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反思领悟 利用待定系数法求圆的一般方程的步骤

(1)根据题意，设所求的圆的一般方程为 x^{2} +y^{2}+D x+E y+F{=}0
(2)根据已知条件，建立关于 \boldsymbol{D},\boldsymbol{E},\boldsymbol{F} 的方程组；
(3)解方程组，求出 \boldsymbol{D},\boldsymbol{E},\boldsymbol{F} 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程.

[跟进训练]

2.已知圆 C:x^{2}+y^{2}+D x+E y+3=0 ,圆心在直线 x+y-1=0 上，且圆心在第二象限，半径长为 √(2) ,求圆的一般方程.

类型3与圆有关的轨迹问题

【例3】点 A(2,0) 是圆 x^{2}+y^{2}=4 上的定点，点 B(1,1) 是圆内一点， P,Q 为圆上的动点.(1)求线段 A P 的中点 M 的轨迹方程；(2)若 \angle P B Q=90° ，求线段 P Q 的中点 N 的轨迹方程.

尝试与发现

1.线段 A P 的中点 M 的坐标为 M(x,y) ，那么点 P 的坐标是什么？
2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？

尝试解答］

母题探究]

1.(变结论)在本例条件不变的情况下,求过点 B 的弦的中点 T 的轨迹方程.

2.（变结论)本例条件不变，求BP的中点 E 的轨迹方程.

1.若方程 x^{2}+y^{2}-x+y+m=0 表示一个圆，则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是 ( 0

A.m< B.m≤ C. m{<}2 D,m{<=slant}2

2.若圆 x^{2}+y^{2}-2k x+2y-4=0 关于直线 2x -y+3=0 对称，则实数 k 等于

3.设圆 x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0 的圆心为 A ，点 P 在圆上，则 P A 的中点 M 的轨迹方程是

4.（源自湘教版教材）已知 A\left(0,0\right),B\left(6,0\right) ，C(-1,7) ，求 \triangle A B C 的外接圆的圆心坐标和半径.

反思领悟1.直接法求轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标(\boldsymbol{\mathscr{x}},\boldsymbol{\mathscr{y}}) ；
(2)列出点 M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.

2.代入法求轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标为 (\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}},\boldsymbol{\mathbf{\mathit{y}}}) ；
(2)建立 x,y 与相关点的坐标 \mathbf{\Phi}_{X_{0}},\mathbf{\Phi}_{Y_{0}} 的方程；
(3)用 x,y 表示 {\boldsymbol{x}}_{0},{\boldsymbol{y}}_{0} ；
(4)把 (\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}) 代入到相关点满足的方程；(5)化简方程为最简形式.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.圆的一般方程是什么？
2.方程 A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0 表示圆的条件是什么？
3.求轨迹方程的一般方法有哪些？

2.2 直线与圆的位置关系

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句.它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.

图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？

知识点直线与圆的三种位置关系及判定

思考判断直线与圆的位置关系有哪些常用方法？

体验）1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打*_{x}\mathfrak{v}_{)}

(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断. （ ）

(2)过圆外一点作圆的切线有两条．（）

(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离. C ）

(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相 切.

体验2.直线 3x+4y-5=0 与圆 x^{2}+y^{2}=1 的位置关系是 ( ）

A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断

体验3.设 A,B 为直线 y=x 与圆 x^{2}+y^{2} =1 的两个交点，则 |A B|= ( ）

A. 1 B.√2 C. √(3) D.2

类型 1 直线与圆的位置关系

【例1】【链接教材P63例1】

已知直线方程 m x-y-m-1=0 ，圆的方程x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0. 当 \mathbf{\Psi}_{m} 为何值时,圆与直线：

(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.

[尝试解答]

反思领悟 直线与圆位置关系判断的三种方法

（1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径 \boldsymbol{r} 的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.

[跟进训练]

1.已知直线 l_{:}(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 ，圆 C_{:}(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25 ,则直线 \mathbf{\xi}_{l} 与圆C 的位置关系为

类型2 直线与圆相切问题

【例2】【链接教材P64例2】

(1)已知直线 l:a x+b y-3=0 与圆 M:x^{2}+ y^{2}+4x-1=0 相切于点 P(-1,2) ,则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程为

(2)过点 A(4,-3) 作圆 (x-3)^{2}+(y-1)^{2}= 1的切线，求此切线方程.

[思路探究］（1)利用 M P\bot l ，同时点 P 在直线 \mathbf{\xi}_{l} 上.

(2)先确定点 A 在圆外，利用 d{=}r 求切线方程.

尝试解答]

反思领悟 圆的切线方程的求法

(1)点在圆上时

求过圆上一点 (\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}) 的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k ，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程。如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 {\bf\Phi}_{y}={\bf\Phi}_{y_{0}} 或 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} ：

(2)点在圆外时

① 几何法：设切线方程为 y^{-}{y_{0}}=k(x{-}x_{0}) ： 由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k ，也 就得切线方程.

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② 代数法：设切线方程为 y^{-}{y_{0}}=k({x}^{-}{x_{0}}) ，与圆的方程联立，消去 _y 后得到关于 x 的一元二次方程，由 \scriptstyle\Delta=0 求出 k ，可得切线方程.提醒：要注意切线的斜率不存在的情况.

[跟进训练]

2.若圆 C_{:}x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0 关于直线2a x+b y+6=0 对称，则由点 (a,b) 向圆 c 所作的切线长的最小值为

类型3 直线与圆相交问题

【例3】【链接教材P65例3】

(1)求直线 l:3x+y-6=0 被圆 C:x^{2}+y^{2}- 2y-4=0 截得的弦长 |A B| ：
(2)过点 (-4,0) 作直线 \mathbf{\xi}_{l} 与圆 x^{2}+y^{2}+2x -4y-20=0 交于 A,B 两点，如果 |A B|= 8，求直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

尝试与发现

1.若直线与圆交于两点 A,B ，连接 _{A B} 的中点 M 和圆心 c ，则在直角三角形ACM中，应用勾股定理可得到什么？

2.在问题1中如何表示CM的长？

尝试解答］

反思领悟 求弦长常用的三种方法

(1)利用圆的半径 \boldsymbol{r} 、圆心到直线的距离 d 、弦长 \mathbf{\xi}_{l} 之间的关系 \left({(1)/(2)}l\right)^{2}+d^{2}=r^{2}

(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，用两点间距离公式计算弦长.

(3)利用弦长公式，设直线 l{:}y{=}k x{+}b. 与圆的两交点 (\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{y}_{1}),(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}_{2}) ,将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 \scriptstyle{l={√(1+{k)^{2}}}} ·|x_{1}-x_{2}|=√((1+k^{2))\big[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}\big]}= √(1+(1)/(k^{2))}\mid y_{1}-y_{2}\mid=√(1+(1)/(k^{2))}\bullet√((y_{1)+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}.

[跟进训练]

3.直线 m:x+y-1=0 被圆 M:x^{2}+y^{2}-2x- 4y=0 截得的弦长为 (

A. 4 B.2{√(3)}\qquadC.{(1)/(2)}\qquadD.{(1)/(3)}

类型4直线与圆位置关系的实际

应用

【例4】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70~km 处，受影响的范围是半径为 30~km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40~km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

[思路探究］以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决.

尝试解答]

反思领悟 直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤

（1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和待求的数据；
(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.

