1}+a_{n}))/(2)} ，设法求出整体 a_{1}+a_{n} ,再代入求解.(2)待定系数法：利用 S_{n} 是关于 n 的二次函数，设 S_{n}{=}A n^{2}+B n(A{\neq}0) ，列出方程组求A,B (S_{n})/(n) n 数，设 {(S_{n})/(n)}{=}a n{+}b(a{\neq}0) 进行计算。

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：等差数列前 n 项和的常用性质有哪些？

4.3 等比数列

4.3.1 等比数列的概念

4.3.2 等比数列的通项公式

第1课时 等比数列的概念及通项公式

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”

1.你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？2.对上述数列，如何表示相邻两项的关系Q a_{n+1} 与 style{a_{n}} )？

知识点1等比数列的概念

体验）1.思考辨析（正确的打“√”，错误的 打“ x"

(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列．（）(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ）

(3)常数列一定为等比数列. T 体验）2.下列数列是等比数列的是（

A.3,9,15,21,27 B.1,1.1,1.21,1.331,1.464 C.(1)/(3),(1)/(6),(1)/(9),(1)/(12),(1)/(15) D.4,-8,16,-32,64

知识点2 等比数列的通项公式

一般地，对于等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的第 n 项 \boldsymbol{a}_{n} ，有a_{n}=\underline{{\underline{{\quad\quad\quad}}}} .这就是等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式，其中 a_{1} 为首项， q 为公比，

体验3.已知在数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{1}=2,a_{n+1}= 2a_{n} ，则 a_{3}=

[知识拓展] 等比数列与指数函数的关系

等比数列的通项公式可整理为 a_{n}={(a_{1})/(q)}* q^{n} 而 \scriptstyle y={(a_{1})/(q)}* q^{x}(q{\neq}1) 是一个不为〇的常数 (a_{1})/(q)

类型1等比数列的判断与证明

【例1】【链接教材P155例1】

已知数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n}=2^{n}+a ,试判断 \{a_{n}\} 是否是等比数列.

尝试与发现

1．如何由 S_{n}=2^{n}+a 得到 \boldsymbol{a}_{n} ？

2.若数列 \{a_{n}\} 是等比数列，易知有 {(a_{n+1})/(a_{n)}}=q C q 为常数，且 q\ne0 ）或 a_{n+1}^{2}=a_{n}* a_{n+2}(a_{n} \neq\boldsymbol{0},\boldsymbol{n}\in\mathbf{N}^{*}\ ) 成立.反之，能说明数列 \left\{a_{n}\right\} 是等比数列吗？

[尝试解答]

与指数函数 q^{x} 的乘积，从图象上看，表示数列 \left\{{(a_{1})/(q)}\bullet q^{n}\right\} 中的各项的点是函数 \scriptstyle y={(a_{1})/(q)}* q^{x} 的图象上的孤立点.

母题探究

1.（变条件，变结论）将例题中的条件“S=2^{n}+a ”变为“ a_{1}=2 ,an+1=4an—3n+1(n\in\mathbf{N}^{\ast}\mathbf{\Lambda})^{\ast} ：

(1)证明：数列 \{a_{n}-n\} 是等比数列;

(2)求出 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.

2.（变条件)将例题中的条件“ S_{n}=2^{n}+a ”变为“ S_{n}=2-a_{n} ".求证：数列 \left\{a_{n}\right\} 是等比数列.

反思领悟 有关等比数列的判断证明方法

类型2等比数列通项公式的基本运算

【例2】【链接教材P158例4】

已知等比数列 \{a_{n}\} ：

(1)若 a_{4}=2,a_{7}=8 ，求 a_{n} ；

(2)若 a_{2}+a_{5}=18,a_{3}+a_{6}=9,a_{n}=1 ，求 n

[尝试解答]

[跟进训练]

1.已知等比数列 \{a_{n}\} 。

(1)若 a_{n}=128,a_{1}=4,q{=}2 ，求 n (2)若 a_{n}=625,n=4,q=5 ，求 \scriptstyle a_{1} (3)若 a_{1}=2,a_{3}=8 ，求公比 q 和通项公式.

反思领悟1.等比数列的通项公式涉及4个量 a_{1},a_{n},n,q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中， a_{1} 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.

2.关于 1 \left|a_{1}\right? 和 q 的求法通常有以下两种方法(1)根据已知条件，建立关于 a_{1},q 的方程组，求出 a_{1},q 后再求 \boldsymbol{a}_{n} ,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a_{1} ，最后求 a_{n} ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.

类型3等比数列定义与通项公式的综

合应用

【例3】在各项均为负数的数列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知2an=3an+1(n∈N\*）,且 α2·as= a_{2}\bullet a_{5}=(8)/(27) ：

(1)求证： \{a_{n}\} 是等比数列，并求出其通项；

(2)试问 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由.

[尝试解答]

反思领悟1.已知数列的前 n 项和或前 n 项和与通项的关系求通项，常用 style{a_{n}} 与 S_{n} 的关系求解.

