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非常学案

高中新课程同步核心辅导

非常学案FEICHANG XUEAN

图书在版编目（CIP）数据

非常学案．数学选择性必修第一册苏教版／《非
常学案》编写组编著．--南京：江苏人民出版社，
2024.8（2025.3重印）ISBN 978-7-214-29357-21.G634中国国家版本馆CIP数据核字第20242XV453号
书名 非常学案数学选择性必修第一册苏教版
编著 《非常学案》编写组
责任编辑 叶子帆
出版发行 江苏人民出版社
地 址 南京市湖南路1号A楼，邮编：210009
印 刷 山东奥文印业有限公司
开 本 880毫米 x1230 毫米1/16
印 张 26.5
字 数 742千字
版 次 2024年8月第1版
印 次 2025年3月第2次印刷
标准书号 ISBN 978-7-214-29357-2
估 价 79.60元
如发现图书质量问题，请联系我们：杨老师，0537-7387773；严老师，025-83658087，18705186649

紧扣教材、情境与问题式学案、引领学生思维、培养学生学习兴趣

情境与问题

赛艇是一项通过桨和桨架进行简单杠杆作用，使舟艇前进的划水运动.划杆与

水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度.如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容.

情境与问题

地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角（二面角的平面角）为 23° 26'.黄道面与天球相

融合各版本教材经典，实现教材与教辅的统一、教与考的衔接

3.（源自人教A版教材例题)如图，在平行六面体 A B C D//B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 中， A B=5,A D=3,A A^{\prime}=7,\angle B A D\ =\ 60°, BAA’=\angle D A A^{\prime}=45°. 求：

(2)A C^{\prime} 的长(精确到0.1).

通关链接教材潜在高考题，精练教材改编题，让学生重视教材

【例3】【链接教材 P_{31} 例1】如图，已知正方体ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 点 M,N 分别是面对角线 A^{\prime}B 与面对角线A^{\prime}C^{\prime} 的中点.求证： M N//A D^{\prime}.

[尝试解答]

4.（教材 P_{37} 练习B T_{3} 改编)如 D图所示，在正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知 M,N 分别是 B D 和 A D 的中B点，则 B_{1}M 与 D_{1}N 所成角的余弦值为

深挖教材栏目，创设微课时、拓展课，拓展学生的认知

1 \triangle A B C 的面积 S={(1)/(2)}|{\overrightarrow{A B}}|*|{\overrightarrow{A C}}|\sin A, 则以 A B,A C 为邻边的平行四边形的面积 S= |{\overrightarrow{A B}}||{\overrightarrow{A C}}|*\sin A.

2.利用向量坐标表示求出 \mid\overrightarrow{A B}\mid,\mid\overrightarrow{A C}\mid 及cOS A ，进而求出 \sin A, 得到面积.

3. \triangle A B C 的面积公式的向量形式：

【典例】已知空间三点 A\left(0,2,3\right),B\left(-2,1,\right. 6),C(1，一1,5).求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积.

精选与高考命题背景相关的数学阅读材料，拓宽知识层面

[阅读材料·拓展数学大视野]

拓宽知识层面·增加学习趣味笛卡儿与解析儿何

从16世纪开始，由于制造业和航海业的迅猛发展，产生了许多迫切需要解决的实际问题，如航行中船的定位、速度问题等，这些问题都向数学提出了挑战，在这一形势下笛卡儿奠更长时间、更努力、更忘我的思考，他推崇严格的数学推理.1620年前后，他证明了四次方程x^{4}+p x^{2}+q x+r=0 的根，可以通过抛物线和圆的交点求出，巧妙地把代数和几何结合在了一起.

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目录

第1章 直线与方程

1.1直线的斜率与倾斜角

1.2 直线的方程

1.2. 1 直线的点斜式方程 5
1.2.2 直线的两点式方程 9
1.2.3 直线的一般式方程· 12

阅读材料·拓展数学大视野方向向量与直线的参数

方程 16

1.3两条直线的平行与垂直· 17
1.4两条直线的交点·. 22
1.5平面上的距离.·. 26
1.5.1平面上两点间的距离· 26
阅读材料·拓展数学大视野笛卡儿与解析几何…：29
1.5.2点到直线的距离 30
章末综合提升 35

第2章 圆与方程

2.1圆的方程 37
第1课时 圆的标准方程 37
阅读材料·拓展数学大视野 坐标法与数学机械化：41
第2课时 圆的一般方程 42
2.2直线与圆的位置关系.· 46
2.3圆与圆的位置关系 50
章末综合提升 54

第3章 圆锥曲线与方程

3.1椭圆 56
3.1.1 椭圆的标准方程· 56

阅读材料·拓展数学大视野倾斜的试管液面轮廓

一定是椭圆 60

3.1.2 椭圆的几何性质·· 60
第1课时 椭圆的几何性质 60
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 65

3.2 双曲线· 70

3.2.1 双曲线的标准方程· 70
3.2.2 双曲线的几何性质…· 75

3.3 抛物线·. 80

3.3.1抛物线的标准方程· 80
3.3.2 抛物线的几何性质.· 84
阅读材料·拓展数学大视野圆锥曲线的光学性质：89
章末综合提升 90

亮点素引

反思领悟

1.求直线的倾斜角的方法及两点注意/2
2.解决斜率问题的方法/3
3.直线的倾斜角和斜率的关系/4
4.求直线的点斜式方程的步骤/6
5.求直线的斜截式方程/7
6.利用待定系数法求直线方程/7
7.由两点式求直线方程的步骤/10
8.利用截距式求直线方程的注意事项/11
9.直线方程的选择技巧/11
10.直线恒过定点的求解策略/14
11.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤/21
12.两条直线相交的判定方法/23
13.解含有参数的直线恒过定点的问题/24
14.过两条直线交点的直线方程的求法/25
15.计算两点间距离的方法/27
16.利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤/28

第4章 数列

4.1 数列. 93

第 1 课时 数列的概念及简单表示法 93
第2课时 数列的递推公式 97

4.2 等差数列 10]

4.2.1等差数列的概念 101
4.2.2等差数列的通项公式 101
第 1 课时等差数列的概念及通项公式. 101
第2课时 等差数列的性质 105

4.2.3 等差数列的前 n 项和 109

第 1 课时 等差数列的前 n 项和· 109
第2课时 等差数列前 n 项和的性质.··. 114

4.3 等比数列 118

4.3.1 等比数列的概念 118
4.3.2 等比数列的通项公式 118
第 1 课时等比数列的概念及通项公式 118
第2课时 等比数列的性质· 122

4.3.3 等比数列的前 n 项和 27

第1课时 等比数列的前 n 项和· 127
第2课时 等比数列前 n 项和的性质及应用· 131

4.4 数学归纳法 ^{*} 135

章末综合提升· 140

第5章 导数及其应用

5.1 导数的概念 143

5.1.1 平均变化率 143
5.1.2 瞬时变化率 导数 146

5.2 导数的运算 152

5.2.1 基本初等函数的导数 152
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数.·. 152
5.2.3 简单复合函数的导数 156

5.3 导数在研究函数中的应用 159

5.3.1 单调性 159
5.3.2 极大值与极小值 164
5.3.3 最大值与最小值 168
第1课时 最大值与最小值· 168
第2课时 导数在函数有关问题及实际生活中的
应用.. 173

章末综合提升· 178

数智分层作业（单独成册） 183-260
综合测评（单独成册） 261-284
参考答案（单独成册）· 285-420

第1章

直线与方程

1.1 直线的斜率与倾斜角

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

我们知道，经过两点有且只有（确定)一条直线，那么，经过一点 P 的直线 \mathbf{\xi}_{l} 的位置能确定吗？如图所示，过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c,*s ，我们可以看出这些直线都过点 P ，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？

知识点1 直线的斜率

对于直线 l 上的任意两点 P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})

(1)如果 x_{1}\neq x_{2} ,那么由相似三角形的知识可知， (y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}} 是一个定值,我们将其称为直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率.
k=(y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2}).

