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类型1求平均变化率
【例1】（1)求函数 f(x)=3x^{2}+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率；(2)求函数 g(x)=3x-2 在区间[－2，—1]上的平均变化率.
[尝试解答]
发现规律求函数平均变化率的步骤是什么？
跟进训练_
1.如图,函数 y=f(x) 在[1,5]上的平均变化率为 ( ）
A.1 (1)/(2) B.- 1
2
C.2 D.-2
2.已知函数 f(x)=x^{2}+2x-5 ，则 f(x) 在区间[-1,0] 上的平均变化率为
类型2实际问题中的平均变化率
【例2】【链接教材P188例1、例2】
(1)圆的半径 \boldsymbol{r} 从0.1变化到0.3时，圆的面积 s 的平均变化率为
(2)在F1赛车中,赛车位移 s （单位： m\Omega 与比赛时间 t (单位:s)存在函数关系 s=10t+5t^{2} ,则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？
[尝试解答]
反思领悟平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.
[跟进训练]
3.某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率.
尝试与发现
如何确定 \overline{{v}}_{1},\overline{{v}}_{2},\overline{{v}}_{3} 的大小关系？
[尝试解答]
母题探究
在本例中，汽车行驶的路程 s 和时间t之间的函数图象换为如图所示，则在下列区间上平均速度最大的是
A. [0,1] B. [1,2]C. [2,3] D. [3,4]反思领悟平均变化率的绝对值的大小反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢.
跟进训练
类型3 函数平均变化率的应用
【例3】汽车行驶的路程 s 和时间 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 之间的函数图象如图所示.在时间段 [t_{0},t_{1}],[t_{1},t_{2}] ，[t_{2},t_{3}]. 上的平均速度分别为 \overline{{v}}_{1} ，\mathbf{\bar{\Phi}}_{v_{2}}^{-},\mathbf{\bar{\Phi}}_{v_{3}}^{-} ,则三者的大小关系是
4.甲、乙两人走过的路程 s_{1}(t) ，s_{2}\left(t\right) 与时间 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的关系如图所示，则在 [0,t_{0}] 这个时间段内，甲、乙两人的平均速度，z的关系是 .(填序号)
①v_{{ff}}>v_{Z} ； ②v_{{ff}}<v_{Z} ； ③v_{\scriptsize{F}}=v_{\scriptsize{Z}} ； ④ 大小关系不确定.
1.函数 f(x)=x^{2}+c(c\in\mathbf{R}) 在区间[1,3]上的平均变化率为 ( ）
A.2 B. 4 C.c D. 2c
2.一物体的运动方程是 s{=}3{+}2t ,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 ( ）
A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2
3.若函数 f(x)=x^{2}-c 在区间 [1,m] 上的平均变化率为4,则 \mathbf{\Psi}_{m} 等于 ( ）
A. √(5) B.3 C.5 D.16
4.函数 f(x)=2x+4 在区间 [a,b] 上的平均变化率为
5.（教材P190练习T3改编）已知函数 f(x)= 3x^{2}+5 ：
求：（1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间 [x_{0},x_{0}+\Delta x] 上的平均变化率.
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.函数 f(x) 在区间 [x_{1},x_{2}] 上的平均变化率是什么？
2.平均变化率的几何意义是什么？
提示请完成《课时分层作业（三十一）》见第244页
5.1.2 瞬时变化率—导数
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.了解切线的含义.（重点） | 1.通过对瞬时变化率、导数概念和导数几何意义 |
| 2.理解瞬时速度与瞬时加速度.(重点） | 的学习，培养数学抽象及直观想象的核心素养. |
| 3.掌握瞬时变化率一—导数的概念，会根据定2.借助对切线方程的求解，提升数学运算核心 | |
| 义求一些简单函数在某点处的导数.(难点) | 素养。 |
[必备知识·情境导学探新知]
情境趣味导学·预习素养感知
情境与问题
巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？
思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？
知识点1 曲线上一点处的切线
(1)设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时，直线 P Q 称为曲线的割线.随着点 Q 沿曲线C 向点 P 运动，割线 P Q 在点 P 附近越来越逼近曲线 C .当点 Q 无限逼近点 P 时，直线P Q 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线\mathbf{\xi}_{l} ，这条直线 \mathbf{\xi}_{l} 称为曲线在点 P 处的(2)若曲线 C 上一点 P(x,f(x)) ，过点 P 的一条割线交曲线 C 于另一点 Q(x+\Delta x,f(x +\ \Delta x)? ，则割线 P Q 的斜率为 k_{P Q}= f(x+△x)-f(x),当△x无限趋近于0时，(f(x+\Delta x)-f(x))/(\Delta x) 无限趋近于点 P(x,f(x)) 处的切线的斜率.
知识点2瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度：在物理学中，运动物体的位移与 的比称为平均速度.
(2)瞬时速度：一般地，如果当 \Delta t 无限趋近于0时，运动物体位移 S\left(t\right) 的平均变化率(S(t_{0}+\Delta t)-S(t_{0}))/(\Delta t)
无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的(3)瞬时加速度：一般地，如果当 \Delta t 无限趋近于0时，运动物体速度 \boldsymbol{v}(t) 的平均变化率(v(t_{0}+\Delta t)-v(t_{0}))/(\Delta t)
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 {\boldsymbol{t}}={\boldsymbol{t}}_{0} 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的
体验1.一辆汽车运动的速度为 v(t)=t^{2}- 2,则该汽车在 \scriptstyle t=3 时的加速度为
体验2.火箭发射 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} s后，其高度（单位：km, 为 h(t)=0,9t^{2} .那么 t= s时火箭的瞬时速度为 3.6~km/s
知识点3 导数
(1)导数：设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 上有定义， x_{0}\in(a,b) ，若 \Delta x
时,比值=f(x+△x)-f(x) 无限趋近于一个常数 A ,则称 f(x) 在 \scriptstyle x=x_{0} 处
并称该常数 A 为函数 f(x) 在 \scriptstyle x=x_{0} 处的导数，记作
(2)导数的几何意义：导数 f^{\prime}\left(\boldsymbol{\mathscr{x}}_{0}\right) 的几何意义就是曲线 y=f(x) 在点 处的切线的
(3)导函数： ① 若 f(x) 对于区间 (a,b) 内都可导，则 f(x) 在各点处的导数也随着
自变量 x 的变化而变化,因而也是
的函数，该函数称为 f(x) 的导函数，记作.在不引起混淆时，导函数 f^{\prime}(x) 也
简称为 f(x) 的
②f(x) 在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 处的导数 f^{'}(x_{0}) 就是导函数 f^{'}(x) 在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 处的
思考1. f^{\prime}(x_{0}){>}0 和 f^{\prime}(x_{0}){<}0 反映了怎样的意义？
思考2. f^{'}(x_{0}) 与 f^{\prime}(x) 有什么区别？
体验3.若曲线 y=f(x) 在点 (x_{0},f(x_{0})) 处的切线方程为 2x+y+1=0 ，则 ( ）
A. f^{\prime}(x_{0})>0 B.~f^{\prime}(x_{0})=0 C. f^{'}(x_{0}){<}0 D. f^{'}(x_{0}) 不存在
类型1求曲线上某一点处的切线
【例1】【链接教材P192例5】
已知曲线 y=f\left(x\right)=x+(1)/(x) 上的一点A\left(2,{(5)/(2)}\right) ,用切线斜率定义求：
(1)点 A 处的切线的斜率；
(2)点 A 处的切线方程.