1.直线 3x+4y+12=0 与圆 (x-1)^{2}+(y+ {\bf1})^{2}=9 的位置关系是 ( ）

A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心

2.若直线 {√(3)}x-2y=0 与圆 (x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r {>}0) 相切，则 r= Y 0

A. (48)/(7) B.5
*(4√(21))/(7) D.25

3.若直线 x-y=2 被圆 (x-a)^{2}+y^{2}=4 所截 得的弦长为 2{√(2)} ,则实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的值为（

A.-1或 *√(3) B.1或3
C. ^{-2} 或6 D.0或4

4.已知直线 {{x-m}}{y}+1=0 与 \odot C_{:}(x-1)^{2}+y^{2} =4 交于 A,B 两点，写出满足“ \triangle A B C 面积为 (8)/(5) ”的 \mathbf{\Psi}_{m} 的一个值

5.已知圆 C 经过点 A\left(2,0\right),B\left(1,-√(3)\right) ，且圆 心 c 在直线 y=x 上.

[跟进训练]

4.一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后,水面宽度为 ( ）

A.14米 B.15米C. √(51) 米 D.2 √(51) 米

(1)求圆 C 的方程；

(2)过点 \big(1,(√(3))/(3)\big) 的直线 \mathbf{\xi}_{l} 截圆 C 所得弦长为 2{√(3)} ,求直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.判断直线与圆的位置关系有几种方法.
2.常用的求弦长的方法有哪些？

2.3 圆与圆的位置关系

情境与问题

如图为在某地拍到的日环食全过程.

可以用两个圆来表示变化过程.

根据上图，结合平面几何知识，判断圆与圆的位置关系有几种？能否通过数量关系表示这些圆的位置关系？

知识点 圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为 r_{1},r_{2} ，两圆的圆心距为 d ,则两圆的位置关系的判断方法如下：

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.

圆 C_{1} 方程 消元 \left\{\begin{array}{l}{{\Delta>0\Rightarrow\qquad,}}\\ {{\Delta=0\Rightarrow\qquad,}}\\ {{\Delta<0\Rightarrow\qquad.}}\end{array}\right. 一元二次方程
圆 C_{2} 方程

思考将两个相交的非同心圆的方程 x^{2}+y^{2} +D_{i}x+E_{i}y+F_{i}=0(i{=}1,2) 相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？

体验）1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打? *_{\bigtriangledown}*\boldsymbol{\bigtriangledown}^{,,})

(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交. (

(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.-

(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立. ）

(4)若两圆有公共点，则 \mid r_{1}-r_{2}\mid<=slant d<=slant r_{1}+ r_{2} (

体验2.圆 O_{1} x^{2}+y^{2}-2x=0 和圆 O_{2}:x^{2} +y^{2}-4y=0 的位置关系为 ( ）

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

体验3.已知两圆 x^{2}+y^{2}=10 和 (x-1)^{2} +(y-3)^{2}=10 相交于 A,B 两点，则直线_{A B} 的方程是

类型1 圆与圆的位置关系的判断

【例1】【链接教材P68例1】

当实数 k 为何值时，两圆 C_{1} x^{2}+y^{2}+4x- 6y+12=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}-2x-14y+k=0 相交、相切、外离？

[尝试解答]

反思领悟判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：

(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离 d ：
(3)通过 d,r_{1}+r_{2},\mid r_{1}-r_{2}\mid 的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.

[跟进训练]

1.已知圆 C_{1} ： x^{2}+y^{2}-2a x-2y+a^{2}-15=0, 圆 C_{2} ： x^{2}+y^{2}-4a x-2y+4a^{2}=0\left(a>0\right), 试求 \scriptstyle a 为何值时，两圆 \mathbf{C}_{1},\mathbf{C}_{2} 的位置关系为：

(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.

类型2 两圆相切问题

【例2】【链接教材P69例2】

(1)圆 C_{1} (x-m)^{2}+(y+2)^{2}=9 与圆 C_{2} ： (x+ 1)^{2}+(y-m)^{2}=4 相外切,则 \mathbf{\Sigma}_{m} 的值是

(2)求半径为4，与圆 (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9 相切，且和直线 y=0 相切的圆的方程.

[思路探究］（1)利用 \mid C_{1}C_{2}\mid=r_{1}+r_{2} 建立方程来求出 \mathbf{\Psi}_{m} 的值.

(2)分外切与内切两种情况，与其他条件联立建立方程组，求出标准方程的三个参数值即可.

[尝试解答]

反思领悟 处理两圆相切问题的两个步骤

(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切， 若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外 切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为 两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值 （内切时）或两圆半径之和(外切时).

[跟进训练]

2.求与圆 x^{2}+y^{2}-2x=0 外切且与直线 x+ {√(3)}y=0 相切于点 M(3,-{√(3)} )的圆的方程.

类型3 两圆相交问题

【例3】已知圆 C_{1} x^{2}+y^{2}+6x-4=0 和圆 C_{2}:x^{2}+y^{2}+6y-28=0.

(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求经过两圆交点且圆心在直线 x-y-4 =0 上的圆的方程.

尝试与发现

1.两圆相交时，如何求出公共弦所在直线的方程？

2.两圆公共弦长如何求得？

尝试解答]

母题探究]

1.(变结论)在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程.

2.（变结论)本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程.

1.（教材P71习题 2.3T1 改编)圆 C_{1} x^{2}+y^{2}+ 2x+8y-8=0 与圆 C_{2} * x^{2}+y^{2}-4x-4y-1 =0 的位置关系是 ( ）

A.外离 B.外切 C.相交 D.内含

2.圆 x^{2}+y^{2}-4x+6y=0 和圆 x^{2}+y^{2}-6x=0 交于 A,B 两点，则 A B 的垂直平分线的方程是 ( ）

A. x+y+3=0 B. 2x-y-5=0 \therefore3x-y-9=0 D. 4x-3y+7=0

3.已知点 P 在圆 O{:}x^{2}+y^{2}{=}1 上运动，点 Q 在圆C_{:}(x-3)^{2}+y^{2}=1 上运动，则 |P Q| 的最小值为

4.已知圆 C_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4 ，圆 C_{2} x^{2} +y^{2}=1 ，则过圆 C_{1} 与圆 C_{2} 的两个交点且过原点 O 的圆的方程为

5.（源自湘教版教材）已知圆 C_{1}:x^{2}+y^{2}+x+ 2y-3=0 与圆 C_{2} x^{2}+y^{2}-6=0 相交，求经过圆 C_{1} 与圆 C_{2} 的两个交点的直线方程.

反思领悟1.求两圆公共弦长的方法

一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；
二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.

2.过两圆的交点的圆的方程

已知圆 C_{1} x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0 与圆 C_{2} \Sigma_{2}:x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0 相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 x^{2}+y^{2} +D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+λ(x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y +F_{2})=0(λ{\ne}-1).

课堂小结

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系，如何判断两个圆的位置关系？
2.如何求两圆的公共弦所在直线的方程？

提示请完成《课时分层作业（十二）》见第205页

章末 综合提升

巩固层·知识整合 Q

提升层·题型探究

类型1求圆的方程

1.求圆的方程的方法

求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.

2.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤

(1)选择圆的方程的某一形式.
(2)由题意得 \mathbf{\Psi}_{a} ， b ， \boldsymbol{r} （或 D ，E， F )的方程(组).
(3)解出 a,b ， r （或 D,E,F) ：
(4)代人圆的方程.

【例1】已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x -3y=0 上，且被直线 y=x 截得的弦长为2{√(7)} ,求圆 C 的方程.

[思路探究]设标准方程，由相切可得 d= r ，由圆心在直线上，可将 (a,b) 代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式.通过求解方程组，从而得到圆的方程.

[尝试解答］

类型 2 直线与圆的位置关系

判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离 d ，然后比较所求距离 d 与半径 r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系.

【例2】如图，在平面直角坐标系 x O y 中，已知以 M 为圆心的圆 M:x^{2}+y^{2}- 12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4) ：

(1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；

(2)设平行于 O A 的直线 \mathbf{\xi}_{l} 与圆 M 相交于 B ，C 两点，且 B C{=}O A ，求直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

[尝试解答]

类型3 圆与圆的位置关系

判断两圆位置关系的两种方法比较

(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系.
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.