(2)如果 {\boldsymbol x}_{1}={\boldsymbol x}_{2} ,那么直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率不存在.(3)对于与 x 轴不垂直的直线 \mathbf{\xi}_{l} ，它的斜率也可以看作=纵坐标的增量·体验1.已知经过两点 (5,m) 和 (m,8) 的直线的斜率等于1，则 \mathbf{\nabla}_{m} 的值是

知识点2直线的倾斜角

思考1.任意一条直线都有倾斜角吗？不同直线的倾斜角一定不相同吗？

配苏教版数学选择性必修第一册

知识点3直线的倾斜角与斜率的关系

(1)当直线 \mathbf{\xi}_{l} 与 x 轴垂直时，直线 \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角为 (π)/(2) ,斜率不存在；(2）当直线 \mathbf{\xi}_{l} 与 x 轴不垂直时，直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k 与倾斜角 α 之间的关系为 k{=}tan~α\big(α{\ne}(π)/(2)\big) ：

思考2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？

体验2.已知一条直线过点 (3,-2) 与点(-1,-2) ，则这条直线的倾斜角 α 是（ ）

体验3.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角为 {30}° ，则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率为 C

体验）4.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的打? *_{\bigtriangledown}{\bigtriangledown^{*}}\bigtriangledown^{*})

(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应， Y

(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应. C

(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定 相等. 1

(4)直线的倾斜角 α 的集合 \{α\mid0°<=slantα<180°\} 与直线集合建立了一一对应关系．（）

反思领悟 求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2）两点注意： ① 当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 {0}° ;当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90°
② 注意直线倾斜角的取值范围是 0°<=slantα {<}180° ：

[跟进训练]

1.一条直线 \mathbf{\xi}_{l} 与 x 轴相交,其向上的方向与 y 轴正方向所成的角为 α\left(0°<α{<}90°\right) ，则其倾斜角为 C ）

A.α
B *{180}°-α
C *\left180°-α 或 90°-α D. 90°+α 或 90°-α

类型2 直线的斜率

【例2】【链接教材P6例1】

(1)过两点 A(4,y),B(2,-3) 的直线的倾斜 角是 135° ，则 y 等于 ( >

A.1 B.5 C.-1 D.-5

(2)若 A(1,1),B(3,5),C(\boldsymbol{a},7) 三点共线，则 a 的值为

(3)如图,直线 l_{1} 的倾斜角 α_{1} ={30}° ,直线 l_{1}\perp l_{2} ，求 l_{1}\ldots l_{2} 的 斜率.

[尝试解答]

类型3直线的倾斜角和斜率的综合

【例3】已知两点 A(-3,4),B(3,2) ，过点P(1,0) 的直线 \mathbf{\xi}_{l} 与线段 A B 有公共点.(1)求直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k 的取值范围；(2)求直线 \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角 α 的取值范围.

[思路探究]结合图形考虑， \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角应介于直线PB与直线 P A 的倾斜角之间.要特别注意，当 \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角小于 90° 时，有 k>=slant k_{P B} ；当 \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角大于 90° 时，则有 k{<=slant}k_{P A} ：

尝试解答]

反思领悟 解决斜率问题的方法

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k{=}tan~α(α{\neq}90°) 解决.
(2)由两点坐标求斜率运用斜率公式 k= (y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2})
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列式求解.

[跟进训练]

2.设点 A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1, 4），直线 A C 的斜率是直线BC的斜率的3 倍，则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的值为

母题探究]

1.(变条件)本例中，三点坐标不变，其他条件改为过 B 的直线与线段 A P 有公共点，求直线L的斜率的取值范围.

2.（变条件）本例中， A,B 两点坐标不变，其他条件去掉，在直线 y=-1 上求一点 P ，使 P A,P B 的斜率互为相反数.

1.（教材P6例1改编）已知直线经过点A(0，4)和点B(1,2),则直线 _{A B} 的斜率为（ ）

A.3 B.-2C.2 D.不存在

2.若直线 l 经过 M(2,3),N(4,3) ，则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的 倾斜角为 C >

A. {0}° B.30°
C. {60}° {D}.{90}°

3.若直线 \mathbf{\xi}_{l} 经过第二、四象限，则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的倾 斜角范围是 ( >

A. 0°<=slantα<90° {B}.90°{<=slant}α{<}180° C. 90°<α<180° I ).0°<α<180°

4.若过两点 A(4,y),B(2,-3) 的直线的倾斜 角为 45° ，则 s=\_

5.已知交于点 M(8,6) 的四条直线 l_{1},l_{2},l_{3},l_{4} 的倾斜角之比为 ~1~:~2~:~3~:~4~ ，又知 l_{2} 过点N(5,3) ，求这四条直线的倾斜角.

反思领悟 直线的倾斜角和斜率的关系

(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是 90° 时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x 轴（平行于 y 轴或与 _y 轴重合).

(2)直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度.当 0°<=slantα<90° 时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°<α<180° 时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大.

跟进训练]

3.若点 P(x,y) 在以 A(-3,1),B(-1,0) ，C(-2,0) 为顶点的 \triangle A B C 的内部运动(不包含边界),则 (y-2)/(x-1) 的取值范围是

课堂小结

回顾本节内容，自我完成以下问题：直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，它们有什么联系？

1.2 直线的方程

1.2.1 直线的点斜式方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为 x 轴，桥塔所在直线为轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.

已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置能确定吗？

知识点直线的点斜式方程和斜截式方程

提醒：在直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜截式方程 y=k x+b 中，我们把直线 \mathbf{\xi}_{l} 与 y 轴的交点 (0,b) 的纵坐标 b 称为直线 \mathbf{\xi}_{l} 在 y 轴上的截距.

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的 打“ x\prime\prime

(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线.（）

② (y-y_{0})/(x-x_{0)}{=}k 与 y-y_{1}=k(x-x_{1}) 都是直线的点斜式方程. C

体验2.直线 \mathbf{\xi}_{l} 的点斜式方程是 y-2=3(x +1) ，则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率是 ( ）

A.2 B.-1 C.3 D.-3

体验3.直线 {(x)/(a^{2)}}-{(y)/(b^{2)}}=1 =1在轴上的截距是 C

A. \left|\boldsymbol{b}\right| B.-62 C. b^{2} D.±b

体验）4.过点（2,1)且斜率为3的直线的点斜式方程为

类型1直线的点斜式方程

【例1】【链接教材P12例1、例2】

（1)一条直线经过点（2，5），倾斜角为 45° ，则这条直线的点斜式方程为

(2)经过点（一5,2）且与 y 轴的夹角为 {30}° 的 直线方程为

[尝试解答]

反思领悟 求直线的点斜式方程的步骤

提醒：斜率不存在时，过点 P(x_{0},y_{0}) 的直线与 x 轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为 x_{0} ,故直线方程为 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} ：

[跟进训练]

1.分别求出经过点 P(3,4) ，且满足下列条件的 直线方程，并画出图形.

(1)斜率 k=2 ；(2)与 x 轴平行；(3)与 x 轴 垂直.

类型2直线的斜截式方程

【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为2,与 _y 轴的交点坐标为(0,2)；(2)倾斜角为 {150}° ，在 _y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为 {60}° ，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3.

尝试解答］

反思领悟 求直线的斜截式方程

(1)先求参数 k 和 b ，再写出斜截式方程.(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率.(3)b 是直线在 y 轴上的截距，即直线与轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离.

［跟进训练

2.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 在 _y 轴上的截距为一2，根据条件，分别写出直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜截式方程.

(1)直线 \mathbf{\xi}_{l} 经过点 M(m,n),N(n,m)(m{\neq}n) (2)直线 \mathbf{\xi}_{l} 与坐标轴围成等腰三角形.

类型3直线的方程的简单应用

【例3】已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率为 (1)/(6) ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求 \mathbf{\xi}_{l} 的斜截式方程.

尝试与发现

直线 y^{-}{y_{1}}=k({x}{-}{x_{1}}) 与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别是什么？

尝试解答]

反思领悟 利用待定系数法求直线方程

(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率.
(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在 y 轴上的截距.