[尝试解答]
反思领悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处， \Delta x 无限趋近于0时， ,无限趋近的常数，
[跟进训练]
1.(1)已知曲线 y=f(x)=2x^{2}+4x 在点 P 处的切线的斜率为16,则点 P 的坐标为
(2)已知曲线 y=3x^{2}-x ,求曲线上一点 A(1,2) 处的切线的斜率及切线方程.
类型2求瞬时速度
【例2】某物体的运动路程 \mathbf{\sigma}_{s} （单位： ~m~ )与时间t(单位:s)的关系可用函数 s(t)=t^{2}+t+1 表示，求物体在 t=1 s时的瞬时速度.
尝试解答］
母题探究]
1.（变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度.
2.(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9~m/s?
反思领悟求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 \mathbf{\boldsymbol{s}}=\mathbf{\boldsymbol{s}}(t) ，则求物体在 {t}={t}_{0} 时刻的瞬时速度的步骤如下：
(1)写出时间改变量 \Delta t ，位移改变量 \Delta s(\Delta s^{\th} =s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})) ：
(2)求平均速度：=(3)求瞬时速度v:当△t→0 时， (\Delta s)/(\Delta t)\substack{\rightarrow v} （常数).
类型3求函数在某点处的导数
【例3】【链接教材P196例7】已知 f(x)=x^{2}-3 ：
(1)求 f(x) 在 \scriptstyle x=2 处的导数；
(2)求 f(x) 在 \scriptstyle x=a 处的导数.
[尝试解答]
反思领悟 求一个函数 y=f(x) 在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量 \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)- f(x_{0}) ：
(2)求平均变化率y=f(x+△x)-f(xo)(3)令 \Delta x 无限趋近于0,求得导数.
[跟进训练]
2.设 f(x)=a x+4 ，若 f^{\prime}(1)=2 ，则 a=
3.建造一栋面积为 x~m~^{2} 的房屋需要成本 y 万 元， y 是 x 的函数， y=f(x)=(x)/(10)+(√(x))/(10)+ 0.3，求 f^{\prime}(100) ,并解释它的实际意义.
类型4导数几何意义的应用
【例4】（1)已知函数 \scriptstyle y=f(x) 的图象如图所示，则其导函数 \scriptstyle y=f^{\prime}(x) 的图象可能是 ( 1(2)某司机看见前方 50~m~ 处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度 \boldsymbol{v} 是关于刹车时间 \mathbf{\Psi}_{t} 的函数，其图象可能是 （）
尝试解答］
反思领悟 导数几何意义理解中的两个关键点
关键点一： y=f(x) 在点 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 处的切线斜率为 k ，则 k>0\Longleftrightarrow f^{\prime}(x_{0})>0;k<0\Longleftrightarrow f^{\prime}(x_{0}) <0;k=0{\Longleftrightarrow}f^{\prime}(x_{0})=0. 关键点二： \left|f^{\prime}(x_{0})\right| 越大 \Leftrightarrow 在 x_{0} 处瞬时变化越快； \mid f^{'}(x_{0}) 越小 \circleddash 在 x_{0} 处瞬时变化越慢.
[跟进训练]
4.（1）已知 y=f\left(x\right) 的图象如图所示，则f^{\prime}(x_{A}) 与 f^{\prime}(x_{B}) 的大小关系是 ( ）
[学习效果·课堂评估夯基础]
1.下面说法正确的是
A.若 f^{\prime}(x_{0}) 不存在,则曲线 y=f(x) 在点(x_{0},f(x_{0}))~ 处没有切线
B.若曲线 y=f(x) 在点 (x_{0},f(x_{0})) 处有切线，则 f^{'}(x_{0}) 必存在
C.若 f^{'}(x_{0}) 不存在,则曲线 y=f(x) 在点(x_{0},f(x_{0})) 处切线的斜率不存在
D.若曲线 y=f(x) 在点 (x_{0},f(x_{0})) 处没有切线，则 f^{'}(x_{0}) 有可能存在
2.已知函数 y=f(x) 是可导函数,且 f^{\prime}(1)= 2,则lim \operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(f(1+\Delta x)-f(1))/(2\Delta x)}= ( ）
3.设曲线 f(x)=a x^{2} 在点 (1,a) 处的切线与直线 2x-y-6=0 平行，则 \mathbf{\Delta}_{a} 等于 ( ）
4.曲线 f(x)={(2)/(x)} 在点 (-2,-1) 处的切线方程为
A. f^{\prime}(x_{A}){>}f^{\prime}(x_{B}) B. f^{\prime}(x_{A}){<}f^{\prime}(x_{B}) C. f^{\prime}(x_{A})=f^{\prime}(x_{B}) D.不能确定
(2)若曲线 y=x^{2}+a x+b 在点 (0,b) 处的切线方程是 x-y+1=0 ，则 ( ）
A. a=1,b=1 B_{*}a=-1,b=1 C.a=1,b=-1\qquadD.a=-1,b=-1
.已知曲线 f(x)=2x^{2}-7 在点 P 处的切线方 程为 8x-y-15=0 ,求切点 P 的坐标.
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.导数的概念与几何意义分别是什么？2.求曲线的切线时，“在某点处的切线”与“过某点的切线”有什么不同？
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.能根据定义求函数 y=C(C 为常数）,y=x,y=αx²,y 1 2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应 用.（重点、易混点） ,y=√x的导数.(难点) | 1.通过对基本初等函数的导数公式、导 数运算法则的学习，培养数学运算的 核心素养. 2.借助对导数运算法则的应用，提升逻 辑推理的核心素养. |
[必备知识·情境导学探新知]
情境与问题
回顾1.求函数在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 处的导数的方法，
(1)求 \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})
(2)求变化率 (\Delta y)/(\Delta x){=}(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}))/(\Delta x).