2.由递推关系 \boldsymbol{a}_{n+1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{a}_{n}+\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B} 为常数，且 A{\neq}0,A{\neq}1) 求 style{a_{n}} 时，由待定系数法设a_{n+1}+λ=A\left(a_{n}+λ\right) ，可得 λ{=}(B)/(A{-)1} 这样就构造了等比数列 \{a_{n}+λ\} ，

跟进训练]

2.设关于 x 的二次方程 a_{n}x^{2}-a_{n+1}x+1=0\left(n\right. =1,2,3,*s) 有两根 α 和 β ,且满足 6α-2αβ +6β=3

(1)试用 a_{n} 表示 a_{n+1} ；

(2)求证： \left\lbrace a_{n}-{(2)/(3)}\right\rbrace 是等比数列;

(3)当 a_{1}={(7)/(6)} 时，求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式及项的最值.

(2)若 a_{1}=125,q=0.\ 2,a_{n}=3.\ 2x{10}^{-4} 求 n ，

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.等比数列的定义与通项公式是什么？
2.判断一个数列是等比数列的方法有哪些？

第 2课时 等比数列的性质

情境与问题

在等差数列 \{a_{n}\} 中，存在很多的性质，如

(1)若 m+n{=}p{+}q ，则 a_{m}+a_{n}=a_{\scriptscriptstyleβ}+a_{\scriptscriptstyle q}(m,n,β,q\in \mathbf{\partial}:\mathbf{N}^{*} ).

(2)若 m+n{=}2p ，则 a_{m}+a_{n}=2a_{\phi}

(3)若l,L2,l3,l4,",ln成等差数列,则a,al’ al,,au,，"..,a也成等差数列.

那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？

知识点1推广的等比数列的通项公式

\left\{a_{n}\right\} 是等比数列,首项为 \scriptstyle a_{1} ,公比为 q ，则 a_{n} \O= ,a_{n}=~/~{~(~{~\it~m~,n\in{\bf N}^{*}~)~}~{~\it~\Omega~}~}

思考如何推导 a_{n}=a_{m}q^{n-m} ？

体验1.在等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{5}=4,a_{7}=6 ，则 a_{9}=

知识点2“子数列”性质

对于无穷等比数列 \left\{a_{n}\right\} ，其公比为 q ，若将其前 k 项去掉，剩余各项仍为 数列，首项为 ，公比为 ;若取出所有的 k 的倍数项，组成的数列仍为数列，首项为 ，公比为

知识点3等比数列项的运算性质

在等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中,若 \scriptstyle m+n=p+q(m,n,p ，q\in\mathbf{N}^{*} ),则 a_{m}* a_{n}=

① 特别地，当 \scriptstyle m+n=2k(m,n,k\in\mathbf{N}^{*} )时， a_{m}* a_{n} \O=

② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 ，即 a_{1} ·a_{n}=a_{2}\bullet a_{n-1}=*s=a_{k}\bullet a_{n-k+1}=*s.

体验2.已知数列 \{a_{n}\} 是等比数列，下列说法错误的是 (

A. a_{3}\:,a_{5}\:,a_{7} 成等比数列
B. a_{1},a_{3},a_{9} 成等比数列
C. a_{n}\:,a_{n+1}\:,a_{n+2} 成等比数列
D. n{>}3 时， a_{n-3},a_{n},a_{n+3} 成等比数列

体验3.在等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知 \mathbf{\Omega}_{a_{7}}*\mathbf{\Omega}_{a_{12}} =5,则as·ag·a1o·a1= ( ）

A.-25 B.25 C.10 D.20

类型1 等比数列的性质及应用

【例1】已知 \{a_{n}\} 为等比数列.

(1)等比数列 \{a_{n}\} 满足 a_{2}a_{4}=(1)/(2) ，求 a_{1}a_{3}^{2}a_{5} ；

(2)若 a_{n}>0,a_{5}a_{6}=9 ，求 \log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+*s +\log_{3}{a_{10}} 的值.

[思路探究］利用等比数列的性质“若 m+ n{=}p{+}q ，则 a_{m}* a_{n}=a_{\scriptscriptstylesl{p}}* a_{\scriptscriptstyle q}^{~,~} 求解.

[尝试解答］

反思领悟 解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法

(1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量.这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐.

(2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成 等比数列、与首末两项等距离的两项的积相 等等性质经常用到.

[跟进训练]

1.(1)已知在各项均为正数的等比数列 \{a_{n}\} 中，a_{1}a_{2}a_{3}=5,a_{7}a_{8}a_{9}=10 ，则 a_{4}a_{5}a_{6}= （ ）

(2)在等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{2}~,~a_{16} 是方程 x^{2}+6x +2=0 的两个根,则 (a_{2}a_{16})/(a_{9)} 的值为 (

类型2灵活设项求解等比数列

【例2】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.