配苏教版数学选择性必修第一册

[跟进训练]

3.已知 \triangle A B C 的三个顶点分别是A（0,3)，B(4,2),C\ (2,1) .若直线 \mathbf{\xi}_{l} 过点 A ，且将\triangle A B C 分割成面积相等的两部分，求直线1的斜截式方程.

1.倾斜角为 135° ，在 y 轴上的截距为一1的直线方程是 Y >

A. x-y+1=0 B \scriptstyle*-y-1=0 C. x+y-1=0 D * x+y+1=0

2.已知直线的方程是 y+2=-x-1 ，则（ ）

A.直线经过点 (-1,2) ，斜率为一1
B.直线经过点 (2,-1) ,斜率为一1
C.直线经过点 (-1,-2) ,斜率为一1
D.直线经过点 (-2,-1) ,斜率为1

3.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 过点(3,4)且与 y 轴的交点坐标为（0,1),则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为

4.无论 k 取何值，直线 y=k x+2k-3 所过的 定点是

5.直线4过点 P(-1,2),斜率为一， ，把绕点 P 按顺时针方向旋转 {30}° 角得直线 l_{2} ，求直线 l_{1} 和 l_{2} 的方程.

.已知直线的倾斜角等于直线 y=√(3)x+1 的倾斜角的一半，且经过点 (2,-3) ，求直线l 的点斜式方程.

课堂小结

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.建立点斜式方程的依据是什么？
2.斜截式方程的标准形式及特征是什么？

1.2.2 直线的两点式方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

某区商业中心 o 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧 P 处，如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于 A,B 两处，并使商业中心 o 到 ^{A,B} 两处的距离之和最短.在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线 A B 的方程确定后，点 ^{A,B} 能否确定？

知识点直线的两点式方程和截距式方程

思考方程 {(y-y_{1})/(y_{2)-y_{1}}}{=}{(x-x_{1})/(x_{2)-x_{1}}} 和方程(yy)（x-{x_{1}})=({x}{-}{x_{1}})({y_{2}}{-}{y_{1}}) 的适用范围相同吗？

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd^{\ \leftrightarrow} ,错误的打“ x\prime\prime 0

(1)直线的两点式方程也可以用 {(y-y_{1})/(x-x_{1)}}= (y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2},y_{1}\neq y_{2}) C >

(2)任何直线都可以用方程 {(x)/(a)}+{(y)/(b)}=1 表示。( >

(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出. C ）

体验2.过点 A(3,2),B(4,3) 的直线方程是( ）

A.~x+{y+1}=0\qquadB.~x+{y-1}=0\qquad C.\ensuremath{~\b~{~x-y+1=0~}}D.\ensuremath{~\b~{~x-y-1=0}}

体验3.直线 y=3x+2 在 x 轴上的截距是

类型1直线的两点式方程

【例1】【链接教材P14例3】

(1)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 经过点 A\left(2,-1\right),B\left(2,7\right) ，则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为

(2)若点 P(3,m) 在过点 A(2,-1),B(-3 4)的直线上,则 m=

[尝试解答]

类型 2 直线的截距式方程

反思领悟 由两点式求直线方程的步骤

(1)设出直线所经过点的坐标.
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标.
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程.提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.

[跟进训练]

1.求经过两点 \mathbf{δA}(2,m) 和 B(n,3) 的直线方程.

【例2】求过点 (4,-3) 且在两坐标轴上截距相等的直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

尝试与发现

若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？

尝试解答]

母题探究]

1.（变条件)本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线的方程.

2.（变条件)本例中把“相等”改为“绝对值相 等”呢？

反思领悟 利用截距式求直线方程的注意事项

(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0.
① 若 \scriptstyle a=0,b\neq0 ，则直线方程为 \scriptstyle x=0 ；
② 若 a\neq0,b=0 ,则直线方程为 y=0 ；
③ 若 \scriptstyle a=0,b=0 ,则直线方程为 y=k x(k\neq0) ：(2)截距相等且不为零，可设 x+y=a
截距相反且不为零，可设 x-y=a ；
截距相等且均为零，可设 y=k x

类型3直线方程的灵活应用

【例3】【链接教材P15例4】

在 \triangle A B C 中，已知 A(-3,2),B(5,-4), C(0,-2) ：

(1)求 B C 边所在直线的方程；
(2)求 B C 边上的中线所在直线的方程.

[学习效果·课堂评估夯基础]

1.过 P_{1}(2,0),P_{2}(0,3) 两点的直线方程是 C

尝试解答］

反思领悟 直线方程的选择技巧

(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.

_跟进训练_

2.过点 P(2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线有 条.

2.直线 {(x)/(a)}+{(y)/(b)}=1 过第一、三、四象限,则（

A.a{>}0,b{>}0 B,a{>}0,b{<}0 C. a<0,b>0 一 ).a{<}0,b{<}0

3.过两点 (-1,1) 和（3,9）的直线在 x 轴上的截距是

配苏教版数学选择性必修第一册

4.过点（5，2），且在 x 轴上的截距是在 _y 轴上的截距的2倍的直线方程是

5.求过点 P(6,-2) ,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大1的直线方程.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.直线的两点式方程及其适用情形分别是什么？
2.直线的截距式方程及其适用情形分别是什么？

提示请完成《课时分层作业（三）》 见第187页

1.2.3 直线的一般式方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是 A x+B y+C=0 ，前面我们又学习了直线方程的点斜式： y-y_{0}=k(x-x_{0}) 、斜截式:y=kx+b、两点式: {(y-y_{1})/(y_{2)-y_{1}}}{=}{(x-x_{1})/(x_{2)-x_{1}}} 和截距式： 2a十=1.它们都可以化成为二元一次方程的形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把 A x+B y+C=0(A,B) 不同时为零）叫作直线的一般式，下面进入今天的学习.

知识点直线的一般式方程

(1)定义：方程 A x+B y+C=0(A,B 不全为0)叫作直线的一般式方程.
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
(3)系数的几何意义：
① 当 B{\neq}0 时,则 -{(A)/(B)}=k (斜率)， =b(y轴上的截距);
② 当 B{=}0 ， A\neq0 时，则 -{(C)/(A)}{=}a(x 轴上的截距),此时不存在斜率.

思考当 A=0 或 B=0 或 C=0 时，方程A x+B y+C=0 分别表示什么样的直线？

体验）1.思考辨析（正确的打“～”，错误的打“ x ”)

(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线. C ）

类型1直线的一般式方程与其他形式

的互化

【例1】【链接教材P17例5】

(1)已知直线的一般式方程为 2x-3y+6=0 ，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距.
(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.
① 斜率是 ,经过点 A(8，-2);
② 经过点B(4,2),平行于 x 轴；
③ 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 {(3)/(2)},-3 ④ 经过两点 P_{1}(3,-2),P_{2}(5,-4).

[尝试解答]

(2）直线的其他形式的方程都可化为一般式. (

(3)关于 x,y 的二元一次方程 A x+B y+C =0(A,B 不同时为0)一定表示直线.（）

体验2.已知直线 2x+a y+b=0 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为一1,2，则 {\mathbf{α}}_{a,b} 的值分别为）

A.-1,2 B.-2,2 C.2,-2D.-2,-2

体验3.直线 3x-{√(3)}\ y+1=0 的倾斜角为

反思领悟1.求直线的一般式方程的方法

2.由直线的一般式方程转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件.

[跟进训练]

1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.

(1)斜率是 √(3) 且经过点 A(5,3) ；
(2)经过 A(-1,5),B(2,-1) 两点；
(3)在 x,y 轴上的截距分别是一3，一1.

类型2 直线过定点问题

【例2】求直线l： (m-1)x-y+2m+1=0 所过 的定点的坐标.

[尝试解答]

反思领悟 直线恒过定点的求解策略

(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；(2)将方程变形，把 x ， y 看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得 x ， y 的值,即为直线过的定点.