(3)求极限 f^{\prime}(x_{0})=\operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(\Delta y)/(\Delta x)} 回顾2.怎样求导函数？
(1)求改变量 \Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x),
(2)求比值 {(\Delta y)/(\Delta x)}={(f(x+\Delta x)-f(x))/(\Delta x)}
| 原函数 | 导函数 |
| f(x)=x | f'(x)= |
| f(x)=x² | f(x)= |
| f(x)=x² | f(x)= |
| x f(x)=1 | f(x)=- 1 |
| f(x)=√x | 1 f(x)=2 |
(3)求极限 f^{\prime}(x)=\operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(\Delta y)/(\Delta x)}
那么导数与导函数有什么区别和联系？如何求常见函数的导数？
知识点1基本初等函数的导数
(1)常用函数的导数公式
| 原函数 | 导函数 |
| f(x)=C | f′(x)=0 |
| f(x)=kx+b(k,b为常数) | f′(x)= |
(2)基本初等函数的导数公式
| 原函数 | 导函数 |
| f(x)=xa（α为常数) | f(x)= |
| f(x)=sin x | f(x)= |
| f(x)=cosx | f(x)= |
| f(x)=a* | f(x)= (a>0且a≠1) |
| f(x)=er | f'(x)= |
| f(x)=logax | f'(x) 1 (a>0且a≠1) xln a |
| f(x)=lnx | f'(x)= 1 |
知识点2导数的运算法则
设两个函数 f(x),g(x) 可导，则
| 和的导数 | (f(x)+g(x))'= |
| 差的导数 | (f(x)-g(x))'= |
| 商的导数 | (f(x）） f'(x)g(x)-f(x)g'(x) (g(x) g²(x) (g(x)≠0) |
体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的打（ *_{x}\mathfrak{v}_{)}
(1)若 f(x)=0 ，则 f^{\prime}(x)=0 (
■类型1利用导数公式求函数的导数
【例1】求下列函数的导数.
\scriptstyle(1)y=\cos{(π)/(6)};\left(2\right)y={(1)/(x^{5)}};\left(3\right)y={(x^{2})/(√(x))}, \left(4\right)y{=}{\log{x}};\left(5\right)y{=}5^{x};\left(6\right)y{=}\cos\Bigl((π)/(2){-}x\Bigr).
[尝试解答]
(2)若 F(x)=f(x)g(x) ，则 F^{'}(x)=f^{'}(x) ·g^{\prime}(x) ： （ ）
(3)若 f(x)=\ln x ，则 f^{'}(e){=}1 C
(4)若 f(x)=x^{3}+2x ，那么 f(x) 的图象在 x {\bf\Psi}=\boldsymbol{x}_{0} 处的切线斜率最小时 {\boldsymbol x}_{0}=0 .()
体验 2.\ (1)\left({(x)/(2^{x)}}\right)^{\prime}= C 2)\left(x\mathbf{e}^{x}\right)^{\prime}=\qquad.
体验3.设函数 f(x) 在 (0,+∞) 内可导，且 f(e^{x})=x+e^{x} ，则 f^{\prime}(1)=\quad.
反思领悟1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.
2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.
3.要特别注意“ (1)/(x) 雞与雞 \ln x^{\prime\prime\prime}a^{x} 与 \log_{a}x " sin.与cos x ”的导数区别.
[跟进训练]
1.求下列函数的导数：
(1)y=xsqrt[3]{x},(2)y=(x)/(√(x))(x{>}0); (3)_{{\cal{y}}}=\sin(π-x).
类型2利用导数的运算法则求导数
【例2】【链接教材P205例2、例3】
求下列函数的导数：
\left(1\right){{y}}={{x}^{3}}+\sin~{{x}};\left(2\right){y}=3{{x}^{2}}+x{{\cos~}x};
(3)_{3}={(x+1)/(x-1)}.
[尝试解答]
反思领悟 利用导数运算法则求函数的导数的两个策略
(1)解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则.(2)对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错，故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式.
[跟进训练]
2.求下列函数的导数：
(1)y=x^{2}-\sin(x)/(2)cos\ (x)/(2);(2)y=xtan\ x.
类型3导数计算的综合应用
【例3】（1)已知函数 f(x)=(x^{2})/(a)-1(a>=0) 的图象在 _{x=1} 处的切线为L,则直线 \mathbf{\xi}_{l} 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为
(2)已知函数 f(x)=a x^{3}+ b x^{2}+c x 的图象过点（1,5），其导函数 y=f^{\prime}(x) 的图象如图所示，则函数 f(x) 的解析式为
[尝试解答］
反思领悟 三次函数求导问题
由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.这类题目比较受青睐，解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等.
[跟进训练]
3.如图有一个是函数 f(x)={(1)/(3)}x^{3}+a x^{2}+ (a^{2}-1){x}+1(a\in\mathbf{R} ，且 a\neq0 )的导函数的图象，则 f(-1)= ( ）
[学习效果·课堂评估夯基础]
1.给出下列命题：
①y=\ln2 ，则 y^{\prime}{=}(1)/(2) ②y=f(x)=(1)/(x^{2)} ，则 f^{\prime}(3)=-(2)/(27) {③}y{=}2^{x} ，则 y^{\prime}{=}2^{x}\ln{2} ； ④y=\log_{2}x ，则 y^{\prime}{=}(1)/(x\ln{2)}
其中正确命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D. 4
2.下列函数满足 f^{\prime}(x)=f(x) 的是 (
A. f(x)=e^{x} E \therefore f(x)=\cos\ x C. f(x)=\sin{x} D \:.\:f(x)=\ln\:x\:
3.已知 f(x)=x^{α}\left(α{\in}\mathbf{Q}\right. 且 α\neq0 )，若 f^{\prime}(1)= (1)/(4) 则 α 等于 ( ）
4.函数 y=\sin\ x+e^{x} 在点(0,1)处的切线方程 为
5.求下列函数的导数：
(1)y=sqrt[5]{x^{3}},(2)y=\log_{2}x^{2}-\log_{2}x.
A. 1 7 -{(1)/(3)} 或 3 B. 3 3 D.
(4)y=-2\sin{(x)/(2)}\Big(1-2\cos^{2}{(x)/(4)}\Big).