【例3】已知圆 C_{1} ： x^{2}+y^{2}+4x-4y-5=0 与 圆 C_{2} \scriptstyle;x^{2}+y^{2}-8x+4y+7=0.

(1)证明圆 C_{1} 与圆 C_{2} 相切，并求过切点的两圆公切线的方程；

(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点 的圆的方程.

尝试解答］

第3章

圆锥曲线与方程

3.1 椭圆

3.1. 1 椭圆的标准方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点 F_{1} ’ F_{2} （如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

知识点1 椭圆的定义

平面内到两个定点 F_{1},F_{2} 的距离之和等于的点的轨迹叫作椭圆，叫作椭圆的焦点，
叫作椭圆的焦距.

思考(1)椭圆定义中将“大于 \mid F_{1}F_{2} |”改为“等于 \mid F_{1}F_{2} I”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)椭圆定义中将“大于 \mid F_{1}F_{2} |”改为“小于\mid F_{1}F_{2} |”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

知识点2椭圆的标准方程

体验1.椭圆的两个焦点坐标分别为 F_{1} (0,-8),F_{2}(0,8) ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为（）

类型1 求椭圆的标准方程

【例1】【链接教材P83例1、例2】

求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为 F_{\scriptscriptstyle1}\left(-4,0\right) ，F_{2}(4,0) ，并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为 (0,-2),(0,2) ，经过点(4,3{√(2)}) ；

(3)经过两点 (2,-√(2)),\Big(-1,(√(14))/(2)\Big).

[尝试解答]

第3章圆锥曲线与方程

体验2.方程 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(a+6)=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是

反思领悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的一般步骤

(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能.(2)设方程；根据上述判断设方程+ (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1 (a>b≥0)或+ (x^{2})/(b^{2)}+(y^{2})/(a^{2)}=1(a>b>0) 或整式形式 m x^{2}+n y^{2}=1(m{>}0,n{>}0,m{\neq}n) (3)找关系：根据已知条件建立关于 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol{b}},\mathbf{\boldsymbol{c}} （或 m,n) 的方程组.(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.

[跟进训练]

.求与椭圆 (x^{2})/(25)+(y^{2})/(9)=1 有相同焦点，且过点（3，√(15) )的椭圆的标准方程.

类型2椭圆中的焦点三角形

【例2】（1)已知椭圆 (x^{2})/(16)+(y^{2})/(12)=1 的左焦点是F_{1} ，右焦点是 F_{2} ，点 P 在椭圆上.如果线段{P F}_{1} 的中点在 _y 轴上,那么 \mid P F_{1}\mid\ :\mid P F_{2}\mid \mathbf{\Sigma}= （ ）

(2)已知在椭圆 (x^{2})/(4)+(y^{2})/(3)=1 中，点 P 是椭圆上一点， F_{1},F_{2} 是椭圆的焦点，且 \angle P F_{1}F_{2}= {120}° ，则 \triangle P F_{1}F_{2} 的面积为

[尝试解答]

母题探究

1.(变条件)本例(2)中,把“ \angle P F_{1}F_{2}=120°{}^{,} 改 为“ \angle P F_{1}F_{2}=90° ，求 \triangle P F_{1}F_{2} 的面积

.(变条件、变结论)本例（2)中方程改为 style{(x^{2})/(a^{2)}} +(y^{2})/(b^{2)}=1\left(a>b>0\right) ，且把“/PF,F2= {120}° 改为“ \angle F_{1}P F_{2}=120°{}^{,} .若 \triangle P F_{1}F_{2} 的面积为 √(3) ，求 b 的值.

反思领悟 椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧

(1)椭圆的定义具有双向作用，即若 \mid M F_{1}\mid +\mid M F_{2}\mid=2a(2a{>}\mid F_{1}F_{2}\mid )，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a (2)涉及焦点三角形面积时，可把 \mid P F_{1}\mid ，\mid{P F_{2}}\mid 看作一个整体，运用 \mid P F_{1}\mid^{2}+\mid P F_{2}\mid^{2} =(\mid P F_{1}\mid+\mid P F_{2}\mid)^{2}-2\mid P F_{1}\mid\bullet\mid P F_{2}\mid 及余弦定理求出 \mid P F_{1}\mid\bullet\mid P F_{2}\mid ,而无须单独求解.

类型3与椭圆有关的轨迹问题

【例3】（1)已知 P 是椭圆 (x^{2})/(4)+(y^{2})/(8)=1 上一动点， O 为坐标原点，则线段 O P 中点 Q 的轨迹方程为

(2)如图所示，圆 C_{:}(x+ 1)^{2}+y^{2}=25 及点 A(1 ，0)， Q 为圆上一点， A Q 的垂直平分线交 C Q 于点M ，求点 M 的轨迹方程，

尝试解答］

反思领悟1.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法.

2.对定义法求轨迹方程的认识

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛运用，是一种重要的解题方法.

3.代入法（相关点法）

若所求轨迹上的动点 P(x,y) 与另一个已知曲线 C_{:}F(x,y){=}0 上的动点 Q(x_{1},y_{1}) 存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x,y) \scriptstyle=0 ,化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).

[学习效果·课堂评估夯基础]

1.椭圆 (x^{2})/(25)+y^{2}=1 上一点 P 到一个焦点的距离为2,则点 P 到另一个焦点的距离为（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

2.已知椭圆 4x^{2}+k y^{2}=4 的一个焦点坐标是（0,1）,则实数 k 的值是 ( 1

A.1 B.2 C.3 D. 4

3.若方程 (x^{2})/(m)+(y^{2})/(2m-1)=1 表示椭圆，则实数m 满足的条件是

4.椭圆的两焦点为 F_{1}(-4,0),F_{2}(4,0) ，点 P 在椭圆上，若 \triangle P F_{1}F_{2} 的面积最大为12，则椭圆的标准方程为

5.设 F_{1},F_{2} 分别是椭圆 C:(x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 的左、右焦点,设椭圆 C 上一点 {\bigl(}{√(3)},{(√(3))/(2)}{\bigr)} 到两焦点F_{1},F_{2} 的距离和等于4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标.

跟进训练]

2.已知 x 轴上一定点 A\left(1,0\right),Q 为椭圆 {(x^{2})/(4)}+y^{2} =1 上任一点，求线段 A Q 中点 M 的轨迹方程.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.椭圆的标准方程是什么？

2.方程 {(x^{2})/(m)}+{(y^{2})/(n)}=1 一定表示椭圆吗？

3.求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有哪些方法？

倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆

在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的.你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？

如图所示，假设平面 α 与圆柱相交，而且平面 α 不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：平面 α 与圆柱表面的交线 C 是一个椭圆.

取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面 α 的两侧放入圆柱内（这两个球称为圆柱面的两个内切球），并使得两个球都与平面 α 相切，切点分别为 F_{1},F_{2}

设 P 为交线 C 上任意一点，过 P 作圆柱的母线，分别与两个球相切于 A,B. 可以看出，{P F}_{1} 与 P A 是同一个球的两条切线， {P F}_{2} 与P B 也是同一个球的两条切线，因此 \mid P F_{1}\mid= \mid P A\mid,\mid P F_{2}\mid=\mid P B\mid ，从而 \mid P F_{1}\mid+\mid P F_{2}\mid= |P A|+|P B|=|A B| ，又因为 _{A B} 的值是不变的，因此 P 到 F_{1} 与 F_{2} 的距离之和是一个常数，且 \mid A B\mid>\mid F_{1}F_{2}\mid ，这就证明了 C 是一个椭圆.