尝试解答］

配苏教版数学选择性必修第一册

反思领悟 巧设等差数列、等比数列的方法

(1)若三个数成等差数列，常设成 a-d,a,a +d. 若三个数成等比数列，常设成 {(a)/(q)},a,a q 或 a,a q,a q^{2} ：
(2)若四个数成等比数列，可设为 {(a)/(q)},a ， a q,a q^{2} ：
若四个正数成等比数列，可设为， (a)/(q^{3)},(a)/(q) a q,a q^{3}

[跟进训练]

2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.

类型3由递推公式构造等比数列

求通项

【例3】已知 S_{n} 是数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和,且 S_{n} =2a_{n}+n-4. (1)求 \left|a_{1}\right? 的值；(2)若 b_{n}=a_{n}-1 ,试证明数列 \{b_{n}\} 为等比数列.

尝试与发现

如何由 S_{n}=2a_{n}+n-4 转化为 style{a_{n}} 的关系式？

尝试解答]

反思领悟 两种递推公式构造等比数列的模型

(1)由递推关系 a_{n+1}=A a_{n}+B\c{(A,B} 为常数，且 A{\ne}0,A{\ne}1) 求 style{a_{n}} 时，由待定系数法设a_{n+1}+λ{=}A(a_{n}+λ) 可得 λ{=}(B)/(A{-)1} A-'这样就构造了等比数列 \{a_{n}+λ\} (2)形如 a_{n+1}=c a_{n}+d^{n}(c\neq d,c d\neq0) 的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以 d"得=x(a_{n})/(d^{n)}+(1)/(d) ,进而化归为等比数列.还可以两边同除以 c^{n+1} 時得計 (a_{n+1})/(c^{n+1)}=(a_{n})/(c^{n)}+\left((d)/(c)\right)^{n}x(1)/(c) ×一,再利用 再利用累加法求出 (a_{n})/(c^{n)} 即得 style{a_{n}} ：

[跟进训练]

3.已知数列 \left\{a_{n}\right\},a_{1}=/56,a_{n+1}=/13a_{n}+\left(/12\right)^{n+1}, 试证明 \left\{a_{n}-3x\left({(1)/(2)}\right)^{n}\right\} 为等比数列，并求\{a_{n}\} 的通项公式.

类型4等比数列的实际应用

【例4】从盛满 20~L~ 纯酒精的容器里倒出1~L~ ，然后用水填满，再倒出 ^rm{\scriptsize1L} 混合溶液，再用水填满，这样继续进行.(1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发现各次剩余的纯酒精数构成什么数列吗？(2)倒第5次后容器里还剩有纯酒精多少升？（精确到小数点后两位）

[尝试解答]

配苏教版数学选择性必修第一册

反思领悟求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.

跟进训练]

4.《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色.”问：巢有几何？

1.已知等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的公差为4,且 a_{2}~,~a_{3}~,~a_{6} 成等比数列，则 a_{10}= ( >

A.26 B. 30 C.34 D.38

2.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 为等比数列， S_{n} 为等差数列 \{b_{n}\} 的前 n 项和,且 a_{2}=1,a_{10}=16,a_{6}=b_{6} ， 则 S_{11}= ( >

A. 44 B.-44 C.88 D.-88

3.在 (1)/(2) 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为

4.在等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中，各项都是正数， a_{6}a_{10}+ a_{3}a_{5}=41,a_{4}a_{8}=4 ，则 a_{4}+a_{8}=\qquad

5.(1)已知数列 \{a_{n}\} 为等比数列， a_{3}=3,a_{11}= 27，求 a_{7} ；

(2)已知 \{a_{n}\} 为等比数列， a_{2}* a_{8}=36,a_{3}+ a_{7}=15 ，求公比 \boldsymbol{q}

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：等比数列项的运算性质有哪些？

4.3.3 等比数列的前 n 项和

第1课时 等比数列的前 n 项和

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还两分，即后一天返还的钱是前一天的！两倍.问谁赢谁亏?

知识点1 等比数列前 n 项和公式

思考类比等差数列前 n 项和是关于 n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和 S_{n} ?

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”,错误的打\dotsx\dots)

(1)求等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和时可直接套用公式S,= S_{n}{=}(a_{1}(1{-}q^{n}))/(1{-)q} 来求. （

(2)等比数列的前 n 项和公式可以简写成 S_{n} =-A q^{n}+A(q\neq1). ( >

(3)1+x+x^{2}+*s+x^{n}={(1-x^{n})/(1-x)}.

体验2.已知等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的公比 q=2 ，前项和为 S，则 1

A.3 B.4\qquadC./{7{2}}\qquadD./{13{2}}

知识点2 错位相减法

一般地,等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和可写为：{\cal S}_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+*s+a_{1}q^{n-1}, ① 用公比 q 乘 ① 的两边，可得
q S_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+*s+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}, ② 由 ①-② ,得 (1-q)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n} ，
若 q=1 ，则 S_{n}{=}n a_{1} ；
若q≠1,则 S,=α(1-q")
1-q

类型1等比数列基本量的运算

【例1】【链接教材P162例1】已知等比数列 \{a_{n}\} ：(1)S_{2}=30,S_{3}=155 ，求 S_{n} ；(2)a_{1}+a_{3}=10,a_{4}+a_{6}=(5)/(4) 求 S_{5} ；\left(3\right)a_{1}+a_{n}=66,a_{2}a_{n-1}=128,S_{n}=126 求 q

[尝试解答]

反思领悟1．在等比数列 \{a_{n}\} 的五个量 \scriptstyle a_{1} ，q,a_{n},n,S_{n} 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.