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.你能写出本节所学习的七个基本初等函数的求导公式吗？
2.对于形如 y=1-2sin2 的函数，如何求导数？
提示请完成《课时分层作业（三十三）》见第249页
5.2.3 简单复合函数的导数
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.了解复合函数的概念.（易混点） 2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合 函数的导数.（重点、易错点） | 1.通过对复合函数求导公式的学习，培养数 学抽象、逻辑推理的核心素养， 2.借助对复合函数求导及导数运算法则的综 合应用，提升数学运算的核心素养. |
[必备知识·情境导学探新知]
情境与问题
海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S（单位： m^{2} )是油膜半径 \boldsymbol{r} （单位： \mathbf{m}. 的函数： S= \vdots f(r)=π r^{2}.
油膜的半径 \boldsymbol{r} 随着时间 \mathbf{\Psi}_{t} （单位：S)的增加而扩大，假设 \boldsymbol{r} 关于 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的函数为 r=\varphi(t)=2t +1 ：
思考：油膜的面积 s 关于时间 \mathbf{\Psi}_{t} 的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？
知识点1复合函数的概念
一般地，对于两个函数 \scriptstyle y=f(u) 和 \scriptstyle u=g(x) ，如果通过中间变量 u,y 可以表示成关于 x 的函数,那么称这个函数为函数 \operatorname{\boldsymbol{y}}=\operatorname{\boldsymbol{f}}(\operatorname{\boldsymbol{u}}) 和\scriptstyle u=g({\boldsymbol{x}}) 的复合函数，记作
思考函数 y=\log_{2}(x+1) 是由哪些函数复合而成的？
知识点2复合函数的求导法则
对于由函数 \scriptstyle y=f(u) 和 \scriptstyle u=g(x) 复合而成的函数 \scriptstyle y=f(g(x)) ，它的导数与函数 \scriptstyle y=f(u),u=
g(\boldsymbol{x}) 的导数间的关系为 y_{~x}^{\prime}=\underbrace{\phantom{\left(iαU-R e^{-1}D^{2}\right)}}_{\qquad} 特别地,若 y=f(u),u=a x+b, 则 y_{it{x}}^{\prime}{=}y_{it{u}}^{\prime} ：u_{~_{x}}^{'} ,即 y_{it{x}}^{\prime}=\_
体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”,错误的打*_{\bigtriangledown}*_{\bigtriangledown}\mathfrak{v}_{\bigstar}
(1)函数 y=\sin(π x) 的复合过程是 _{y=\sin{\ u}} ，u{=}{π}x. C ）
\left(2\right)f(x)=\ln(3x-1) ，则 f^{'}(x)={(1)/(3x^{-1)}}. (
(3)f(x)=x^{2}\cos2x ，则 f^{\prime}\left(x\right)=2x{\cos\ 2x}+ 2x^{2}\sin2x. ( ）
体验2.函数 \scriptstyle y={(1)/((3x-1)^{2)}} 的导数是（ ）
体验）3.下列对函数的求导正确的是（
A. y=(1-2x)^{3} ，则 y^{\prime}{=}3(1{-}2x)^{2} B. y=\log_{2}(2x+1) ，则 y^{\prime}{=}(1)/((2x{+)1)\ln2} C * y=\cos{(x)/(3)} ,则y y^{\prime}{=}(1)/(3)sin\ (x)/(3) D. y=2^{2x-1} ，则 y^{\prime}{=}2^{2x}\ln{2}
类型1 复合函数的导数
【例1】【链接教材P207例4】
求下列函数的导数：
(1)y=e^{2x+1};(2)y={(1)/((2x-1)^{3)}}; (3)_{style y=5\log_{2}(1-x),(4)\displaystyle y=(\ln3x)/(e^{x)}.}
[尝试解答]
反思领悟1.解答此类问题常犯的两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
[跟进训练]
1.求下列函数的导数：
(3)_{style y=x}√(1+{x^{2)}}.
1类型2三角函数型函数的导数
【例2】求下列函数的导数：(1)y=\cos(x)/(2)\Big(\sin(x)/(2)-\cos(x)/(2)\Big); (2){y}={x}^{2}+\tan{x}.
【尝试解答]
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反思领悟 三角函数型函数的求导要求
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.
[跟进训练]
2.求下列函数的导数：
(1)y=\sin^{2}(x)/(3);(2)y=\sin^{3}x+\sin x^{3}; (3){y}=\cos^{4}{x}-\sin^{4}{x}.
类型3导数运算法则的综合应用
【例3】（1)曲线 y=f(x)=\ln(2x-1) 上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是（ J
(2)设曲线 y=f(x)=e^{a x} 在点(0,1)处的切线与 直线 x+2y+1=0 垂直，则 a=
[尝试解答]
【母题探究]
1.(变条件)本例(1)的条件变为“曲线 y=\ddag f(x)=\ln(2x-1) 上的点到直线 2x-y+ m=0 的最小距离为 2{√(5)} ”，求 \mathbf{\Psi}_{m} 的值.
2.(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线 \scriptstyle y=k x+b 是 y=\ln x+2 的切线，也是 y=\ln(x+1) 的切线”，求 b 的值.
反思领悟 利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
1.函数 y=(2~024-8x)^{3} 的导数 y^{\prime}= （
A. 3(2\ 024-8x)^{2} B. -24x C.-24(2\ 024-8x)^{2} ~D.24(2\ 024-8x)^{2}
2.函数 y=x^{2}\cos2x 的导数为
A. y^{\prime}{=}2xcos~2x{-}x^{2}\sin~2x
B. y^{\prime}{=}2xcos~2x{-}2x^{2}\sin~2x
C. y^{\prime}{=}x^{2}\cos2x{-}2x\sin2x
D. y^{\prime}{=}2xcos~2x{+}2x^{2}\sin~2x
3.已知 f(x)=\ln{(3x-1)} ，则 f^{\prime}\left(1\right)=
4.已知 f(x)=xe^{-x} ，则 f(x) 在 \scriptstyle x=2 处的切线 斜率是
5.求下列函数的导数：
(1)y{=}e^{2x};(2)y{=}(1{-}3x)^{3}.
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.复合函数的求导法则是什么？
2.求复合函数的导数需要注意什么？
提示请完成《课时分层作业（三十四）》见第251页
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.理解导数与函数的单调性的关系.会用导数求 函数的单调区间.（易混点） 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.（重点） | 1.通过对函数的单调性与其导数正负关系的学 习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养. 2.借助利用导数研究函数的单调性问题，提 |
[必备知识·情境导学探新知]
情境与问题
观察 y=\_x-1,y=\quad{}_{y=-3x+1} 2x+1 ， y=-3x+1 的图象并回答以下问题：
① 这3个函数图象都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？
② 分别求出这3个函数的导数，并观察其导数值有何特点.