[跟进训练]

2.不论 \mathbf{\Psi}_{m} 为何值,直线 3(m-1)x+2(m+1)y -12=0 过定点 （ ）

*\left(1,-{(1)/(2)}\right) B. (2,3) C.(-2,3) D.(2,0)

类型3直线一般式方程的应用

【例3】【链接教材P18例6】已知直线 l:5a x-5y-a+3=0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 \mathbf{\xi}_{l} 总经过第一象限；(2)为使直线 \mathbf{\xi}_{l} 不经过第二象限，求 \scriptstyle a 的取值范围.

尝试与发现

1.直线 l\colon5a x-5y-a+3=0 是否过定点？
2.若直线 y=k x+b(k\neq0) 不经过第二象限， k,b 应满足什么条件？

尝试解答]

[母题探究]

1.(变条件，变结论)本例中若直线在 y 轴的截距为2,求 \mathbf{\Delta}_{a} 的值.这时直线的一般式方程是什么？

2.(变条件，变结论)若直线 l:5a x-5y-a+\} 3=0 的倾斜角为直线 {√(3)}x-y+3=0 的倾斜角的2倍，求直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

1.如果 a x+b y+c=0 表示的直线是 y 轴，则系数 \mathbf{\omega}_{a,b,c} 满足条件 ? ）

A. b c=0 B.a\ne0 C. b c=0 且 a\ne0 D. a\ne0 且 \scriptstyle b=c=0

2.直线 x-y-1=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ）

(1)/(4) (1)/(2) A. B.2 C.1 D.2

3.斜率为2，且经过点 P(1,3) 的直线的一般式方程为

4.（教材P19练习T3改编)若直线 l{:}a x{+}y{-}2{=}
0在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 \scriptstyle a=

5.若方程 (m^{2}-3m+2)x+(m-2)y-2m+5 =0 表示直线.

(1)求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围；

反思领悟 已知含参的直线的一般式方程求参数的值（范围)的步骤

(2)若该直线的斜率 k=1 ，求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的值.

课堂小结

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何把直线的一般方程化为斜截式与截距式？

2.平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于 \mathbf{\Phi}_{x,y} 的二元一次方程 A x+B y+C =0(A,B 不同时为零)来表示吗？

3.任何关于 x,y 的二元一次方程 A x+B y +C=0(A,B 不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？

方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.

如图，设直线 \mathbf{\xi}_{l} 经过点P_{\scriptsize\0}(x_{\scriptsize0},y_{\scriptsize0}),{\nu}=(m,n) 是它的一个方向向量， P(x,y) 是直线 \mathbf{\xi}_{l} 上的任意一点，则向量 \overrightarrow{P_{\scriptscriptstyle0}P} 与 \mid\nu\mid 共线.根据向

量共线的充要条件，存在唯一的实数 \mathbf{\Psi}_{t} ，使 \overrightarrow{P_{\scriptscriptstyle0}P}
=t±b{\nu} ,即 (x-x_{0},y-y_{0})=t(m,n) ，\left\{{\begin{array}{l}{x=x_{0}+m t,}\\ {y=y_{0}+n t.}\end{array}}\right. 所以 ①

在 ① 中，实数 \mathbf{\chi}_{t} 是对应点 P 的参变数，简称参数.由上可知，对于直线 \mathbf{\xi}_{l} 上的任意一点 P\left(x ，y),存在唯一实数 \mathbf{\Psi}_{t} 使 ① 成立；反之，对于参数 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的每一个确定的值，由 ① 可以确定直线 \mathbf{\xi}_{l} 上的一个点 P\left(x,y\right) .我们把 ① 称为直线的参数方程.

从运动学角度看， \overrightarrow{P_{\scriptscriptstyle0}P}=t{±b\nu}(t>0) 可以看成质点 P 从点 P_{~o~} 出发，以速度 ±b{\nu}=(m,n) 作匀速直线运动，经过时间 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 后的位移，因此，质点 P 的运动轨迹是射线 P_{0}M. 类似地，你能刻画射线 P_{0}N 吗？由以上讨论，你能说说方程 ① 的运动学意义吗？

如果直线 l 与坐标轴不垂直，那么 m n{\neq}0 由 ① 可得

消去参数 \mathbf{\Psi}_{t} ，得

即 y-y_{0}=(n)/(m)(x-x_{0}) ，

这样就得到直线 \mathbf{\xi}_{l} 的点斜式方程，

从另外一个角度思考，因为直线 \mathbf{\xi}_{l} 经过点P_{0}(x_{0},y_{0}) ，且它的一个方向向量为 ±b{\nu}=\left(m,n\right) ，所以直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k=(n)/(m) ,所以直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为

想一想，在直线的参数方程\left\{{\begin{array}{l}{x=x_{0}+m t,}\\ {y=y_{0}+n t}\end{array}}\right. 中， (m,n) 的几何意义是什么？

提示请完成《课时分层作业（四）》 见第189页

1.3 两条直线的平行与垂直

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

有一天，著名魔术大师拿了一块长、宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米、长21分米的矩形.地毯匠对魔术师说：“这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米.”魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图（1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧.”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米、长21分米.魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？

为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直.

知识点1两条直线平行的判定

思考如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？

体验1.直线 3x+y-a=0 与 3x+y=0 的位置关系是

知识点2 两条直线垂直的判定

类型 1 两直线平行或垂直的判定

【例1】【链接教材P23例2、P25例4】判断下列各组中的直线 l_{1} 与 l_{2} 是否平行或垂直：(1)l_{1}:3x-4y-2=0,l_{2}:6x-8y+1=0, (2)l_{1}:3x+2y-1=0,l_{2}:6x+4y-2=0 \left(3\right)l_{1} 的斜率为一 10,l_{2} 经过点 A(10,2) ，B(20,3) ；(4)l_{1} 经过点 A\left(3,4\right),B\left(3,100\right),l_{2} 经过点M(-10,40) ” N(10,40) ：

[尝试解答]

体验）2.思考辨析（正确的打“√”，错误的打“ x") o

(1)斜率相等的两条直线（两直线不重合）一 定平行.

(2)只有斜率之积为一1的两条直线才垂直.

(3)若两条直线垂直，则斜率乘积为一1.（

体验3.下列直线中，与直线 l_{:}y=3x{+1} 垂直的是

A. y=-3x+1 B \scriptstyle*\ y=3x-1 C \therefore y=(1)/(3)x-1 D \mathbf{\partial}_{*}\mathbf{{y}=-(1)/(3)\mathbf{{x}-1}}

反思领悟1.判断两条直线平行的方法

(1)① 若两条直线 l_{1},l_{2} 的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式.如： \mathbf{\chi}_{1}^{\prime}:y=k_{1}x +b_{1},l_{2}:y=k_{2}x+b_{2} ，则 \left\{\begin{array}{l l}{k_{1}=k_{2}}\\ {b_{1}\neq b_{2}}\end{array}\right.\Rightarrow l_{1}//l_{2} ② 若两条直线 l_{1},l_{2} 的斜率都不存在，将方程化成 l_{1}:x=x_{1},l_{2}:x=x_{2} ，则 \boldsymbol{x}_{1}\neq\boldsymbol{x}_{2}\Rightarrow l_{1}//l_{2} ：(2)若直线 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1},B_{1} 不全为 ()),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{2},B_{2} 不全为0)，由 A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0 得到 l_{1}//l_{2} 或 l_{1},l_{2} 重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行.

2.判断两条直线垂直的方法

(1)

(2)若两条直线的方程均为一般式： l_{1} ：A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1},B_{1} 不全为 ^{(0)},l_{2} A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{2},B_{2} 不全为0)，则l_{1}\perp l_{2}\Longleftrightarrow A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0.