2.在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要 对公比 q=1 或 q{\neq}1 进行判断，若两种情 况都有可能，则要分类讨论.

[跟进训练]

1.已知等比数列 \{a_{n}\} ：

(1)若 S_{n}=189,q{=}2,a_{n}{=}96 ，求 a_{1} 和 n #

(2)若a3 a_{3}=(3)/(2),S_{3}=(9)/(2) ，求 \left|a_{1}\right? 和公比 q ，

类型2等比数列前 n 项和公式的实际应用

【例2】【链接教材P164例4】借贷10000元，以月利率为 1% 每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？ (1.01^{6}\approx1.062,1.01^{5}\approx1.051)

尝试解答]

反思领悟 解数列应用题的具体方法步骤

（1）认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

① 明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求 style{a_{n}} ，还是求 S_{n} ？特别要注意项数是多少.

② 弄清题目中主要的已知事项.

(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.

跟进训练]

2.某人在年初用16万元购买了一辆家用轿车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为 10% ,每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？ (1.1^{6}\approx1.7716)

类型3错位相减法求和

【例3】设 \left\{a_{n}\right\} 是等差数列， \{b_{n}\} 是等比数列,公比大于0,已知 a_{1}=b_{1}=2,b_{2}=a_{2},b_{3}=a_{2}+4.

(1)求 \left\{a_{n}\right\} 和 \{b_{n}\} 的通项公式；

(2)记 c_{n}=(a_{n})/(2b_{n)},n{\in}\mathbf{N}^{*} ，证明： c_{1}+c_{2}+*s+c_{n}<2 \mathbf{\Omega}_{n\in\mathbf{N}^{*}}

尝试与发现

在等式 S_{n}=1*2^{1}+2*2^{2}+3*2^{3}+*s+ n*2^{n} 两边同乘以数列 \{2^{n}\} 的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求 S_{n} 的问题转化为等比数列的前 n 项和问题吗？

尝试解答］

母题探究]

1.(变条件)本例题(2)中设 c_{n}{=}(1)/(2)a_{n}b_{n} ，求数列 \left\{c_{n}\right\} 的前 n 项和 {S_{n}}^{\prime} ：

2.(变条件)本例题中设 d_{n}=(2n-1)/(b_{n)} ,求数列\{d_{n}\} 的前 n 项和 {\boldsymbol{T}}_{n} ：

1.已知等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的首项 a_{1}=3 ,公比 q=2 ，则 S_{5} 等于 ( ）

A.93 B.-93 C.45 D.-45

2.设 S_{n} 为等比数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和,若 27a_{4}+ a_{7}=0 ，则 (S_{4})/(S_{2)}= ）

A.10 B.9
C.-8 D.-5

3.设等比数列 \{a_{n}\} 的各项均为正数，前 n 项和为 S_{n} ，若 a_{1}=1,S_{5}=5S_{3}-4 ，则 {\cal S}_{4}= ( ）

A. (15)/(8) B.{(65)/(8)} C.15 D.40

4.在公比为整数的等比数列 \{a_{n}\} 中,如果 a_{1}+a_{4} =18,a_{2}+a_{3}=12 ,则这个数列的前8项之和S_{8}=\_{\bf\Phi}.

5.一个热气球在第一分钟上升了 25~m~ 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80% ．这个热气球上升的高度能超过 125~m~ 吗？

反思领悟 错位相减法的适用题目及注意事项

(1)适用范围：它主要适用于 \left\{a_{n}\right\} 是等差数列， \{b_{n}\} 是等比数列，求数列 \{a_{n}b_{n}\} 的前 n 项和.

(2)注意事项：

① 利用“错位相减法”时，在写出 S_{n} 与 q S_{n} 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出 (1-q)S_{n} 的表达式.

② 利用此法时要注意讨论公比 q 是否等于1的情况.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.等比数列的前 n 项和公式是什么？

2.若 \mathbf{\Psi}_{C_{n}}=a_{n}b_{n} ,其中 \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} 分别是等差数列、等比数列，如何求数列 \left\{c_{n}\right\} 的前 n 项和？

第 2课时 等比数列前 n 项和的性质及应用

情境与问题

在等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中，若 q\neq1 时， S_{n}= (a_{1}(1-q^{n}))/(1-q){=}(a_{1}-a_{n}q)/(1-q) 可以把 S_{n} 写成 S_{n}=A q^{n} A 的形式，那么等比数列的前 n 项和还有其他哪些性质？

知识点等比数列前 n 项和的性质

(1)性质一:若 S_{n} 表示数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和，且 S_{n}=A q^{n}-A\left(A q\neq0,q\neq±\right. )，则数列\{a_{n}\} 是 数列.