知识点 函数 f(x) 的单调性与导函数 f^{'}(x) 正负的关系
对于函数 y=f(x) ,如果在某区间上 f^{'}(x) {>}0 ，那么 f(x) 在该区间上单调递增，即f(x) 为该区间上的 函数；
如果在某区间上 f^{'}(x) 0,那么 f(x) 在该区间上单调递减，即 f(x) 为该区间上的减函数.
上述结论可以用下图来直观理解.
思考如果在某个区间内恒有 \boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})=0 ，那么函数 f(x) 有什么特性？
体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”,错误的打*_{\bigtriangledown}*\boldsymbol{\mathsf{V}}_{\bigstar}^{\flat})
(1)函数 f(x) 在区间 (a,b) 上都有 f^{\prime}(x){<}0 ，则函数 f(x) 在这个区间上单调递减．（）
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”. ）
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大. （）
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点 f^{'}(x) \scriptstyle=0 ,不影响函数在此区间的单调性. （）
体验2.函数 f(x){=}2x{-}\sin x 在 (-∞,+∞) 上 ( ）
A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.不确定体验3.导函数 y=f^{\prime}(x) 的图象如图所示，则函数 y \b=f(\b{x}) 的图象可能是（ ）
体验4.已知函
数 f(x) 的导函数 301
y=f^{\prime}\left({\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}}}\right) 的图象
如图所示，则函数 f(x) 的单调递增区间是
(2）已知函数 \scriptstyle y=f(x) 的图象是下列四个图象之一,且其导函数 \scriptstyle{y=f^{\prime}(x)} 的图象如图所示,则该函数的图象是 ( ）
[尝试解答]
反思领悟1.研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
2.通过图象研究函数单调性的方法
（1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与 x 轴的交点，分析导数的正负.
[跟进训练]
1.已知 y=x f^{\prime}\left(\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}}\right) 的图象如图所示(其中 f^{'}(x) 是函数 f(x) 的导函数)，下面四个图象中， y=f(x) 的图象大致是 ( ）
类型2利用导数求函数的单调区间
【例2】【链接教材P213例2】
求下列函数的单调区间：\left(1\right)f(x)=3x^{2}-2lnx;\left(2\right)f(x)=x^{2}e^{-x}.
尝试解答］
反思领悟 用解不等式法求单调区间的步骤
(1)确定函数 f(x) 的定义域；
(2)求导函数 f^{\prime}(x) ；
(3)解不等式 f^{\prime}(x)>0 （或 f^{\prime}\left(x\right)<0) ，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数 f(x) 的单调区间.
配苏教版数学选择性必修第一册
[跟进训练]
2.求函数 f(x)=x^{2}-\ln\ x 的单调区间.
跟进训练]
3.试求函数 f(x)=k x-\ln x 的单调区间.
类型3含有参数的函数单调性的讨论
【例3】设 g(x)=\ln x-a x^{2}+(a-2)x,a<0, 试讨论函数 g(x) 的单调性.
[尝试解答]
类型4已知函数的单调性求参数
的范围
【例4】已知函数 f(x)=x^{3}-a x-1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围.
尝试解答］
反思领悟 利用导数研究含参函数 f(x) 的单调区间的一般步骤
(1)确定函数 f(x) 的定义域；
(2)求导数 f^{\prime}(x) ；
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4)在不同的参数范围内，解不等式 f^{\prime}(x)> 0和 f^{\prime}(x){<}0 ,确定函数 f(x) 的单调区间.
【母题探究]
1.(变条件)若函数 f(x)=x^{3}-a x-1 的单 调递减区间为 (-1,1) ，求 a 的取值范围.
2.(变条件)若函数 f(x)=x^{3}-a x-1 在 （一1,1)上单调递减，求 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围.
3．（变条件)若函数 f(x)=x^{3}-a x-1 在 （一1,1)上不单调，求 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围.
反思领悟1．已知 f(x) 在区间 (a,b) 上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理 f(x) 在 (a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间 (a,b) 是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理 f(x) 在 (a ，b )上单调递增（减）的问题，则 f^{\prime}\left(x\right)>=slant0 (f^{\prime}(x)<=slant0) 在 (a,b) 内恒成立，注意验证等号是否成立.
2.解答本题注意：可导函数 f(x) 在 (a,b) 上单调递增（或单调递减）的充要条件是f^{\prime}(x)>=slant0 （或 f^{\prime}(x)<=slant0) 在 (a,b) 上恒成立，且 f^{\prime}(x) 在 (a,b) 的任何子区间内都不恒等于0.
1.设函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f^{'}(x) 的图象可能为( ）
A.e2 B. e C.e-1 D.e-2
2.函数 f(x)=(x{-}3)e^{x} 的单调递增区间是( >
A. (-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
3.已知函数 f(x)=ae^{x}-\ln\ x 在区间(1,2)单调递增，则 a 的最小值为 ( ）
4.函数 f(x)={(1)/(2)}x^{2}-\ln\ x x2-ln x 的单调递减区间为
5.已知函数 f(x)=ae^{2x}+\left(a-2\right)e^{x}-x ,讨论f(x) 的单调性.
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.函数 f(x) 在区间 (a,b) 上的单调性与f^{\prime}(x) 的符号有什么关系？
2.如何判断或证明函数的单调性？
5.3.2 极大值与极小值
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.了解极大值、极小值的概念.了解函数在某点 取得极值的必要条件和充分条件.（难点) 2.会用导数求函数的极大值、极小值.（重点） | 1.通过对极值点与极值概念的学习，体现了数 学抽象的核心素养. 2.借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运 算的核心素养. |
[必备知识·情境导学探新知]
情境与问题
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”.这就是我们这节课研究的函数的极值.
知识点1极大值与极小值
(1)极大值：一般地,若存在 δ>0 ，当 x\in(x_{1} -δ,x_{1}+δ) 时，都有 f(x) f(x_{1}) ，则称 f(x_{1}) 为函数 f(x) 的一个极大值.
(2)极小值：一般地,若存在 δ>0 ，当 x\in(x_{1} -δ,x_{1}+δ) 时,都有 f(x) f(x_{1}) ，则称 f(x_{1}) 为函数 f(x) 的一个极小值.
体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”,错误的打*_{x}\mathfrak{v}_{)}
(1)极大值一定比极小值大.
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值.Y
(3)单调函数不存在极值.