[跟进训练]

1.判断下列各组中的直线 l_{1} 与 l_{2} 是否平行或垂直：

(1)l_{1}:4x+2y-1=0 和 l_{2}:2x-y-2=0 ；(2)l_{1}:2x-3y+4=0 和 l_{2} {\bf\Phi}_{2}:3y-2x+4=0 ；(3)l_{1}:2x-3y+4=0 和 l_{2} ： -4x+6y-8=0

类型2由平行或垂直关系求直线的方程

【例2】【链接教材P23例3】

(1)求过点 (-1,3) ,且与直线 l:3x+4y-12 =0 平行的直线 {\mathbf{}}{\mathbf{}}{\mathbf{}}{\mathbf{}}^{\prime} 的方程.
(2)求与直线 4x-3y+5=0 垂直,且与两坐标轴围成的 \triangle A O B 面积为6的直线方程.[思路探究］（1)利用两直线的平行关系求出直线 {\mathit{l}}^{\prime} 的斜率，利用直线的点斜式求直线的方程.
(2)利用直线的垂直关系求出直线的斜率，设出直线的方程，根据待定系数法求解.

[尝试解答]

反思领悟1.根据平行关系求直线方程的方法

(1)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 与已知直线 y=k x+b 平行，则可设 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为 y=k x+m(m\neq b) ，然后利用待定系数法求参数 \mathbf{\Psi}_{m} ，从而求出直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.(2)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 与已知直线 A x+B y+C=0 (A,B 不全为0)平行，则可设 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为A x+B y+m{=}0(m{\neq}C) ，然后用待定系数法求参数 \mathbf{\Psi}_{m} ，从而求出直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

2.根据垂直关系求直线方程的方法

(1)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率存在且不为0，与已知直线 \boldsymbol{y}=\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b} 垂直，则可设直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为 y=-(1)/(k)x+m(k\neq0) ，然后利用待定系数法求参数 \mathbf{\Psi}_{m} 的值，从而求出直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.(2)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 与已知直线 A x+B y+C=0 (A,B 不全为0)垂直，则可设 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为B x-A y+m=0 ，然后利用待定系数法求参数 \mathbf{\Psi}_{m} 的值，从而求出直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

[跟进训练]

2.已知点 A(2,2) 和直线 l:3x+4y-20=0 ，求过点 A 且与直线 \mathbf{\xi}_{l} 垂直的直线 l_{1} 的方程.

3.求与直线 5x+6y+9=0 平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程.

类型3平行与垂直在平面几何中

的应用

【例3】【链接教材P25例5】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O\left(0,0\right),P(1,t) ，Q(1-2t,2+t),R(-2t,2) ,其中断四边形OPQR的形状.

t>0 试判

[尝试解答]

反思领悟 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

[跟进训练]

4.已知点 A\left(0,3\right),B\left(-1,0\right),C\left(3,0\right) ，求点 D 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形 (A,B ，\boldsymbol{C},\boldsymbol{D} 按逆时针方向排列).

[学习效果·课堂评估夯基础]

1.（多选题）下列命题中，不正确的是 ( 0

A.斜率相等的直线一定平行
B.若两条不重合的直线 l_{1},l_{2} 平行，则它们的斜率一定相等
C.直线 l_{1} x=1 与直线 l_{2} ： x{=}2 不平行
D.直线 l_{1} ： (√(2)-1)x+y=2 与直线 l_{2} x+ (√(2)+1)\ensuremath{y=3} 平行

2.若过点 A\left(2,-2\right),B\left(5,0\right) 的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m) 的直线平行，则 \mathbf{\Psi}_{m} 的值为 ( ）

3.过点 (3,-1) 与直线 6x+7y-12=0 垂直的直线方程为

4.直线 l_{1},l_{2} 的斜率分别是方程 x^{2}-3x-1=0 的两个根，则 l_{1} 与 l_{2} 的位置关系是

5.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为 A\left(0,1\right),B\left(1,0\right),C\left(3,2\right) ，求第四个顶点D 的坐标.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.两直线 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1},B_{1} 不全为(),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{2},B_{2} 不全为0)平行的充要条件是什么？
2.两直线 l_{1}:y=k_{1}x+b_{1},l_{2}:y=k_{2}x+b_{2} 垂直的充要条件是什么？
3.与直线 A x+B y+C=0(A,B 不全为0)平行的直线的方程可设为什么？
4.与直线 A x+B y+C=0(A,B 不全为0)垂直的直线的方程可设为什么？

1.4 两条直线的交点

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹！进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁.假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程.

那么，把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？

知识点 直线的交点与直线的方程组解的关系

体验）1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打^{\ast}x^{\ast})

(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交. （ ）

(2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交. C ）

(3)直线系方程 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}+λ(A_{2}x+ B_{2}y+C_{2})=0 表示经过直线 A_{1}x+B_{1}y+C_{1} =0 和直线 A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0 交点的所有直线： ( ）

(4)直线 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 与直线 A_{2}x+ B_{2}y+C_{2}=0 有交点的等价条件是 A_{1}B_{2}- A_{2}B_{1}\ne0. )

体验2.直线 x=1 和直线 y=2 的交点坐标是 (

A.(2,2) B. (1,1) C.(1,2) D.(2,1)

体验3.当 0{<}k{<}1 时，两条直线 y=x+ 1,2x-y-k+2=0 的交点在 (

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限

类型1两条直线的交点问题

【例1】【链接教材P29例1】

判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.

(1)l_{1}:2x-y=7 和 l_{2} :3x+2y-7=0 ；(2)l_{1}:2x-6y+4=0 和 l_{2}:4x-12y+8=0 ；(3)l_{1}:4x+2y+4=0 和 l_{2}:y=-2x+3.

[尝试解答]

反思领悟 两条直线相交的判定方法

方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交.方法二：两直线斜率都存在且斜率不等.方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在.

[跟进训练]

1.若直线 l_{1} :y=k x+k+2 与直线 l_{2}:y=-2x +4 的交点在第一象限内，则实数 k 的取值范围是 （）

类型2 直线恒过定点问题

【例2】求证：不论 \mathbf{\nabla}_{m} 取什么实数，直线 (2m- 1)x+\left(m+3\right)y-\left(m-11\right)=0 都经过一定点，并求出这个定点坐标.

[尝试解答]

反思领悟 解含有参数的直线恒过定点的问题 [尝试解答]

(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点.(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A_{1}x+B_{1}y+C_{1}+λ(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0 其中 λ 是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其\begin{array}{r}{\left\{{{A_{1}}x+{B_{1}}y+{C_{1}}=0},\right.}\\ {\left.{{A_{2}}x+{B_{2}}y+{C_{2}}=0}\right.}\end{array} 定点可由方程组 解得.若整理成 y^{-}{y_{0}}{=}k(x{-}x_{0}) 的形式，则表示直线必过定点 (\mathbf{\Phi}_{(x_{0}},y_{0}) ：

跟进训练_

2.不论 \mathbf{\Psi}_{m} 为何实数，直线 (m{-}1)\b x{+}(2m{-}1)\b y =m-5 恒过的定点坐标是

类型3过两条直线交点的直线系

方程应用

【例3】【链接教材P30例3】

求过两直线 2x-3y-1=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程.

尝试与发现

1.已知一点与斜率，如何求直线的方程？

母题探究]

1.(变条件)本例中将“ 3x+y-1=0 "改为“ x+3y-1=0^{,} ',则如何求解？

2.过两条直线 2x-3y-1=0 与 x+y+2 =0 的交点的直线系方程是什么？

2.（变条件）本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？

1.直线 2x+y+8=0 和直线 x+y-1=0 的交点坐标是 C ）

A. (-9,-10) B.(-9,10) C. (9,10) D.(9,-10)

2.（多选题）下列各组直线中，两直线相交的是

A. _{y=x+2} 和 y=1
B. x-y+1=0 和 _{y=x+5}
C. x+m y-1=0(m\neq2) 和 x+2y-1=0
D. 2x+3y+1=0 和 4x+6y-1=0

3.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+k y=0 相交于一点，则 k 的值等于

4.不论 \mathbf{α}_{a} 取何值时，直线 (a-3)x+2a y+6=0 恒过第 象限.

5.已知直线 x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1 =0 的交点 M 在第四象限，求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值 范围.