(2)性质二：若数列 \{a_{n}\} 是公比为 q 的等比数 列，则

① 在等比数列中,若项数为 2n\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right. )，则(S_{mu})/(S_{mu)}{=}\underbrace{\phantom{-}}_{\qquad~.~}.

② 在等比数列中，若项数为 2n+1\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right) ，则 (S_{\scriptscriptstylesl{cent}}-a_{1})/(S_{\scriptscriptstylesl{cent)}}=q. \circled{3}S_{m},S_{2m}-S_{m},S_{3m}-S_{2m} .·成等比数列.

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的打\"x\")

(1)等比数列 \left\{a_{n}\right\} 共 2n 项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比 q=2 ，

(2)已知等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和 \boldsymbol{S}_{n}=\boldsymbol{a} · 3^{n-1}-1 ，则 \scriptstyle a=1 ： (

(3)若数列 \left\{a_{n}\right\} 为等比数列，则 a_{1}+a_{2},a_{3}+ a_{4},a_{5}+a_{6} 也成等比数列. ( >

(4)若 S_{n} 为等比数列的前 n 项和，则 S_{3},S_{6} ，S_{9} 成等比数列. ( ）

体验2.设 S_{n} 为等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和且 S_{n}{=}3^{n+1}{-}A ，则 A= ( ）

体验3.设等比数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ，已知 S_{3}{=}8,S_{6}{=}7 ，则 a_{7}+a_{8}+a_{9}= （ 0

\begin{array}{l}{A.~{(1{8}}~}}\\ {C.~{/{57{8}}~}}\end{array} {B}.-{/{1)/(8)} D.{(55)/(8)}

类型1 等比数列前 n 项和性质的

应用

【例1】（1)等比数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n},S_{2} =7,S_{6}=91 ，则 S_{4} 为 ( ）

A.28 B. 32 C.21 D.28或-21

(2)在等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中，公比 q=3,S_{80}=32 ，则 a_{2}+a_{4}+a_{6}+*s+a_{80}=

尝试与发现

1.\ S_{2}\ ,S_{4}-S_{2}\ ,S_{6}-S_{4} 有什么联系？2 a2+aa+as+…+aso 的值是什么？

尝试解答]

[母题探究]

1.(变条件)将例题(1)中的条件“ S_{2}=7,S_{6} =91 "改为“正项等比数列中 S_{n}=2,S_{3n}=\vdots 14"，求 S_{4n} 的值.

2.(变条件,变结论)将例题(1)中条件“ S_{2}=\sum_{i} 7,S_{6}=91 ”改为“公比 q=2,S_{99}=56^{,} ，求 a_{3}+a_{6}+a_{9}+*s+a_{99} 的值.

反思领悟1.在涉及奇数项和 S_{\ ?} 与偶数项和 S_{\sharp_{i}} 时，常考虑对其差或比进行简化运算.若项数为 2n ，则 (S_{\mathfrak{g}})/(S_{\sharp)}=q(S_{\sharp}\ne0) ;若项数为 2n+1 ，则 (S_{\oplus}-a_{1})/(S_{\tt S)}{=}q(S_{\oplus}{=}0)

2.等比数列前 n 项和为 S_{n} （且 style S_{n}\neq0 ），则S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n} 仍成等比数列，其公比为 q^{n}(q{\neq}-1)

3.等比数列 \{a_{n}\} 的公比为 q ，则 S_{n+m}=S_{n} +q^{n}S_{\l_{m}}

4.若 S_{n} 表示数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和，且 S_{n}= A q^{n}-A(A\ne0,q\ne0 且 q{\neq}1 )，则数列 \{a_{n}\} 成等比数列.

类型2分组求和法

【例2】【链接教材P163例3】

在各项均为正数的等比数列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知 a_{1} =2,8a_{2}+2a_{4}=a_{6}.

(1)求数列 \{a_{n}\} 的通项公式；
(2)设 b_{n}=a_{n}+2n ，求数列 \{b_{n}\} 的前 n 项和 {T_{n}} ：

[尝试解答]

反思领悟 分组转化求和法的应用条件和解题步骤

(1)应用条件
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成.

(2)解题步骤

[跟进训练]

1.求数列 2{(1)/(4)},4{(1)/(8)},6{(1)/(16)},*s,2n+{(1)/(2^{n+1)}} 2"+1，…·的前n 项和 S_{n} ：

1类型3等差数列与等比数列的综合

应用

【例3】已知 S_{n} 是等比数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和， S_{4} ，{\cal S}_{2},{\cal S}_{3} 成等差数列,且 a_{2}+a_{3}+a_{4}=-18.

(1)求数列 \{a_{n}\} 的通项公式；
(2)是否存在正整数 n ，使得 S_{n}{>=slant}2~025? 若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由.

尝试解答]

配苏教版数学选择性必修第一册

反思领悟与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：
(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.
(2)等差（比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.