提示请完成《课时分层作业（十三）》见第207页

3.1.2 椭圆的几何性质

第1课时 椭圆的几何性质

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在（其实什么都没有），所以能产生很好的听觉效果.其实情境趣味导学·预习素养感知这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？

知识点1椭圆的简单几何性质

续表

体验1.经过点 P(3,0),Q(0,2) 的椭圆的标准方程为 (

体验2.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为 (0,{√(3)}) ，则椭圆的标准方程是

知识点2 离心率

(1)定义：焦距与长轴长的比 叫作 椭圆的离心率，记为e.

(2)性质：离心率 e 的范围是 .当 e 越接近于1时，椭圆 ;当 \boldsymbol{\mathscr{e}} 越接近于时，椭圆就越接近于圆.

思考离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？

(2)求椭圆 9x^{2}+16y^{2}=144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标

尝试解答］

母题探究]

1.(变条件)本例(1)中把方程 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=λ(λ\overset{*}{\underset{*}{\downarrow}} {>}0 且 λ{\neq}1 ）”改为“ (x^{2})/(a^{2)+λ}+(y^{2})/(b^{2)+λ}{=}1(λ\neq(1)/(2)

0)”，结果会怎样呢？

2.(变条件)本例(2)中，把方程改为“ 16x^{2}+ 9y^{2}=144^{\prime} ”，结果又会怎样呢？

反思领悟 由标准方程研究性质时的两点注意

(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与 b ,正确利用 \boldsymbol a^{2}=\boldsymbol b^{2}+\boldsymbol c^{2} 求出焦点坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不分别是 \scriptstyle{a,b,c} ，而应分别是 2a,2b,2c ：

类型2由几何性质求椭圆的方程

【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0),离心率e=(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点 M(1,2) ，且与椭圆 (x^{2})/(12)+(y^{2})/(6)=1 有相同的离心率.

[尝试解答］

反思领悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
① 确定焦点位置；
② 设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③ 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组)求参数，列方程（组)时常用的关系式有 b^{2}=a^{2}-c^{2},e=(c)/(a) 等.

(2)在椭圆的简单几何性质中，由轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.

提醒:与椭圆 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 有相同离 心率的椭圆方程为 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=k_{1}\left(k_{1}>0\right. ，焦点 在 x 轴上)或 (y^{2})/(a^{2)}+(x^{2})/(b^{2)}=k_{2}(k_{2}>0 ，焦点在 y 轴 上).

[跟进训练]

已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0) ，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程.

类型3求椭圆的离心率

【例3】设椭圆 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 的两焦点为 F_{1},F_{2} ,若在椭圆上存在一点 P ，使 \overrightarrow{P F_{1}} ·\overrightarrow{P F_{2}}=0 ,求椭圆的离心率 \boldsymbol{\mathscr{e}} 的取值范围.

尝试与发现

题中的条件“ \overrightarrow{P F_{1}}*\overrightarrow{P F_{2}}=0 ”如何转化？

尝试解答]

母题探究

1.（变条件)本例中，把条件改为“点 P 与短轴端点重合，且△ {P F}_{1}F_{2} 为等边三角形”，求椭圆的离心率.

2.(变条件)本例中，把条件改为“点 P 与短轴端点重合，且△ \setminus P F_{1}F_{2} 为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率.

3.（变条件)本例中把条件“使 \overrightarrow{P F_{1}} ·PF=0"改为“使 \angle F_{1}P F_{2} 为钝角”，求离心率的，取值范围.

1.焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是冏）

2.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1 ，
0),离心率等于 (1)/(2) 则 C 的方程是 ( ）

3.若焦点在 y 轴上的椭圆 {(x^{2})/(m)}+{(y^{2})/(2)}=1 的离心率为 (1)/(2) 则 \mathbf{\Psi}_{m} 的值为

4.已知椭圆的两焦点为 F_{1},F_{2},A 为椭圆上一点，且 \overrightarrow{A F_{1}}*\overrightarrow{A F_{2}}=0 ， \angle A F_{2}F_{1}=60° ,则该椭圆的离心率为

5.已知椭圆C:100+64 (x^{2})/(100)+(y^{2})/(64)=1 ,设椭圆 C_{2} 与椭圆C_{1} 的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆 C_{2} 的焦点在 y 轴上.

反思领悟 求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 e={(c)/(a)} 求解.若已知 {\mathbf{α}}_{a,b} 或 b,c 可借助于 a^{2}=b^{2}+c^{2} 求出 \mid c\mid 或 \mathbf{\Delta}_{a} ,再代入公式 e{=}(c)/(a) 求解.

(2)方程法：若 a,c 的值不可求，则可根据条件建立 \scriptstyle a,b,c 的齐次关系式，借助于 \boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{b}^{2} +{c}^{2} ,转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 \boldsymbol{\mathscr{e}} 的方程或不等式，即可求得 \boldsymbol{\mathscr{e}} 的值或范围.

(1)求椭圆 C_{1} 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆 C_{2} 的方程，并研究其性质.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.椭圆的几何性质包括哪些？
2.根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本思路是什么？

第 2 课时 椭圆的标准方程及性质的应用

情境与问题

大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为 d ，圆的半径为 R ，则

d{>}R 时 \circleddash 直线与圆相离；d{=}R 时 \circleddash 直线与圆相切;d{<}R 时 \circleddash 直线与圆相交.那么直线与椭圆有几种位置关系呢？可以用上述方法来判定直线与椭圆的位置关系吗？

知识点1点与椭圆的位置关系

点 P(x_{0},y_{0}) 与椭圆 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 的位置
关系：
点 P 在椭圆上 \Leftrightarrow
点 P 在椭圆内部 \Leftrightarrow 7
点 P 在椭圆外部 \Leftrightarrow

体验1.若点 A(a,1) 在椭圆 (x^{2})/(4)+(y^{2})/(2)=1 的内部，则 a 的取值范围是

知识点2直线与椭圆的位置关系

直线 y=k x+m 与椭圆 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0)
的位置关系：
联立 \left\{\begin{array}{l l}{{y=k x+m,}}\\ {{\overline{{{x}}}^{2}+\overline{{{y}}}^{2}=1,}}\end{array}\right. 消去 y 得一个关于 x 的一
元二次方程.

体验2.直线 y=k x-k+1 与椭圆 (x^{2})/(9)+(y^{2})/(4) =1 的位置关系为 ( ）

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定体验3.直线 x+2y=m 与椭圆 (x^{2})/(4)+y^{2}=1 只有一个交点，则 \mathbf{\psi}_{m} 的值为

类型 1 直线与椭圆的位置关系

【例1】已知直线 l_{::y}{=}2x{+}m ,椭圆 C:(x^{2})/(4)+(y^{2})/(2) =1. 试问：当 \mathbf{\Psi}_{m} 取何值时，直线 \mathbf{\xi}_{l} 与椭圆 C ·

(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？

[尝试解答]

发现规律如何判断直线与椭圆的位置关系？

[跟进训练]

1.若直线 y=k x+1\left(k\in\mathbf{R}\right) 与椭圆 {(x^{2})/(5)}+{(y^{2})/(m)}=1 恒有公共点，求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围.

类型2弦长和中点弦问题

【例2】过椭圆 (x^{2})/(16)+(y^{2})/(4)=1 内一点 M(2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分.

(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长.

尝试与发现

求过点 M 的弦所在直线的方程，其关键是求出直线的斜率，如何求直线的斜率？

[尝试解答]

母题探究]

1.(变条件，变结论)本例中把条件改为“点M(2,1) 是直线 x+2y-4=0 被焦点在 x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率.

2.（变条件，变结论）把本例条件中“使弦被M 点平分"去掉，其他条件不变，求弦的中点 P 的轨迹方程.

反思领悟1.弦中点问题的解决方法

（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题 //1N步骤

① 设点——设出弦的两端点坐标；
② 代入——代入圆锥曲线方程；
③ 作差一—两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在运用根与系数的关系时，要注意运用条件 \Delta>0 在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.