反思领悟 过两条直线交点的直线方程的求法

(1)常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.两条直线 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 和 A_{2}x+ B_{2}y+C_{2}=0 相交的充要条件是什么？

2.过直线 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 与 A_{2}x+B_{2}y +C_{2}=0 交点的直线系方程是什么？

1.5 平面上的距离

1.5.1 平面上两点间的距离

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

(1)如图所示，数轴上有两点 x_{1}=-5 ,C2=7 ,则两点间的距离 \boldsymbol{x}_{1}\boldsymbol{x}_{2} 是多少？

(2)如图所示，在直角三角形中，直角三角形斜边的长度是多少？

(3）如图所示，点 O 与点 P 间的距离 O P 是多少？

那么对于平面上任意两点 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right) ，:P_{2}(x_{2},y_{2}) ，它们之间的距离 P_{1}P_{2} 是多少？

知识点1 两点间的距离

(1)条件：点 P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2}) ，

(2)结论： P_{1}P_{2}=√((x_{2)-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的打“ x". 0

(1)点 P_{1}(0,a) ，点 P_{2}(b,0) 之间的距离为a-b. ( ）

(2)当 A,B 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用. （）

(3）点 P_{1}(x_{1},y_{1}) ，点 P_{2}(x_{2},y_{2}) ，当两点连线所在直线平行于坐标轴时， P_{1}P_{2}=|x_{1}-x_{2}| .（）

体验2.已知 M(2,1),N(-1,5) ，则 M N 等于 ( ）

A.5 B. √(37) C. √(13) D. 4

体验3.直线 y=x 上的两点 P,Q 的横坐标分别是1,5，则 P Q 等于 ( ）

A. 4 B. 4√2 C.2 D. 2{√(2)}

知识点2中点坐标公式

一般地，对于平面上的两点 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right) ，P_{2}(x_{2},y_{2}) ，线段 P_{1}P_{2} 的中点是 M(x_{0},y_{0}) ，则 \scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle x_{0}={(x_{1}+x_{2})/(2)},}\\ {\displaystyle y_{0}={(y_{1}+y_{2})/(2)}.}\end{array}\right.}

体验4.已知 A(1,3),B(-5,1) ,那么线段A B 的中点坐标是

类型1 两点间的距离

【例1】【链接教材P34例1】如图，已知 \triangle A B C 的三个顶点 A\ (~-~3,1),B\ (~3~, 一3），C(1,7)，试判断\triangle A B C 的形状.

[思路探究] 求出△ABC的三边长，根据边长间的关系判断三角形的形状.

[尝试解答]

反思领悟 计算两点间距离的方法

(1)对于任意两点 P_{1}(x_{1},y_{1}) 和 P_{:}(x_{:},y_{:}) ， 则 P_{1}P_{2}=√((x_{2)-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.

[跟进训练]

1.已知点 A(-1,2),B(2,√(7)) ，在 x 轴上求一点 P ，使 P A=P B ，并求 P A 的值.

类型2中点坐标公式及应用

【例2】【链接教材P34例2】

\triangle A B C 的两个顶点为 B\left(2,1\right),C(-2,3) ，求BC边的垂直平分线的方程，

尝试解答]

反思领悟求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于一1，二是平分，即直线过线段的中点.

[跟进训练]

2.若 \triangle A B C 的顶点 A\left(-5,0\right),B\left(3,-2\right) ，\boldsymbol{C}(1,2) ，则经过 A B,B C 两边中点的直线方程为 ( ）

类型3利用坐标法解决平面几何

问题

【例3】【链接教材P36例3】已知在等腰梯形ABCD中， A B//D C ，对角线为 A C 和 B D .求证： A C=B D

尝试与发现

如何证明 A C=B D 7

尝试解答]

母题探究

1.（变条件）把本例的条件改为：在△ABC中， D 是 B C 边上任意一点（ \mathbf{\sigma}_{D} 与 B,C 不重合)，且 A B^{2}=A D^{2}+B D* D C. 求证：\triangle A B C 为等腰三角形.

2.(变条件)把本例的条件改为：在 \triangle A B C 中， A D 是 B C 边上的中线，求证： A B^{2}+A C^{2}=2(A D^{2}+D C^{2}) ，

反思领悟 利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤

(1)建立平面直角坐标系，尽可能地将有关元素放在坐标轴上.
(2)用坐标表示有关的量.
(3)将几何关系转化为坐标运算.
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.

1.已知点 (x,y) 到原点的距离等于1，则实数x,y 满足的条件是 C ）

A. x^{2}-y^{2}=1 B.\ x^{2}+y^{2}=0
C. {√(x^{2)+y^{2}}}=1 D.\ √(x^{2)+y^{2}}=0

2.已知点 M(-1,3) 和点 N(5,1) ，点 P(x,y) 到点 M,N 的距离相等，则 x,y 满足的条件 是

3.若三角形的顶点分别为 A(2,-3),B(-2 -5),C(6,4) ，则 _{A B} 边上的中线长为

4.已知点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上,线段_{A B} 的中点 M 的坐标是 \left({(5)/(2)},6\right) ，则 _{A B} 的长为

5.（源自人教A版教材）已知点 A(-1,2) ，B(2,√(7)) ，在 x 轴上求一点 P ，使 P A=P B ，并求 P A 的值.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.两点间距离公式是什么？
2.中点坐标公式是什么？

和0；代数中的公式可以使解题过程机械化；
代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力.

笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来.他说：“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题.我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何.”

笛卡儿曾计划写一本书《思想的指导法则》，在书中他大胆地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程.可是不久他自已就发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没有写完就搁下了（在他去世后人们将它出版).他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方程的方法来解.

配苏教版数学选择性必修第一册

1637年笛卡儿发表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方法论》，这是一本哲学的经典著作，包含了三个附录，《几何学》就是其中之一.《几何学》是笛卡儿所写的唯一一本数学书.笛卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想.于是后人就把这本《几何学》的发表作为解析几何创立的标志.

笛卡儿最初所使用的坐标系，两个坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且 y 轴并没有明显地出现.至于“坐标”“坐标系”“横坐标”“纵坐标”等名词，也都是后来人们逐渐使用的.虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，所以人们仍然把后来的直角坐标系，叫作笛卡儿直角坐标系.

差不多与笛卡儿同时，另一位法国数学家费马（Fermat,1601一1665)在自己的研究中也独立地形成了用方程表示曲线的思想.因此，费马和笛卡儿同为解析几何的创始人.

解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑.它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期.正如恩格斯在《自然辩证法》一书中所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进人了数学，有了变数，辩证法进人了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了.”

解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究.这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系.从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展.

提示请完成《课时分层作业（七）》 见第195页

1.5.2 点到直线的距离

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方

向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.若已知直线 l 的方程和点 P 的坐标 (\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}) ，如何求 P 到直线L的距离呢？

知识点1点到直线的距离

体验1.点 P(1,2) 到直线 y=2x+1 的距离为 ( ）

体验2.若第二象限内的点 P(m,1) 到直线 x+y+1=0 的距离为 √(2) ，则 \mathbf{\Psi}_{m} 的值为

知识点2 两条平行直线间的距离

续表

思考)(1)在运用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？

(2)在应用两条平行直线间的距离公式时对直线方程有什么要求？

体验3.两条平行直线 l_{1}:3x+4y-7=0 和 l_{2} ： 3x+4y-12=0 的距离为 ( ）

A.3 B.2 C.1 D. (1)/(2)

(2)求点 P(1,2) 到下列直线的距离：

尝试解答］

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反思领悟 点到直线距离的求解方法

(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后利用点到直线的距离公式.
(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.

[跟进训练］

1.求点 P_{0}(-1,2) 到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0 ：(2)x+y=2 ；
(3)_{\cal{y}}-1{=}0.

类型2两条平行直线间的距离

【例2】【链接教材P39例5】

(1)两条直线 l_{1}:3x+4y-4=0,l_{2}:6x+m y +2=0 平行，则它们之间的距离为 （ J

A. 4 B.5 C.6 D.1

(2）已知直线 l_{1} 过点 A\left(0,1\right),l_{2} 过点 B(5 ，0）,如果 l_{1}//l_{2} ，且 l_{1} 与 l_{2} 之间的距离为5，求 l_{1},l_{2} 的方程.