[跟进训练]

2.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和为 S_{n} ，且 S_{n}+a_{n}= 5x3^{n}-3,b_{n}={(a_{n})/((4n^{2)-1)3^{n}}}.

(1)证明：数列 \{a_{n}-2x3^{n}\} 为常数列；

(2)求数列 \{b_{n}\} 的前 n 项和 T_{n}

1.已知等比数列 \{a_{n}\} 的各项均为正数，前 n 项和为 S_{n} ，若 a_{2}=2,S_{6}-S_{4}=6a_{4} ，则 a_{5}= ( ）

A. 4 B.10 C.16 D.32

2.设等比数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ,若 S_{10} ：S_{5}=1:2 ，则 S_{15}:S_{5}= ( ）

3.记 S_{n} 为数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和.若 S_{n}=2a_{n}+ 1,则 S_{6}=\_

4.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为

5.设等比数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ，已知 {\cal S}_{4}= 2 .S_{8}=6 ，求 a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20} 的值.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.等比数列前 n 项和的常用性质有哪些？2.若 c_{n}=a_{n}+b_{n} ,其中 \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} 分别是等差数列、等比数列，如何求数列 \left\{c_{n}\right\} 的前 n 项和？

4.4 数学归纳法

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.你认为第二个条件的作用是什么？

知识点 数学归纳法

(1)数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数 n 有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：
① 证明当 n{=}n_{0}\left(n_{0}\in\mathbf{N}^{*}\right) )时命题成立；
② 假设当 n{=}k(k{>=slant}n_{0},k{\in}\mathbf{N}^{*}) 时命题成立，证明当 时命题也成立.
根据 ①② 就可以断定命题对于从 n_{0} 开始的所有正整数 n 都成立，上述证明方法叫作数学归纳法.

(2)数学归纳法的框图表示思考数学归纳法的第一步 n_{0} 的初始值是否一定为1?

体验）1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打“ x\prime\prime 1

(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可.

(2)用数学归纳法证明 3^{n}>=slant n^{2}\left(n>=slant3,n\in \mathbf{N}^{*} )，第一步验证 n{=}3 . ( ）

(3)设 S_{k}={(1)/(k)}+{(1)/(k+1)}+{(1)/(k+2)}+*s+{(1)/(k+k)} 则\begin{array}{l}{{S_{k+1}~=~(1)/(k)~+~(1)/(k+1)~+~(1)/(k+2)~+~*s~+}}\\ {{{}}}\\ {{(1)/((k+1)+(k+1)).}}\end{array} 体验2.用数学归纳法证明 1+a+a^{2}+*s +a^{n+1}=(1-a^{n+2})/(1-a)(a\neq1,n\in\mathbf{N}^{*}) ，在验证 n= 1成立时，计算左边所得的项是 （ ）

A.1 B.1+a C.1+a+a^{2}\qquadD.1+a+a^{2}+a^{3} 体验3.用数学归纳法证明 1+2+3+*s +(2n+1)=(n+1)(2n+1) 时，从“ n{=}k ”到n{=}k{+}1{\stackrel{\rightharpoonup}{-}} ,左边需增添的代数式是（）

A. (2k+1)+(2k+2)
B. (2k-1)+(2k+1)
C. (2k+2)+(2k+3)
D. (2k+2)+(2k+4)

类型1用数学归纳法证明等式

【例1】【链接教材P171例3】

(1)用数学归纳法证明 (n+1)*(n+2)**s (n+n)=2^{n}x1x3x\bullet*s\bulletx(2n-1) （ \mathbf{\bar{\rho}}_{n\in\mathbf{N}}^{*} )，“从 k 到 k+1 ”左端增乘的代数式为

(2)用数学归纳法证明：
{(1^{2})/(1x3)}+{(2^{2})/(3x5)}+*s+{(n^{2})/((2n-1)(2n+1))}={(n(n+1))/(2(2n+1))}(n\in \mathbf{N}^{*} ).

[尝试解答]

反思领悟 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点

(1)弄清 n 取第一个值 {n}_{0} 时等式两端项的情况；
(2)弄清从 n{=}k 到 n=k+1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
(3)证明 \scriptstyle n=k+1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 n{=}k{+}1 证明目标的表达式变形.

[跟进训练]

1.用数学归纳法证明 (n+1)*(n+2) ···· (n+n)=2^{n}x1x3x*sx(2n-1)(n\in\mathbf{N}^{*})

类型2归纳—猜想—证明

【例2】【链接教材P173例4】已知数列 (1)/(1x4) (1)/(4x7) (1)/(7x10) ， ， ，(1)/((3n-2)(3n+1)) 的前 n 项和为 S_{n} ,计算 S_{1} ，S_{2},S_{3},S_{4} ,根据计算结果，猜想 S_{n} 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

[尝试解答]

反思领悟 1.“归纳一猜想一证明”的一般环节

2.“归纳一猜想一证明”的主要题型

(1)已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和.
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.
(3)给出一些简单的命题 (n=1,2,3,*s) ”猜想并证明对任意正整数 n 都成立的一般性命题.