2.弦长公式

设直线与椭圆交于 A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) 两点，则有
\begin{array}{r l}&{|A B|=√((x_{1)-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\\ &{=√((1+k^{2))(x_{1}-x_{2})^{2}}}\\ &{=√(1+k^{2)}*√((x_{1)+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\\ &{=√(\left(1+(1)/(k^{2))\right)(y_{1}-y_{2})^{2}}}\\ &{=√(1+(1)/(k^{2))}*√((y_{1)+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}*√((y_{1)+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}}\end{array}
线斜率).

提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.

类型3与椭圆有关的综合问题

【例3】 椭圆 E:(x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 经过点A(-2,0) ，且离心率为 (√(2))/(2)

(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P(4,0) 任作一条直线 \mathbf{\xi}_{l} 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. 在 x 轴上是否存在点Q ，使得 \angle P Q M+\angle P Q N=180°? 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

[尝试解答]

反思领悟 综合问题涉及的问题及解决方法

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的几何性质及其应用、直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力.此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.

[跟进训练]

2.椭圆的两个焦点坐标分别为 F_{1}(-√(3),0) 和 F2(√3,0),且椭圆过点(1,一)

(1)求椭圆的方程；

(2)过点 \left(-(6)/(5),0\right) 作不与 y 轴垂直的直线 \mathbf{\xi}_{l} 交该椭圆于 M,N 两点， A 为椭圆的左顶点，试判断 \angle M A N 的大小是否为定值，并说明理由.

1.若点 P(α,1) 在椭圆 (x^{2})/(2)+(y^{2})/(3)=1 的外部,则a的取值范围为 ( ）

2.已知椭圆 C:(x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 的左、右顶点分别为 A_{1},A_{2} ，且以线段 A_{1}A_{2} 为直径的圆与直线 b x-a y+2a b=0 相切，则 C 的离心率为 ( ）

3.设椭圆 (x^{2})/(4)+(y^{2})/(3)=1 的左、右焦点分别为 F_{1} ，F_{2} ,过焦点 F_{1} 的直线交椭圆于 M,N 两点，若△MNF2的内切圆的面积为π,则 S△MNF2\c=

4.椭圆 x^{2}+4y^{2}=16 被直线 y=(1)/(2)x+1 截得的弦长为

5.设椭圆 C:(x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 过点（0,4），离心率为 (3)/(5)

(1)求椭圆 c 的方程；

(2)求过点(3，0)且斜率为 (4)/(5) 的直线被 C 所截 线段的中点的坐标.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，你可以说出其解题步骤吗？2.解决椭圆的中点弦问题有哪些方法？

3.2 双曲线

3.2.1 双曲线的标准方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

做下面一个实验.

(1)取一条拉链，拉开一部分.

(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在 点 F_{1},F_{2} 上.

(3)把笔尖放在 M 处，随着拉链的拉开或 闭拢，画出一条曲线.

试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？

知识点1双曲线的定义

思考（1)在双曲线定义中，将“小于 \mid F_{1}F_{2} ”改为“等于 \vert F_{1}F_{2}\vert ”或“大于 \mid F_{1}F_{2} 「”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)在双曲线的定义中， F_{1},F_{2} 分别为双曲线的左、右焦点，若 \vert M F_{1}\vert-\vert M F_{2}\vert=2a （常数)，且 2a{<}|F_{1}F_{2}| ，则点 M 的轨迹是什么？

知识点2双曲线的标准方程

体验1.双曲线 {(x^{2})/(10)}-{(y^{2})/(2)}=1 的焦距为（ ）

体验2.已知方程 (x^{2})/(2+m)-(y^{2})/(m+1)=1 表示焦点在 _y 轴上的双曲线，则 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是

类型1 求双曲线的标准方程

【例1】【链接教材P97例1、例2】

根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a=4 ,经过点 A{\big(}1,-{(4{√(10)})/(3)}{\big)}
(2)与双曲线 (x^{2})/(16)-(y^{2})/(4)=1 有相同的焦点，且经过点 (3{√(2)},2) ；
(3)过点 P\Big(3,(15)/(4)\Big),Q\Big(-(16)/(3),5\Big) 且焦点在坐标轴上.

[尝试解答]

反思领悟1.求双曲线标准方程的步骤

(1)定位：确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
(2)定量：确定 \boldsymbol{a}^{2},\boldsymbol{b}^{2} 的数值，常由条件列方程组求解.

2.双曲线标准方程的两种求法

(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 \scriptstyle{a,b,c} ，再写出双曲线的标准方程.

(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程(x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)}=1 1或 (y^{2})/(a^{2)}-(x^{2})/(b^{2)}=1\left(a,b\right. 均为正数），然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为 m x^{2}+n y^{2}=1 的形式，注意标明条件 m n{<}0 费

[跟进训练]

1.根据下列条件，求双曲线的标准方程.

(1)以椭圆 (x^{2})/(8)+(y^{2})/(5)=1 的焦点为顶点，顶点为焦点；

(2)焦距为 2{√(6)} ，经过点 (-5,2) ,且焦点在 x 轴上；

(3)焦点为(0，一6），(0,6)，且过点 A(-5,6)

类型2双曲线的焦点三角形

【例2】 (1)在 \triangle A B C 中 * A(-5,0),B(5,0) ，点 C 在双曲线 (x^{2})/(16)-(y^{2})/(9)=1 1 上,则sin A-sin B( ）

(2)已知 F_{1},F_{2} 分别是双曲线 (x^{2})/(9)-(y^{2})/(16)=1 的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且\mid P F_{1}\mid\bullet\mid P F_{2}\mid=32. 试求 \triangle F_{1}P F_{2} 的面积.

尝试与发现

1. 对 sin A-sin B 如何运用？

2.如何把条件“ \mid P F_{1}\mid\bullet\mid P F_{2}\mid=32° ”与所求“ \triangle F_{1}P F_{2} 的面积”联系起来？

尝试解答]

母题探究

1.(变条件，变结论)若本例（2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点 P 到焦点 F_{1} 的距离为10.求点 P 到 F_{2} 的距离.

2.(变条件)若本例(2)条件“ \mid P F_{1}\mid\bullet\mid P F_{2}\mid\stackrel{\dagger}{_{±}} =32 ”改成“ |P F_{1}|:|P F_{2}|=2:5^{,} ，其他条件不变，求 \triangle F_{1}P F_{2} 的面积.

3.（变条件）本例（2）中，将条件“| P F_{1}\mid*\stackrel{i}{_{i}} \mid P F_{2}\mid=32^{\prime\prime} 改为“ \angle F_{1}P F_{2}=60°{}^{,} ,其他条件不变，求 \triangle F_{1}P F_{2} 的面积.

反思领悟 求双曲线中的焦点 \triangle P F_{1}F_{2} 面积的方法

(1) ① 根据双曲线的定义求出 \mid\mid P F_{1}\mid-\mid P F_{2}\mid\mid =2a ② 利用余弦定理表示出 \mid P F_{1}\mid,\mid P F_{2}\mid ，\mid F_{1}F_{2}\mid 之间满足的关系式； ③ 通过配方，用整体的思想求出 \mid P F_{1}\mid\bullet\mid P F_{2}\mid 的值； ④ 利用公式S_{\triangle P F_{1}F_{2}}=(1)/(2)x|P F_{1}|\ \bullet\ |P F_{2}|\ \bullet\ sin\angle F_{1}P F_{2} 求得面积.

(2)利用公式 S△PF,F2= S_{\triangle P F_{1}F_{2}}{=}(1)/(2)x|F_{1}F_{2}|x|y_{P}| 得面积.

类型3与双曲线有关的轨迹问题

【例3】 如图所示，在\triangle A B C 中，已知 |A B|= 4{√(2)} ,且三个内角 A,B,C

满足 2\sin\ A+\sin\ C=2\sin\ B ，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程，

[尝试解答]

反思领悟 求解与双曲线有关的点的轨迹问题的方法

(1)建立恰当的坐标系，列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意： ① 双曲线的焦点所在的坐标轴； ② 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.