知识点2 函数极大值、极小值与函数的导数的关系
(1)极大值与导数的关系
| 左侧 | x | 右侧 | |
| f(x)f'(x)>0 | f(x)=0 | f(x) | |
| f(x) | 极大值f(x) |
(2)极小值与导数的关系
| 2左侧 | X2 | 2右侧 | |
| f(x)f(x) | f'(x)=0 | f'(x)>0 | |
| f(x) | 极小值f(c2） | 1 |
体验）2.（多选题）下列四个函数中，在 x= 0处取得极值的是
A. \scriptstyle y=x^{3} \scriptstyle\therefore y=x^{2}+1 C \therefore y=\left|{x}\right| D.\it{y}{=}2^{x}
体验 3.函数 f\left(x\right)=x+2\cos x 在\left[0,{(π)/(2)}\right] 上的极大值为 ( >
A. f(0) \begin{array}{l}{{B.~f\big((π)/(6)\big)}}\\ {{~}}\\ {{~D.~f\big((π)/(2)\big)}}\end{array} C f{\Big(}{(π)/(3)}{\Big)}
类型1不含参数的函数求极值
【例1】【链接教材P215例4】求下列函数的极值：(1){{y}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+5{{;}} (2){y}{=}{x}^{3}({x}{-}5)^{2}.
[尝试解答]
反思领悟求函数 y{=}f(x) 的极值的步骤(1)求出函数的定义域及导数 f^{'}(x) ；
(2)解方程 f^{'}(x)=0 ,得方程的根 x_{0} （可能不止一个)；
(3)用方程 f^{\prime}(x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将 x,f^{\prime}\left(x\right) ，f(x) 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由 f^{'}\left(x\right) 在各个开区间内的符号，判断f(x) 在 f^{'}(x)=0 的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数 f(x) 在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数 f(x) 在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么函数在这个根处不能取得极值.
[跟进训练]
1.求函数 f(x)=3x^{3}-3x+1 的极值.
类型2含参数的函数求极值
【例2】已知函数 f(x)=16x^{3}-20a x^{2}+8a^{2}x -\boldsymbol{a}^{3} ,其中 a\ne0 ，求 f(x) 的极值.
尝试解答］
配苏教版数学选择性必修第一册
反思领悟求含参数的函数极值的注意点 反思领悟 已知函数极值求参数的方法
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对 f^{'}(x) 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看 f^{\prime}(x) 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
[跟进训练]
2.若函数 f(x)=x-aln\ x\left(a\in\mathbf{R}\right) ，求函数f(x) 的极值.
类型3由极值求参数的值或取值范围
【例3】（1)已知函数 f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+ a^{2} 在 \scriptstyle x=1 处取极值10,则 a= ( ）
A.4或-3 B.4或-11
C.4 D.-3
(2)若函数 f(x)={(1)/(2)}x^{2}+(a-1)x-a\ln x 有极值,则 ( ）
A. a=-1 B.a≥0
C. a<-1 D.-1<a<0
[尝试解答]对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：若 f(x_{0}) 是函数的极值,那么 f^{\prime}(x_{0})=0 ，且 x_{0} 两侧的导数值异号.
(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
① 求函数的导数 f^{'}(x) ；
② 由 f^{\prime}(x_{0})=0 ,列出方程（组），求解参数.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f^{\prime}(x){>=slant}0 或 f^{\prime}(x){<=slant}0 在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
[跟进训练]
3.若函数 f(x)=x(x-m)^{2} 在 x=2 处取得极大值，求函数 f(x) 的极大值.
类型4极值问题的综合应用
【例4】已知函数 f(x)=x^{3}-3x+a(a 为实数），若方程 f(x)=0 有三个不同实根，求实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围.
尝试与发现
从函数 f(x)=x^{3}-3x+a(a 为实数)的图象观察，若方程 f(x)=0 有三个不同实根，其极大值与极小值应满足什么条件？
[尝试解答］
母题探究]
1.(变条件)本例中，若方程 f(x)=0 恰有两个根，则实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的值如何求解？
2.(变条件)本例中，若方程 f(x)=0 有且只有一个实根，求实数 a 的范围.
3.(变条件、变结论)讨论方程 {(\ln x)/(x)}=a lnα=α的根 的情况.
反思领悟 利用导数求函数零点的个数
(1)利用导数可以判断函数的单调性；
(2)研究函数的极值情况；
(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；
(4)直观上判断函数的图象与 x 轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.
1.函数 f(x) 的定义域为R,它的导函数 y=f^{\prime}\left({\boldsymbol{x}}\right) 的部分图象如图所示，则下面结论错误的是 ( ）
A.在(1,2)上函数 f(x) 单调递增B.在(3,4)上函数 f(x) 单调递减C.在(1,3)上函数 f(x) 有极大值D. f(3) 是函数 f(x) 在区间[1,5]上的极小值
2.设函数 f(x)=xe^{x} ，则
A. f(1) 为 f(x) 的极大值B. f(1) 为 f(x) 的极小值C. f(-1) 为 f(x) 的极大值D. f(-1) 为 f(x) 的极小值
3.已知函数 f(x)=x^{3}+3a x^{2}+3\left(a+2\right)x+1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范 围是
4.已知函数 f(x)=2ef^{\prime}(e)\ln x-{(x)/(e)} ,则函数f(x) 的极大值为
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.极大值与极小值的概念是什么？
2.求函数的极值的步骤是什么？
提示请完成《课时分层作业（三十六）》见第255页
5.3.3 最大值与最小值
第1课时 最大值与最小值
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.理解函数最值的概念，了解函数的最值与极值 的区别与联系.（难点） 2.会用导数求在给定区间上函数的最值.(重点) | 1.通过对函数最大（小)值概念的学习，培养 直观想象核心素养. 2.借助函数最值的求解问题，提升数学运算 |
[必备知识·情境导学探新知]
情境与问题
如图为函数 y=f(x),x\in[a,b] 的图象.
思考：(1)观察区间 [a,b] 上函数 y=f(x) 的图象，试找出它的极大值、极小值.
(2)结合图象判断，函数 y=f(x) 在区间\left\{[a,b]\right. 上是否存在最大值、最小值？若存在，分别为多少？
知识点1最大值与最小值
(1)如果在函数定义域 I 内存在 x_{0} ，使得对任意的 x\in I ，总有 ，那么 f(x_{0}) 为函数在定义域上的最大值.最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值
(2)如果在函数定义域 I 内存在 x_{0} ，使得对任意的 x\in I ，总有 ，那么 f(x_{0}) 为函数在定义域上的最小值.最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值
[知识拓展］ 函数的极值与最值的区别
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.
知识点2 求函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上的最值的步骤
第一步求 f(x) 在区间 (a,b) 上的
第二步 将第一步中求得的 与比较，得到 f(x) 在区间
[a,b] 上的最大值与最小值.