跟进训练]

2.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和为 S_{n} ，且满足 a_{1}= 3,S_{n}=a_{n-1}+n^{2}+1(n>=slant2) 求 a_{2}\:,a_{3}\:,a_{4} 的值，猜想数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式并用数学归纳法证明.

类型3用数学归纳法证明不等式

【例3】 用数学归纳法证明 1+{(n)/(2)}{<=slant}1+{(1)/(2)}+{(1)/(3)} +*s+(1)/(2^{n)}{<=slant}(1)/(2)+n(n\in\mathbf{N}^{\ast}\ ).

[尝试解答]

配苏教版数学选择性必修第一册

反思领悟用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知 f(k)> g(k) ，求证 f(k{+}1){>}g(k{+}1) 时应注意灵活运用证明不等式的一般方法（比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点：

(1)先凑假设，再作等价变换；
(2)瞄准当 n{=}k{+}1 时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论.

[跟进训练]

用数学归纳法证明：不等式 1+{(1)/(√(2))}+{(1)/(√(3))}+*s +(1)/(√(n)){<}2√(n)(n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Lambda}).

类型4用数学归纳法解决平面几何问题

【例4】【链接教材P174例5】平面内有 n(n\in\mathbf{N}^{*}\ ,n{>=}2) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数为 f(n)=m(n-1)

[尝试解答]

反思领悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明.

跟进训练

4.平面内有 n(n\in\mathbf{N}^{*}\ ) )个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 f(n)=n^{2}-n +2 部分.

1.用数学归纳法证明 n^{3}>3n^{2}+3n+1 这一不等式时，应注意 n 必须为 ( ）

A. \boldsymbol{n}\in\mathbf{N}^{*} B.nEN\*,n≥2
C.n\in\mathbf{N}^{*}\ ,n{>=}3 D.nEN\*,n≥4

2.用数学归纳法证明 1+{(1)/(2^{2)}}+{(1)/(3^{2)}}+*s+ (1)/((2^{n)-1)^{2}}{<}2-(1)/(2^{n)-1}(n{>=slant}2,n{\in}\mathbf{N}^{*}) 时，第一步需要证明 Y

3.用数学归纳法证明 f(n)={(1)/(4)}+{(1)/(4^{2)}}+*s+{(1)/(4^{n)}} 的过程中， f(k+1)-f(k)=

4.用数学归纳法证明 (1)/(2^{2)}+(1)/(3^{2)}+*s+(1)/((n+1)^{2)}> (1)/(2){-}(1)/(n{+)2}. 假设 n{=}k 时,不等式成立,则当 n =k+1 时，应推证的目标不等式是

用数学归纳法证明：当 n>=slant2 \mathbf{\Omega}_{n}\in\mathbf{N}^{*} 时，\left(1{-}{(1)/(4)}\right)\left(1{-}{(1)/(9)}\right)\left(1{-}{(1)/(16)}\right)*s\bullet\left(1{-}{(1)/(n^{2)}}\right){=}{(n{+}1)/(2n)}.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：用数学归纳法证明数学命题的步骤是什么？

章末综合提升

巩固层·知识整合

）提升层·题型探究

类型1求数列的通项公式

数列通项公式的求法

(1)定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.
(2)已知 S_{n} 求 \boldsymbol{a}_{n} .若已知数列的前 n 项和 S_{n} 与 \boldsymbol{a}_{n} 的关系，求数列 \{a_{n}\} 的通项 style{a_{n}} 可用公a_{n}=\left\{{\begin{array}{l}{S_{1},n=1,}\\ {S_{n}-S_{n-1},n>=2}\end{array}}\right. 求解.

(3)累加或累乘法
形如 a_{n}-a_{n-1}=f(n)(n{>=slant}2) 的递推式，可用累加法求通项公式;形如 {(a_{n})/(a_{n-1)}}{=}f(n)(n{>=slant}2) 的递推式，可用累乘法求通项公式.(4)构造法
如 \boldsymbol{a}_{n+1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{a}_{n}+\boldsymbol{B} 可构造 \{a_{n}+n\} 为等比数列，再求解得通项公式.

【例1】（1)已知等比数列 \{a_{n}\} 为递增数列,且a_{5}^{2}=a_{10},2(a_{n}+a_{n+2})=5a_{n+1} ,则数列的通项公式 a_{n}= ( ）

A. 2^{n} B. 2"+1C.\left({(1)/(2)}\right)^{n} D.\left({(1)/(2)}\right)^{n+1} (2)已知在数列 \{a_{n}\} 中， a_{n+1}=3a_{n}+4 且 \left|a_{1}\right? =1 ,求通项公式.

[尝试解答］

类型2等差、等比数列的基本运算

在等差数列和等比数列的通项公式 style{a_{n}} 与前n 项和公式 S_{n} 中，共涉及五个量： a_{1},a_{n},n,d （或 (q),S_{n} ,其中 a_{1} 和 d （或 q )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于 a_{1},d (q),a_{n},S_{n},n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差（比）数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代人思想方法的运用.