跟进训练

2.如图所示,已知定圆 F_{1} x^{2} +y^{2}+10x+24=0 ，定圆F_{2}:x^{2}+y^{2}-10x+9=0 ，

动圆 M 与定圆 F_{1},F_{2} 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.

类型4双曲线在实际问题中的应用

【例4】【链接教材P98例3】某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的 P 处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路 P A ，

P B 运送到矩形灾民区ABCD中去，已知P A=100~{km},P B=150~{km},B C=60~{km}, \angle A P B=60° ,试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 P A 送药较近，而另一侧的点沿道路 P B 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程，

尝试解答]

反思领悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤

(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.
注意： ① 解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用；
② 实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.

[跟进训练］

3.如图， B 地在 A 地的正东方向 4\ km 处， C 地在B地的北偏东 {30}° 方向 2~km 处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到 A 地的距离比到 B 地的距离远 2\ km. 现要在河岸P Q 上选一处 M 建码头，向 B,C 两地转运货物.经测算，修建公路的费用是 a 万元/ km ，求修建这两条公路的总费用最低是多少.

1.以椭圆 (x^{2})/(3)+(y^{2})/(4)=1 的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是 ( ）

2.已知 \mathbf{\Gamma}_{m},n\in\mathbf{R} ，则“ m n{<}0^{{;}} ”是“方程 {(x^{2})/(m)}+{(y^{2})/(n)}=
1表示双曲线”的 ( >

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

3.已知双曲线方程为 2x^{2}-y^{2}=k ,焦距为6,则 k 的值为

4.已知 F_{1},F_{2} 分别为双曲线 c :x^{2}-y^{2}=1 的左、右焦点，点 P 在 C 上， \angle F_{1}P F_{2}=60° ，则\mid P F_{1}\mid\bullet\mid P F_{2}\mid 等于

5.已知双曲线与椭圆 (x^{2})/(27)+(y^{2})/(36)=1 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 的纵坐标为4,求双曲线方程.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.椭圆与双曲线的定义、方程及图形特征有什么不同？

2.如何用待定系数法求双曲线的方程？

3.2.2 双曲线的几何性质

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性.

你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？

知识点1双曲线的几何性质

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的 打“ x^{,,})

(1)双曲线 (x^{2})/(2)-(y^{2})/(4)=1 的焦点在 y 轴上.（ ）

(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大. (

(3)以 y=±2x 为渐近线的双曲线有2条. C

体验 2.双曲线 (x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(9)=1(a>0) 的一条渐近线方程为 y=(3)/(5)x x，则 a=

知识点2 等轴双曲线

(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等 轴双曲线.

(2)性质：在双曲线的标准方程 (x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)}=1 中，如果 a=b ,那么方程可化为 ，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于 2a ，且两条渐近线互相垂直.

体验3.若等轴双曲线的一个焦点是F_{1}(-6,0) ，则它的标准方程是 ( ）

知识点3直线与双曲线的位置关系

将 \scriptstyle y=k x+m 【 (x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)}=1 联立消去 y 得一元方程 (b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}-2a^{2}k m x-a^{2}(m^{2}+b^{2}) =0 ：

续表

类型1根据双曲线方程研究几何性质

【例1】【链接教材P105例1】

求双曲线 9y^{2}-4x^{2}=-36 的顶点坐标、焦点 坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线 方程.

[尝试解答］

_母题探究」

1.（变条件)把本例双曲线方程“9y2一4x2=一36”改为“ 9y^{2}-4x^{2}=36^{,} ，它的性质如何？

2.（变条件）把本例中方程“ 9y^{2}-4x^{2}=\ddag -36"改为“ 4x^{2}-9y^{2}=-4^{\prime\prime} ,它的性质又如何？

发现规律 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤是什么？

类型 2 类型2由几何性质求双曲线的标准方程

【例2】【链接教材P106例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为8,离心率为 (5)/(3) ；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)与双曲线 (x^{2})/(9)-(y^{2})/(16)=1 有共同的渐近线，且过点 (-3,2{√(3)}) ：

[尝试解答]

反思领悟1.由几何性质求双曲线标准方程的解题思路

由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 m x^{2}-n y^{2}=1(m n>0) ：

2.常见双曲线方程的设法

(1)渐近线为 y=±{(n)/(m)}x 的双曲线方程可设为 {(x^{2})/(m^{2)}}-{(y^{2})/(n^{2)}}=λ(λ{\neq}0,m{>}0,n{>}0) .如果两条渐近线的方程为 A x± B y=0 ,那么双曲线的方程可设为 A^{2}x^{2}-B^{2}y^{2}=m(m\neq 0,A{>}0,B{>}0) ：

(2)与双曲线 (x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)}=1 或 (y^{2})/(a^{2)}-(x^{2})/(b^{2)}=1(a> _{0,b>0}? 共渐近线的双曲线方程可设为 style{(x^{2})/(a^{2)}} -{(y^{2})/(b^{2)}}{=}λ 或 (y^{2})/(a^{2)}-(x^{2})/(b^{2)}=λ(λ\neq0).

(3)与双曲线 {(x^{2})/(a^{2)}}-{(y^{2})/(b^{2)}}=1(a>0,b>0) 离心率相等的双曲线系方程可设为 {(x^{2})/(a^{2)}}-{(y^{2})/(b^{2)}}=λ (λ>0) {(y^{2})/(a^{2)}}-{(x^{2})/(b^{2)}}=λ(λ>0) ,这是因为由离心率不能确定焦点位置.

(4)与椭圆 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 共焦点的双曲线系方程可设为 (x^{2})/(a^{2)-λ}-(y^{2})/(λ-b^{2)}=1(b^{2} <λ{<}a^{2}) ：

跟进训练

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12,离心率为 (5)/(4) ；
(2)焦点在 x 轴上,离心率为/2,且过点 _{(-5,3)} ；
(3)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=士x.

类型3求双曲线的离心率

【例3】（1)已知双曲线的一条渐近线方程为 y =2x ,则其离心率为

（2)在平面直角坐标系zOy中,若双曲线-(y^{2})/(b^{2)}{=}1(a{>}0,b{>}0) 的右焦点 F(c,0) 到一条渐近线的距离为 {(√(3))/(2)}c ,求其离心率的值.

尝试与发现

1.双曲线渐近线的斜率士 与其离心率有什么关系？
2.已知 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol{b}},\mathbf{\boldsymbol{c}} 的关系式，如何求双曲线的离心率？

尝试解答]

反思领悟 求双曲线离心率的方法

(1)若可求得 ^{a,c} ,则直接利用 e{=}(c)/(a) 得解.

(2)若已知 {\mathbf{α}}_{a,b} ,可直接利用 e={√(1+\left({(b)/(a))\right)^{2}}} 得解.(3)若得到的是关于 a,c 的齐次方程 \phi c^{2}+ q a c+r a^{2}=0(\ p,q,r 为常数，且 \ensuremath{\boldsymbol{p}}\neq0 )，则转化为关于 \boldsymbol{\mathscr{e}} 的方程 \displaystyle p e^{2}+q e+r=0 求解.

跟进训练]

2.过双曲线C: C:(x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)}=1(a>0,b>0) 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点P .若点 P 的横坐标为 2a ，则 C 的离心率为

类型4直线与双曲线的位置关系

【例4】已知双曲线 C \dot{*}* x^{2}-y^{2}=1 及直线 \iota_{:y} \O=k\O{x}-1. ：

(1)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 与双曲线 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；
(2)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 与双曲线 C 交于 A,B 两点， O 是坐标原点，且 \triangle A O B 的面积为 √(2) ，求实数k 的值.