尝试解答]

反思领悟 求两条平行直线间的距离的两种思路

（1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算.

(2)利用两条平行直线间的距离公式求解，

[跟进训练]

2.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为 2x-y+1=0

(1)求过点 A(3,2) ，且与直线 \mathbf{\xi}_{l} 垂直的直线l_{1} 的方程；

(2)求与直线 \mathbf{\xi}_{l} 平行，且到点 P(3,0) 的距离为 √(5) 的直线 l_{2} 的方程.

尝试解答]

类型3距离公式的综合应用

【例3】【链接教材P40例6】已知正方形的中心为直线 2x-y+2=0,x 十y+1=0 的交点，正方形一边所在直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为 x+3y-5=0 ,求正方形其他三边所在直线的方程.

尝试与发现

1.正方形的中心到其四条边的距离有什么关系？
2.如何设与直线： ?:x+3y-5=0 平行的直线的方程？
3.如何设与直线 \iota_{:x}+3y-5=0 垂直的直线的方程？

母题探究]

1.（变结论）本题条件不变，求正方形的面积.

2.（变条件)把本例条件改为“直线 2x-y+(3)/(4) 2=0 和直线 x+y+1=0 为平行四边形的两条邻边”，求以(1，1)为中心的平行四边形的另两边所在直线的方程.

1.点(5，一3)到直线 x+2=0 的距离等于（ ）

A.7 B.5 C.3 D.2

2.若直线 l_{1} * x+a y+6=0 与 l_{2} {\bf\Phi}_{2}:(a-2)x+3y +2a=0 平行，则 l_{1},l_{2} 间的距离是 （ ）

3.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 与两直线 l_{1}:2x-y+3=0 和 l_{2} 2x-y-1=0 的距离相等，则 \mathbf{\xi}_{l} 的方程是

4.点 P(\boldsymbol{a},0) 到直线 3x+4y-6=0 的距离大 于3，则实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围为

5.已知直线 l_{1} :3x+4a y-2=0(a>0),l_{2}:2x+ y+2=0 ：

(1)当 a=1 时，直线 \mathbf{\xi}_{l} 过 l_{1} 与 l_{2} 的交点，且垂直于直线 x-2y-1{=}0 ，求直线 l 的方程；

(2)求点 M\Big((5)/(3),1\Big) 到直线 l_{1} 的距离 d 的最大值.

反思领悟 1.求参数问题

利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.

2.求方程的问题

立足确定直线的几何要素一一点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系（平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系），巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.

3.最值问题

（1）利用对称转化为两点之间的距离问题.
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.
(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.点到直线的距离公式是什么？
2.两平行直线间的距离公式是什么？
3.运用点到直线的距离公式时要注意什么？
4.运用两平行直线间的距离公式时要注意
什么？

巩固层·知识整合 （D

尝试解答］

提升层·题型探究

类型1直线的倾斜角与斜率

求直线的倾斜角与斜率的注意点

(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与 x 轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围.(2)当直线的倾斜角 0°<=slantα<90° 时，随着 α 的增大，直线的斜率 k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角 90°<α<180° 时，随着 α 的增大,直线的斜率 k 为负值且逐渐变大.

【例1】（1)已知直线 l 的倾斜角为 α ,并且 {0}° {<=slant}α{<}120° ，直线 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k 的范围是（ ）

A. -√(3)<k<=slant0 B.k>-√3C. k{>=slant}0 或 k{<}-{√(3)} D.k≥0或k<-(2)已知某直线 \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角 α=45° ，又 P_{1}(2 ，y_{1}),P_{2}(x_{2},5),P_{3}(3,1) 是此直线上的三点，求 \mathbf{\Phi}_{x_{2}},\mathbf{\Phi}_{y_{1}} 的值.

类型2求直线的方程

求直线方程的方法

求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况.

【例2】已知 \triangle A B C 的顶点 A\left(5,1\right),A B 边上的中线CM所在的直线方程为 2x-y-5= _{0,A C} 边上的高 B H 所在的直线方程为 x- 2y-5=0 求：

(1)A C 所在的直线的方程；
(2)点 B 的坐标.

尝试解答］

类型3两直线的平行、垂直及距离 类型4对称问题

问题

对称问题的求解策略

距离公式的运用

(1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离.
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.
(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力.

【例3】已知两条直线 l_{1}:a x-b y+4=0,l_{2} ：(a-1){x}+{y}+{b}=0 ,求分别满足下列条件的{\mathbf{\boldsymbol{a}}},{\mathbf{\boldsymbol{b}}} 的值.(1)直线 l_{1} 过点 (-3,-1) ,并且直线 l_{1} 与直线 l_{2} 垂直；(2)直线 l_{1} 与直线 l_{2} 平行，并且坐标原点到l_{1},l_{2} 的距离相等.

[思路探究]（1）把 (-3,-1) 代入 l_{1} 方程，同时运用垂直条件 A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0 ；(2）利用好平行条件及距离公式列方程.

[尝试解答]

(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是解决这类问题的关键.
(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面： ① 两点连线与已知直线斜率乘积等于-1 ② 两点的中点在已知直线上.
(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.

【例4】光线通过点 A(2,3) ,在直线 l:x+y +1=0 上反射，反射光线经过点 B(1,1) ，试求人射光线和反射光线所在直线的方程，

尝试与发现

1.怎样求点关于点的对称点？
2.怎样求点关于直线的对称点坐标？

尝试解答］

第2章

圆与方程

2.1 圆的方程

第1课时 圆的标准方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

如图所示，设平面直角坐标系中的 \odot C 的圆心坐标为 \boldsymbol{C}(1,2) ，而且半径为2.

(1)判断点 A(3,2) 是否在 \odot C 上；

(2）设 M(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，那么 M 在 {\odot}C 上的充要条件是什么？此时 x,y 要满足什么关系式？

知识点1圆的标准方程

(1)圆的定义：平面内到 的距离等于 的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是圆的半径.

(2)圆的标准方程：圆心为 A(a,b) 、半径长为 r 的圆的标准方程是

当 \scriptstyle a=b=0 时,方程为 x^{2}+y^{2}=r^{2} ，表示以为圆心、半径为 \boldsymbol{r} 的圆.

思考平面内确定圆的要素是什么？

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd^{\ n} ,错误的打“ x" 0

(1)方程 (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=m^{2} 表示圆.( ）

(2)若圆的标准方程是 \scriptstyle(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=m^{2} (m{\ne}0) ，则圆心为 (a,b) ，半径为 m. ）(3)圆心是原点的圆的标准方程是 x^{2}+y^{2}=r^{2}(r {>}0) ： （）

体验2.以原点为圆心、2为半径的圆的标准方程是

A. x^{2}+y^{2}=2 B.{\boldsymbol{x}}^{2}+{\boldsymbol{y}}^{2}=4 C (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=8\quadD.x^{2}+y^{2}={√(2)}

知识点2点与圆的位置关系

\scriptstyle(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r>0) ,其圆心为 C(a,b) ， 半径为 \boldsymbol{r} ，点 P\ (\ x_{0},\ y_{0}) ，设 d=\mid P C\mid ={√(\left(x_{0)-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}}}.

类型1 求圆的标准方程

【例1】【链接教材P56例1】

求过点 A(1,-1),B(-1,1) ，且圆心在直线x+y-2=0 上的圆的标准方程.

尝试解答]

续表

体验3.已知点 P(1,-1) 在圆 (x+2)^{2}+ y^{2}=m 的内部，则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是

反思领悟 确定圆的标准方程的方法

(1)几何法
利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法
待定系数法是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
① 设一设所求圆的方程为 (x-a)^{2}+(y-b)^{2} =r^{2} ；
② 列一由已知条件，建立关于 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol{b}},\mathbf{\boldsymbol{r}} 的方程组；
③ 解一解方程组，求出 \mathbf{δ}_{a,b,r}
④ 代一将 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol{b}},\mathbf{\boldsymbol{r}} 代入所设方程，得所求圆的方程.