【例2】 在等比数列 \{a_{n}\} 中，已知 a_{1}=2,a_{4} =16 ，

(1)求数列 \{a_{n}\} 的通项公式；
(2)若 a_{3}\:,a_{5} 分别为等差数列 \{b_{n}\} 的第3项和第5项，试求数列 \{b_{n}\} 的通项公式及前 n 项和 S_{n}

[尝试解答]

类型3等差、等比数列的判定

等差数列、等比数列的判断方法

(1)定义法： a_{n+1}-a_{n}=d （常数） \displaystyle\left.\bigcap{a_{n}}\right\} 是等差数列； ;l=q(q为常数,q≠0)={α}是等比数列.
(2)中项公式法： 2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}{\Longleftrightarrow}\{a_{n}\} 是等差数列； a_{n+1}^{2}=a_{n}\ \bullet\ a_{n+2}\left(\ a_{n}\neq0\right)\Leftrightarrow\{a_{n}\} 是等比数列.
(3)通项公式法： a_{n}=k n+b(k,b 是常数) \Leftrightarrow \{a_{n}\} 是等差数列; a_{n}=c{bf{*}}q^{n}(c,q 为非零常数） style\left.\bigcap\left\{a_{n}\right\}\right. 是等比数列.

(4)前 n 项和公式法： S_{n}=A n^{2}+B n(A,B 为常数， n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Gamma})\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 是等差数列; {\cal S}_{n}=A q^{n}- A(A,q 为常数，且 A{\ne}0,q{\ne}0,q{\ne}1,n{\in}\mathbf{N}^{*}) \displaystyle\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 是等比数列.

提醒： ① 前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定. ② 若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.

【例3】数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n},a_{1}=1 ，S_{n+1}{=}4a_{n}{+}2(n{\in}\mathbf{N}^{*}).

(1)设 b_{n}=a_{n+1}-2a_{n} ，求证： \{b_{n}\} 是等比数列；

(2设 c_{n}={(a_{n})/(2^{n-2)}} 求证： \left\{c_{n}\right\} 是等差数列。

[尝试解答]

类型4等差、等比数列的性质

解决等差、等比数列有关问题的几点注意

(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.

【例4】（1）（多选题）等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的公差为d ，前 n 项和为 S_{n} ，当首项 a_{1} 和 d 变化时， a_{3} +{a_{8}}+{a_{13}} 是一个定值,则下列各数也为定值的有 ）

A. a_{7} B. a_{8} C. S_{15} D. S_{16} (2)(多选题)设等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的公比为 \boldsymbol{q} ,其前 n 项和为 S_{n} ，前 n 项积为 {T_{n}} ，并满足条件a_{1}>1,a_{2023}a_{2024}>1,(a_{2023}-1)/(a_{2024)-1}<0 ,则下列结论正确的是 ( >

A. S_{2\ 023}{<}S_{2\ 024}
B. a_{2}\L_{023}a_{2}\L_{025}-1{<}0
C. T_{2024} 是数列 \left\{\begin{array}{l}{T_{n}\right\} 中的最大值D.数列 \left\{\begin{array}{l}{T_{n}\right\} 无最大值

(3)等比数列 \{a_{n}\} 的各项均为正数,且 a_{1}a_{5}= 4，则 \log_{2}a_{1}+\log_{2}a_{2}+\log_{2}a_{3}+\log_{2}a_{4}+ \log_{2}a_{5}=.

[尝试解答]

类型5 数列求和

数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前 n 项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解，一般常见的求和方法有：

(1)公式法：利用等差数列或等比数列前 n 项和公式.
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法：例如，等差数列前 n 项和公式的推导.

【例5】已知数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和 S_{n}=k c^{n}-k (其中 \mathbf{\Psi}_{c},k_{\mathbf{\Psi}} 为常数),且 a_{2}=4,a_{6}=8a_{3} ：(1)求a;(2)求数列 \{n a_{n}\} 的前 n 项和.

[尝试解答]

第5章

导数及其应用

5.1 导数的概念

5.1.1 平均变化率

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h(m) 与起跳后的时间t(s)存在函数关系 h(t)=-4.9t^{2}+6.5t+1 10.那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？

知识点 平均变化率

(1)平均变化率的定义：函数 f(x) 在区间[x_{1},x_{2}] 上的平均变化率为
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ 》或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的 打“ x^{\prime\prime})

(1)对于函数 y=f(x) ，当 x 从 x_{1} 变为 x_{2} 时， x_{2}-x_{1} 一定大于0. （ )

(2)对于函数 \scriptstyle y=f(x) ，当 x 从 x_{1} 变为 x_{2} 时，函数值的变化量 f(x_{2})-f(x_{1}) 可以是正数，也可以是负数或零. C 冏）

体验2.若一质点按规律 \Deltas=8+t^{2} 运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是（）

A. 4 B. 4.1
C.0.41 D.-1.1