[尝试解答]

反思领悟 直线与双曲线位置关系的判断方法

(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 a x^{2}+b x+c=0 的形式，在 a\neq0 的情况下考察方程的判别式.①\Delta>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点.
②\Delta=0 时，直线与双曲线只有一个公共点.③\Delta<0 时，直线与双曲线没有公共点.
当 \scriptstyle a=0 时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.
(2)数形结合思想的应用
① 直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
② 直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.

提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.

跟进训练]

.已知双曲线 {(x^{2})/(4)}-y^{2}=1 ,求过点A（3，－1)且被点 A 平分的弦 M N 所在直线的方程，

1.已知双曲线 {(x^{2})/(a^{2)}}-{(y^{2})/(5)}=1 的右焦点为（3,0）,则该双曲线的离心率等于 ( ）

2.若双曲线与椭圆 4x^{2}+y^{2}=64 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 （）

3.若直线 y=k\left({\boldsymbol{x}}-3\right) 与双曲线 {(x^{2})/(4)}-y^{2}=1 只有一个公共点，则 k 的一个取值为

4.过双曲线x2- x^{2}-{(y^{2})/(3)}=1 的左焦点 F_{1} ,作倾斜角 为 (π)/(6) 的直线与双曲线交于 A,B 两点，则 |A B|=\_{}*

5.直线 \mathbf{\xi}_{l} 与双曲线 x^{2}-4y^{2}=4 相交于 A,B 两点，若点 P(4,1) 为线段 _{A B} 的中点，则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方程是

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.双曲线有哪些几何性质？
2.如何由双曲线的方程求其渐近线的方程？如何由渐近线的方程求双曲线方程？
3.如何用待定系数法设出与双曲线 (x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)} =1 有相同渐近线的双曲线方程？
4.直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？

3.3 抛物线

3.3.1 抛物线的标准方程

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

我们已经学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线，今天我们来学习第三种圆锥曲线一—抛物线.

在物理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象.

现在来做一个实验.

如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于 A 到 \mathbf{\xi}_{l} 的距离 A C ，并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F ；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫作抛物线.

知识点1抛物线的定义

平面内到一个定点 F 和一条定直线 l\left(F\right) 不在 \mathbf{\xi}_{l} 上)的距离 的点的轨迹叫作抛物线.定点 F 叫作抛物线的 ，定直线 \mathbf{\xi}_{l} 叫作抛物线的

思考抛物线的定义中，若点 F 在直线l上，那么点的轨迹是什么？

知识点2抛物线的标准方程

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd^{,\d,} ，错误的打4 *_{\bigtriangledown}{\bigtriangledown^{\leftrightarrow}})

(1)y=4x^{2} 的焦点坐标为(1,0). (

(2)以(0,1)为焦点的抛物线的方程为 x^{2}= _{4y} C

体验2.抛物线 y=4a x^{2}\left(a\in\mathbf{R}\right. 且 a\ne0 ）的焦点坐标为

类型1求抛物线的标准方程

【例1】【链接教材P111例1、例2】

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)准线方程为 2y+4=0 (2)过点 (3,-4) ： (3)焦点在直线 x+3y+15=0 上.

[尝试解答]

反思领悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题

(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2)当抛物线的位置不确定时，可设方程为 y^{2}{=}m x(m{\neq}0) 或 x^{2}=n y(n{\neq}0) ，这样可以减少讨论次数；
(3)注意 \boldsymbol{\mathscr{p}} 与 style{(p)/(2)} 的几何意义。

[跟进训练]

1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：

(1)准线方程为=;
(2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点 (-3,-1) ；
(4)焦点为直线 3x-4y-12=0 与坐标轴的交点.

类型2抛物线定义的应用

【例2】已知抛物线 y^{2}=4x 的焦点是 F ，点 P 是抛物线上的动点，对于定点A（4，2），求\mid P A\mid+\mid P F\mid 的最小值，并求出取最小值时的 P 点坐标.

[思路探究］利用抛物线的定义，把 \mid P F\mid 转化成点 P 到准线的距离.

[尝试解答]

反思领悟 抛物线定义的两种应用

(1)实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.

(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.

跟进训练]

2.已知点 P 是抛物线 y^{2}=2x 上的一个动点，求点 P 到点 A(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值.

类型3抛物线的实际应用

【例3】河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高 米，问：水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？

尝试解答］

反思领悟 求解抛物线实际应用题的步骤

1.准线与 x 轴垂直,且经过点 (1,-{√(2)} )的抛物线的标准方程是 Y >

A. y^{2}=-2x B. y^{2}=2x
C. x^{2}=2y D.{\ensuremath{x}}^{2}=-2y

2.过点 A(3,0) 且与 y 轴相切的圆的圆心轨迹 为 Y >

A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线

3.已知点 A(1,{√(5)}) 在抛物线 C:y^{2}=2p x 上，则点 A 到 C 的准线的距离为

4.如图是抛物线形拱桥，当水面在 \mathbf{\xi}_{l} 时，拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后，水面宽 米.

5.若抛物线 y^{2}=-2p x(p>0) 上有一点 M ,其 横坐标为一9,它到焦点的距离为10,求点 M 的坐标.

跟进训练]

3.一辆卡车高 3~m~ ，宽 1.6~m~ ，欲 0通过断面为抛物线形的隧道，A D B如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍.若拱口宽为 arm{m} ,求能使卡车通过的a 的最小整数值.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.为了避免讨论，如何灵活地设抛物线的标准方程？2.根据抛物线的定义，焦半径公式是什么？

3.3.2 抛物线的几何性质

[必备知识·情境导学探新知]

情境与问题

一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，水面上漂浮一个宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问：木箱能否通过该拱桥？

为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质.

知识点1抛物线的几何性质

体验）1.思考辨析（正确的打“ \surd ”，错误的打\dotsx\dots)

(1)抛物线是无中心的圆锥曲线. (

(2)抛物线 y=-{(1)/(8)}x^{2} 的准线方程为 \scriptstyle x={(1)/(32)} ·（ ）

(3)过抛物线 y^{2}=2p x 焦点且垂直于对称轴 的弦长为 2\phi

体验2.顶点在原点，对称轴为 _y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是）

A. x^{2}=16y B.{x}^{2}=8y
C. x^{2}=±{8y} D,x^{2}=±16y

知识点2 通径

通过抛物线的焦点且垂直于 x 轴的直线与抛物线交于点 和 .线段M_{1}M_{2} 叫作抛物线的通径，它的长为

知识点3 焦点弦

直线过抛物线 y^{2}{=}2p x(p{>}0) 的焦点 F ，与抛物线交于 A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) 两点，由抛物线的定义知， |A F|=x_{1}+{(\boldsymbol{p})/(2)} ， \mid B F\mid=x_{2}+ ,故|AB|= |A B|=\_

体验3.过抛物线 y^{2}=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) 两点，若 x_{1}+x_{2} =6 ，则 |A B|= ( 冏）

A.10 B.8 C.6 D. 4

知识点4直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系：和

设直线 y=k x+m 与抛物线 y^{2}{=}2p x(p{>}0) 相交于 A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) 两点，将 y=k x +m 代人 {\boldsymbol{y}}^{2}=2\phi{\boldsymbol{x}} ,消去 _y 并化简，得 k^{2}x^{2}+ 2(m k-p)x+m^{2}=0.

①k=0 时，直线与抛物线只有 交点；

类型1抛物线性质的应用

【例1】（1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴且与圆 x^{2}+y^{2}=4 相交的公共弦长等于 2{√(3)} ，则抛物线的方程为

(2)如图,过抛物线 y^{2}=2p x (\phi>0) 的焦点 F 的直线依 次交抛物线及准线于点 A ， B,C, 若 |B C|=2|B F| ，且 |A F|=4 ,求抛物线的方程.