体验1.函数 f(x)={(x)/(e^{x)}} 在区间[2,4]上的最小值为 ( ）
1 (4)/(e^{4)} (2)/(e^{2)} A.0 B. C· D. e
体验2.如图所示，函数f(x) 的导函数图象是一条直线，则 （）
A.函数 f(x) 没有最大值也没有最小值B.函数 f(x) 有最大值，没有最小值C.函数 f(x) 没有最大值，有最小值D.函数 f(x) 有最大值也有最小值体验3.函数 y=3x-4x^{3} 在区间[0,2]上的最大值是 ( ）
A.1 B.2 C.0 D.-1
[尝试解答]
配苏教版数学选择性必修第一册
角度2含参数的函数最值
【例2】 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x^{2}-x^{3} 其中 a{>}0 ：
(1)讨论 f(x) 在其定义域上的单调性；
(2)当 x\in[0,1] 时，求 f(x) 取得最大值和最小值时的 x 的值.
[思路探究] （1）求导后，观察 \varDelta 的符号讨论单调性.
(2)根据第（1）问，讨论极值点与区间的关 系，从而求出最值，进而求出取最值时 x 的值.
[尝试解答]
[跟进训练]
1.已知函数 f(x)=e^{x}\cos x-x.
(1)求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程；
(2)求函数 f(x) 在区间 \left[0,{(π)/(2)}\right] 上的最大值和最小值.
反思领悟 求函数最值的着眼点
(1)从极值点和端点处找最值求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.
(2)单调区间取端点
当图象连续不断的函数 f(x) 在 [a,b] 上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
类型2用导数证明不等式
【例3】 当 x{>}0 时，证明：不等式 \ln(x+1)>x -{(1)/(2)}x^{2}.
[思路探究］利用导数证明不等式，首先要构造两边式子的差为新函数 f(x)=\ln(x+ 1)-x+{(1)/(2)}x^{2}
f(x){>}0 在 x{>}0 时恒成立.
[尝试解答]
反思领悟 证明不等式 f(x){\>}g(x),x{\in}(a b )的步骤
(1)将要证明的不等式 f(x)>g(x) 移项可以转化为证明 f(x)-g(x){>}0 ；
(2)构造函数 F(x)=f(x)-g(x) ，研究F(x) 的单调性；
(3)若 [f(x)-g(x)]^{\prime}{>}0 ,说明函数 F(x)= f(x)-g(x) 在 (a,b) 上单调递增，只需保证F(a){>}0 ；
(4)若 [f(x)-g(x)]^{\prime}{<}0 ，说明函数 F(x)= f(x)-g(x) 在 (a,b) 上单调递减，只需保证F(b)>0 ，
[跟进训练]
2.证明不等式 x^{-}\sin x{<}\tan x^{-}x,x{\in}\Big(0,(π)/(2)\Big).
类型3 已知函数最值求参数
【例4】已知函数 f(x)=a x^{3}-6a x^{2}+b(a> 0）， x\in[-1,2] 的最大值是3，最小值为-29. 求 {\mathbf{\Omega}}_{a,b} 的值.
尝试解答］
母题探究]
1.（变条件）本例中“ a>0 ”改为“ a<0^{,} ，求 α,b的值.
2.(变条件,变结论)设函数 f(x)=t x^{2}+f 2t^{2}x+t-1 的最小值为 h\left(t\right) ，且 h\left(t\right)<\ddag -2t+m 对 t\in(0,2) 恒成立,求实数 \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范围.
1.函数 \scriptstyle y={(\ln\ x)/(x)} n的最大值为 （
A.e-1 B. e C.e2 D.10
2.若函数 f(x)=x^{3}-x^{2}-x+2m 在区间[0,2]上的最大值是4,则 \mathbf{\Sigma}_{m} 的值为 ( ）
A.3 B.1 C.2 D.-1
3.设函数f(x)=x2－ f(x)=x^{3}-{(x^{2})/(2)}-2x+5 ，若对任意 x \in[-1,2] ,都有 f(x)>m ,则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是
4.已知 \mathbf{\Delta}_{a} 是实数，函数 f(x)=x^{2}\left(x-a\right) ，求f(x) 在区间[0,2]上的最大值.
反思领悟由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：
(1)求导数 f^{\prime}(x) ，并求极值；
(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；
(3)利用最值列关于参数的方程（组），解方程(组)即可.
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.求函数最值的步骤有哪些？
2.当函数的解析式中含有参数时，如何求函数的最值？
提示请完成《课时分层作业（三十七）》见第257页
第2课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.能用导数解决函数的零点问题. | 1.借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养. |
| 2.体会导数在解决实际问题中的 | 2.通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的 |
| 作用. | 核心素养. 3.能利用导数解决简单的实际问|3.借助对实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心 |
| 题.(重点、难点） | 素养. |
[必备知识·情境导学探新知]
情境与问题
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128~dm^{2} ,上、下两边各空 2~dm ，左、右两边各空 1\ dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
知识点1 函数图象的画法
函数 f(x) 的图象直观地反映了函数 f(x) 的性质.通常，按如下步骤画出函数 f(x) 的图象：
(1)求出函数 f(x) 的定义域；
(2)求导数 f^{'}(x) 及函数 f^{'}(x) 的零点；
(3)用 f^{\prime}(x) 的零点将 f(x) 的定义域划分成若干个区间，列表给出 f^{\prime}(x) 在各区间上的正负，并得出 f(x) 的单调性与极值；
(4)确定 f(x) 的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5）画出 f(x) 的大致图象.
知识点2用导数解决优化问题的基本思路
[知识拓展］ 解决生活中优化问题应注意的问题
(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域.
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等.
体验）1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，\ensuremath{^\circ}C f(x)={(1)/(3)}x^{3}-x^{2}+8 (0<=slant x<=slant5) ，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( ）
A.8 B.{(20)/(3)}\qquadC.-1\qquadD.-8 体验2.已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元)与年产量 x （单位：万件）的函数关y=-(1)/(3)x^{3}+81x-234. 厂家获取最大年利润的年产量为 ( J
A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件
类型1利用导数研究函数的图象
【例1】 函数 y={(x^{3})/(e^{x)}} （其中e为自然对数的底数)的大致图象是 C ）
[尝试解答]
反思领悟 由解析式研究图象常用的方法
根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法，如判断函数的奇偶性、定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.
[跟进训练]
1.函数 f(x)=e^{x^{2}}-2x^{2} 的图象大致为（ ）
类型2用导数研究方程的根
【例2】 设函数 f(x)={(x^{2})/(2)}-k\ln\ x,k>0.
(1)求 f(x) 的单调区间和极值；
(2)证明：若 f(x) 存在零点，则 f(x) 在区间(1,{√(e)}] 上仅有一个零点.