[跟进训练]

1.已知圆 C 经过 A\left(5,1\right),B\left(1,3\right) 两点，圆心在x 轴上，则 C 的标准方程为

类型2 圆的标准方程的实际应用

【例2】【链接教材P56例2】

一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时，拱桥最高点距水面 8~m~ ,拱桥内水面宽 32~m~ ,船只在水面以上部分高 6.5~m~ ，船顶部宽 8~m~ ，故通行无阻，如图所示.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；(2)近日水位暴涨了 2~m~ ，船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到 0.1~{m},√(6)\approx2.45)

[尝试解答]

反思领悟解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用.应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，关键是结合图形特点，建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为代数运算.

跟进训练]

2.已知隧道的截面是半径为 4~m~ 的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为

2.7~m~ ,高为 3~m~ 的货车能不能驶入？

类型3与圆有关的最值问题

【例3】已知 \mathbf{\Psi}_{x} 和 y 满足 (x+1)^{2}+y^{2}=(1)/(4) ，试求 x^{2}+y^{2} 的最值.

尝试与发现

1.点 (\boldsymbol{\mathscr{x}},\boldsymbol{\mathscr{y}}) 所在的曲线是什么？
2. x^{2}+y^{2} 的几何意义是什么？

尝试解答］

母题探究]

1.(变条件)把本例中圆的方程变为 \left(x+1\right)^{2} +y^{2}=4 ,则过（0,0)的弦中，最长弦长为,最短弦长为

2.(变结论)本例条件不变,试求 (y)/(x) 的取值范围.

1.圆心为(1,1)，且过原点的圆的标准方程是1

A. (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1
B. (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=1
C. (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=2
D. (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2

2.两个点 M(2,-4),N(-2,1) 与圆 C:x^{2}+y^{2} -2x+4y-4=0 的位置关系是 ( ）

A.点 M 在圆 C 外，点 N 在圆 C 外B.点 M 在圆 C 内，点 N 在圆 C 内C.点 M 在圆 C 外，点 N 在圆 C 内D.点 M 在圆 C 内，点 N 在圆 C 外

3.圆心为直线 x-y+2=0 与直线 2x+y-8= 0的交点，且过原点的圆的标准方程是

4.经过圆 C:(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4 的圆心且斜率为1的直线方程为

5.已知某圆圆心在 x 轴上，半径为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程。

反思领悟 与圆有关的最值问题的常见类型及解法

(1)形如u= 形式的最值问题，可转化为过点 (x,\ y) 和 (a,b) 的动直线斜率的最值问题.

(2)形如 l=a x+b y 形式的最值问题，可转化为动直线 y=-{(a)/(b)}x+{(l)/(b)} 截距的最值问题.

(3)形如 (x-a)^{2}+(y-b)^{2} 形式的最值问题，可转化为动点 (x,y) 到定点 (a,b) 的距离的平方的最值问题.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.圆的标准方程是什么？
2.如何判断点与圆的位置关系？
3.代数式 3.代数式u=yb 、 l{=}a x{+}b y,(x{-}a)^{2}{+} (y-b)^{2} 的几何意义分别什么？

坐标法与数学机械化

笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河.解析几何坐标法的形成、发展和完善，使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程求解.同时坐标法使计算机应用到几何定理的证明中成为可能.

明确提出机器可以成为推理工具的思想，要追溯到17世纪德国数学家莱布尼茨（Leibniz,1646一1716，微积分创始人之一）.他受笛卡儿思想的启发，认为笛卡儿创立的解析几何，目的是将几何推理转化为计算.遗憾的是，由于当时的条件限制，计算仅仅是手工操作（手摇计算机），无法进行大量复杂的计算，所以用机器实现几何定理证明的想法无法实现.

20世纪以后，计算机迅速发展.计算机的发明使一些数学家又开始探讨几何定理证明机械化的可能性.1950年，波兰数学家塔斯基得到一个引人注目的结论：一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定.由于他的判定方法太复杂，在实践中没有太大的进展.1959年，美籍华裔数学家王浩(1921—1995)在这方面作出了鼓舞人心的工作，他在计算机上只用了9分钟就证明了《数学原理》罗素和怀特海著)中的350多个命题，并第一次明确提出了“走向数学的机械化”的口号，

20世纪70年代以后，我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献，并创立了“吴方法”.吴文俊是我国最具国际影响的数学家之一.他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献.曾获得首届国家最高科学技术奖（2000年)、首届国家自然科学一等奖（1956年)、首届求是杰出科学家奖（1994年）、邵逸夫数学奖（2006年）、国际自动推理最高奖一—埃尔布朗自动推理杰出成就奖(1997年)等.“文华逾九章，拓扑公式彪史册.俊杰胜十书，机器证明誉寰球”是对他一生工作的高度概括.

吴文俊机器证明的思想，主要是从笛卡儿的坐标法和中国古代解方程的计算方法而来的.他认为，欧氏几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理，或说在图形之间，或者是把数量关系归之于空间形式，或者干脆排除数量关系.另一个体系刚好与之相反，是把空间形式转化成数量关系来处理这种考虑方式就是中国的传统，早在11世纪左右就已产生，当时引进的概念叫天元、地元等，用现在的符号就相当于引进了 x,y 等.用天元、地元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的一种方程（即 x,y 之间的一种方程)，即17世纪解析几何的坐标法.

吴文俊认为，欧氏几何体系是非机械化的，把空间形式数量化是机械化的.吴文俊说：“我从事几何定理证明时，首先取适当的坐标，于是几何定理的假设与终结通常都成为多项式方程，称之为假设方程与终结方程.满足定理假设的几何图象，就相当于假设方程组的一个解答或零点.要证明定理成立，就要证明假设方程的零点也使终结多项式为零.”由于计算机的发展与众多数学家（特别是以吴文俊为首的一批中国数学家)的努力，大约在1976与1977年之交，几何定理机器证明的梦想终于实现了.提出用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为是自动推理领域的先驱性工作.进人20世纪80年代以后，吴文俊和他的同行把几何定理机器证明的方法发展成为数学机械化方法.

请你查阅有关资料，进一步了解吴文俊的事迹，了解我国数学家在数学机械化方面的卓越贡献.

第 2课时 圆的一般方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

(1)把 \displaystyle(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} 展开是一个什么样的关系式？

(2)把 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？

这就是今天我们将要研究的问题.

知识点 圆的一般方程

(1)圆的一般方程的概念方程 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0( 叫作圆的一般方程.其中圆心为,圆的半径为 r=

(2)对方程 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 的说明思考方程 A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F =0 表示圆的条件是什么？

体验）1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打? *_{\bigtriangledown}x\mathbf{\vec{\Sigma}})

(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程. ( >(2)圆的一般方程和标准方程可以互化.C(3)方程 x^{2}+y^{2}+a x+2a y+2a^{2}+a-1=0 表示圆心为 \left(-{(a)/(2)},-a\right) ，半径为 (1)/(2)√(-3a^{2)-4a+4} 的圆. Y ）

(4)若点 M(x_{0},y_{0}) 在圆 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F =0 外，则 x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+D x_{0}+E y_{0}+F>0. （ ）

体验2.若方程 x^{2}+y^{2}+2λ x+2λ y+2λ^{2}-λ +1{=}0 表示圆，则 λ 的取值范围是 ( ）

A. (1,+∞) B.\left[{(1)/(5)},1\right] C.~(1,+∞)\bigcup\big(-∞,(1)/(5)\big)\ ~D.\ \mathbf{R} 体验3.过点 (0,0),(4,0) 和(0,6)三点的圆的一般方程为

类型1 圆的一般方程的认识

【例1】若方程 x^{2}+y^{2}+2m x-2y+m^{2}+5m =0 表示圆,求：

(1)实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围；
(2)圆心坐标和半径.

[尝试解答]

反思领悟解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看 D^{2}+E^{2}-4F 是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.

跟进训练]

1.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径.

类型2求圆的一般方程

【例2】【链接教材P58例3】

已知 \triangle A B C 的三个顶点为A（1，4），B(-2,3),C(4,-5) ，求 \triangle A B C 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.

尝试解答］