【尝试解答]
反思领悟 与函数零点有关的问题
与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与 x 轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题），确定参数的取值范围.
[跟进训练]
2.若方程 a^{x}=x(a>0,a\neq1) 有两个不等实根， 求实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围.
类型3导数在实际生活问题中的应用
角度1用料最省、成本(费用)最低问题【例3】【链接教材P219例9】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用 c （单位：万元）与隔热层厚度 z（单位;cm)满足关系;C(x)=3+5\scriptstyle(0<=slant x<=slant10) ），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设 f(x) 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x) 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x) 达到最小？并求最小值.
[思路探究］（1）由 C(0)=8 可求 k 的值，从而求出 f(x) 的表达式.
(2)求函数式 f(x) 的最小值.
尝试解答］
反思领悟 求解优化问题中的最小值问题的思路
在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值.若求出极值点（注意根据实际意义舍去不合适的极值点）后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值.
[跟进训练]
3.已知 A,B 两地相距200千米，一只船从 A 地逆水航行到 B 地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为 \boldsymbol{v} 千米/时 (8<v<=slant v_{0} .若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当 \scriptstyle{v=12} 千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度 \scriptstyle{\boldsymbol{v}} 应为多少？
角度2利润最大、效率最高问题
【例4】【链接教材P220例10】
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y （单位：千克）与销售价格 x （单位;元/千克)满足关系式 y={(a)/(x-3)}+10(x- 6)^{2} ,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求 a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
尝试与发现
1.在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
2.你能列举几个有关利润的等量关系吗？
【尝试解答]
反思领悟利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润 \c= 收入一成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.解此类问题需注意两点： ① 价格要大于或等于成本，否则就会亏本； ② 销量要大于0，否则不会获利.
[跟进训练]
4.某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售 \mathbf{\Delta}_{a} 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高.市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为 x(0<x<1) ,那么月平均销售量减少的百分率为 x^{2} ,记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是 y （元）.
(1)写出 _y 与 x 的函数关系式；
（2）改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大.
1.某箱子的体积与底面边长 x 的关系为 V(x) =x^{2}\Big((60-x)/(2)\Big)(0<x<60) ,则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为 C >
A.30 B. 40 C.50 D. 60
2.设函数 f(x) 的导函数为 f^{\prime}\left(x\right) ，若 f(x) 为偶函数，且在（0，1）上存在极大值，则f^{'}(x) 的图象可能为 ( ）
3.若方程 x^{3}-3x+m=0 在[0,2]上有解,则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是 ( ）
A.[-2,2]
B. [0,2]
C.[-2,0]
D.(—∞0,-2)U(2,+∞)
4.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为 米.
课堂小结
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.利用导数解决函数的零点问题的一般方法是什么？
2.利用导数解决实际应用问题的一般方法是什么？
提示请完成《课时分层作业（三十八）》见第259页
章末 综合提升
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
类型1 导数的几何意义
1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 y -y_{0}=f^{\prime}(x_{0})\bullet(x-x_{0}) ,明确“过点 P(x_{0} ，y_{0} )的曲线 y=f(x) 的切线方程”与“在点P(x_{0},y_{0}) 处的曲线 \scriptstyle y=f(x) 的切线方程”的异同点.
2．围绕着切点有三个等量关系：切点 (\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}) ，则 k{=}f^{\prime}(x_{0}),y_{0}{=}f(x_{0}),(x_{0},y_{0}) 满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.
【例1】已知函数 f(x)=x^{3}+x-16.
(1)求曲线 y=f(x) 在点 (2,-6) 处的切线方程；
(2)直线 \mathbf{\xi}_{l} 为曲线 y=f(x) 的切线，且经过原点，求直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程及切点坐标；
(3)如果曲线 y=f(x) 的某一切线与直线 _y =-{(1)/(4)}x+3 x十3垂直,求切点坐标与切线的方程.
[尝试解答]
类型2 函数的单调性与导数
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 f(x) 与其导数 f^{\prime}(x) 之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解，
求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数 f(x) 求导，得到 f^{\prime}(x) (2)若函数 f(x) 在 (a,b) 上单调递增，则f^{\prime}(x){>=slant}0 恒成立;若函数 f(x) 在 (a,b) 上单调递减，则 f^{\prime}(x){<=slant}0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3）验证参数范围中取等号时，是否恒有f^{\prime}(x)=0 .若 f^{'}(x)=0 恒成立,则函数 f(x) 在 (a,b) 上为常函数，舍去此参数值.
【例2】（1)若函数 f(x)=x-{(1)/(3)}\sin2x+a\sin x 在 (-∞,+∞) 上单调递增,则 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围是 ( ）
A.[—1,1] B,\left[-1,(1)/(3)\right] C \left[-{(1)/(3)},{(1)/(3)}\right] D.\left[-1,-(1)/(3)\right] (2)设函数 f^{'}(x) 是奇函数 f(x)\left(x{\in}\mathbf{R}\right) 的导函数， f(-1)=0 ，当 \mathbf{\sigma}_{x>0} 时， x f^{\prime}(x)-f(x) {<}0 ,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 ( ）
A. (-∞,-1)\cup(0,1)
B. (-1,0)\cup(1,+∞)
C. (-∞,-1)\cup(-1,0)
D. (0,1)\bigcup(1,+∞)
[尝试解答]
类型3函数的极值、最值与导数
1.求连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的最值的方法(1)若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上单调递增或递减，则 f(a) 与 f(b) 一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 内有极值，则要先求出 [a,b] 上的极值，再与 f(a),f(b) 比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.
2.已知函数的极值（最值）情况求参数的值（取值范围)的方法根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题.已知 f(x) 在某点x_{0} 处有极值，求参数的值（取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解.
【例3】已知函数 f(x)=x^{3}+a x^{2}+b 的图象上一点 P(1,0) 且在点 P 处的切线与直线 3x +y=0 平行.
(1)求函数 f(x) 的解析式；
尝试解答]
(2)求函数 f(x) 在区间 [0,t] C \scriptstyle0<t<3) 上的最大值和最小值.
[尝试解答］
类型4导数在生活中的应用
解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
【例4】如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所.已知空地ABCD和规划的两块用地（阴影区域)都是矩形， A B=144,A D=150 ，C H=30 ，若以 A B 所在直线为 x 轴， A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线 A H 的方程为 y=a\ {√(x)} ，记 A M=t ,规划的两块用地的面积之和为 s （单位：米）.
(1)求 s 关于 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的函数 S\left(t\right) ；
(2)求 s 的最大值.
[尝试解答]
提示
请完成《章末综合测评（五）》 见第277页《模块综合测评》 见第281页
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