[尝试解答]

②k\neq0 时， \Delta>0\Longleftrightarrow 直线与抛物线 \iff 有 个公共点.
\varDelta=0\Longleftrightarrow 直线与抛物线 \Leftrightarrow 只有
个公共点.
\Delta{<}0{\leftrightarrow} 直线与抛物线 \Leftrightarrow
公共点.

思考直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？

发现规律 用待定系数法求抛物线方程的步骤是什么？

[跟进训练]

1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y^{2}{=}2p x(\ p{>}0) 上，求这个正三角形的边长.

类型2直线与抛物线的位置关系

【例2】（1)过定点 P(0,1) 作与抛物线 y^{2}=2x 只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线 l:y=(a+1)x-1 与曲线 C:y^{2}= a x(a\neq0) 恰好有一个公共点，试求实数 a 的取值集合.

[尝试解答]

反思领悟 直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数.

(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种 情形：
① 直线与抛物线的对称轴重合或平行； ② 直 线与抛物线相切.

[跟进训练]

2.已知过抛物线 y^{2}=2p x(\ p>0) 的焦点，斜率为 2{√(2)} 的直线交抛物线于 A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{3}) y_{2} )( x_{1}<x_{2}) 两点，且 |A B|=9 ：

(1)求该抛物线的方程；

(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 \overrightarrow{O C} ={\overrightarrow{O A}}+λ{\overrightarrow{O B}} ，求 λ 的值.

类型3中点弦及弦长公式

【例3】过点 Q(4,1) 作抛物线 y^{2}=8x 的弦\vert A B ，恰被点 Q 所平分，求 _{A B} 所在直线的方程.

[尝试解答]

反思领悟“中点弦”问题解题方法

[跟进训练]

3.已知抛物线 y^{2}=2p x(p>0) ,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 A,B 两点，若线段\vert A B 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 C ）

A. x=1 B,x=-1 C. \scriptstyle x=2 D.x=-2

类型4抛物线的综合应用

【例4】如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点 P(1,2) ，A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) 均在抛物线上.

(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当 P A 与 P B 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线 A B 的斜率为定值.

尝试与发现

1.根据对称轴，应该如何设抛物线的标准方程？

2.怎样理解“ P A 与 P B 的倾斜角互补”？

尝试解答］

母题探究]

1.（变条件，变结论）若本例题改为：如图所示，已知直线 l\colon y=2x-4 交抛物线 y^{2}=4x 于 A,B 两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点 P ，使 \triangle P A B 的面积最大，并求出这个最大面积.

2.（变条件，变结论）若本例改为“抛物线方程为y^{2}=x ，且过点 P (3，^{-1)} 的直线与抛物线

C 交于 M,N 两个不同的点（均不与点A(1,1) 重合），设直线 A M,A N 的斜率分别为 k_{1},k_{2}^{\prime} ，求证： k_{1}* k_{2} 为定值.

反思领悟 应用抛物线性质解题的常用技巧

(1)抛物线的中点弦问题用“点差法”较简便.(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
(3)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用“特值探路法”找定点、定值.

3.设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y^{2}=4x 的焦点， A 是抛物线上一点,若 {\overrightarrow{O A}}*{\overrightarrow{A F}}=-4 ,则点 A 的坐标是 ）

4.已知 A B 是过抛物线 2x^{2}=y 的焦点的弦，若 \mid A B\mid=4 ，则 _{A B} 的中点的纵坐标是

5.已知点 P(1,m) 是抛物线 C:y^{2}=2p x 上的点， F 为抛物线的焦点，且 |P F|=2 ，直线 \iota_{:\boldsymbol{y}} =k(x-1) 与抛物线 C 相交于不同的两点A,B ：

(1)求抛物线 C 的方程；

圆锥曲线的光学性质

你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而且这些光学性质都与它们的焦点有关.

图1

从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦点，如图1所示.

从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图2所示.

图2

图3

从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴，如图3所示.

具体而言，在图3中， F 为抛物线的焦点，设 M 是抛物线上一点， A M 是抛物线的切线，(2)若 |A B|=8 ，求 k 的值.

课堂小结

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1.抛物线有哪些几何性质？
2.解决抛物线的中点弦问题有哪些方法？

M B\bot M A ，设光线 F M 在 M 处反射后的光线是 M C （即 \angle F M B{=}\angle B M C) ，则可以证明， M C 是平行于 x 轴的.

事实上，为了证明这个结论，我们只需证明直线MF的倾斜角是 \ A M 的倾斜角的两倍即可，设抛物线的方程为 y^{2}=2p x ，且M(x_{0},y_{0}) ，则可以算得直线 \ A M 的斜率为,直线 FM的斜率为 ，根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论.

圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用.例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），2016年9月25日落成启用的“中国天眼”500~m~ 口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面,如图4所示.

图4

类似的应用还有很多，感兴趣的同学请利用网络进行搜索吧！

提示请完成《课时分层作业（十九）》见第219页

章末综合提升

巩固层·知识整合

提升层·题型探究

类型1圆锥曲线的定义及应用

“回归定义”解题的三点应用

应用1：求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；

应用2：涉及椭圆、双曲线的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用3：求与抛物线有关的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决，

提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.

【例1】（1）已知动点 M 的坐标满足方程5~{√(x^{2)+y^{2}}}=\mid3x+4y-12\mid ，则动点 M 的轨迹是 ( ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 (2)双曲线 16x^{2}-9y^{2}=144 的左、右两焦点 分别为 F_{1},F_{2} ，点 P 在双曲线上，且 \mid P F_{1}\mid · \mid P F_{2}\mid=64 ，则 \angle F_{1}P F_{2}=

[尝试解答］

类型 2 圆锥曲线的方程

求圆锥曲线方程的一般步骤

求曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。

(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
(2)定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪条坐标轴上时,可设方程为 m x^{2}+n y^{2}= 1(m{>}0,n{>}0) ：

(3)定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

【例2】（1)已知双曲线 {(x^{2})/(a^{2)}}-{(y^{2})/(b^{2)}}=1(a>0,b> 0)的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d_{~1~} 和 d_{2} ，且 d_{1}+d_{2}=6 ,则双曲线的方程为 （）

(2)已知直线 y=-(1)/(2)x+2 α+2和椭圆 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}= 1(a>b>0) 交于 A,B 两点，且 a=2b. 若 |A B|=2{√(5)} ,求椭圆的方程.

[尝试解答]

类型3圆锥曲线的性质及应用

求解离心率的三种方法

(1)定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线)的焦点在 x 轴上还是y 轴上都有关系式 a^{2}-b^{2}=c^{2}(a^{2}+b^{2}=c^{2})\qquad 以及 e{=}(c)/(a) ,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数 a 与 \boldsymbol{c} 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.

【例3】（1)已知 F_{1},F_{2} 是椭圆 C:(x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1 I style? a>b>0? 的左、右焦点， A 是椭圆 C 的左顶点,点 P 在过A 且斜率为 的直线上，\triangle P F_{1}F_{2} 为等腰三角形， \angle F_{1}F_{2}P=120° ，则C 的离心率为 ( ）

(2)若双曲线 C:(x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)}=1(a>0,b>0) 的一条渐近线被圆 (x-2)^{2}+y^{2}=4 所截得的弦长为2,则 C 的离心率为 ( ）

A.2 B.{√(3)}\qquad\subset.{√(2)}\qquadD.{(2{√(3)})/(3)}

[尝试解答]

类型4直线与圆锥曲线的位置关系

1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)证明代数式为定值.依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代人所求代数式，化简得出定值.
(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形.
(3)求某线段长度为定值.利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可.

2.圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为=k x+b ,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况人手，先探求定点，再证明与变量无关.

(2)若直线 \mathbf{\xi}_{l} 与椭圆交于两点 M,N(M,N 不同于点 A )，若 {\overrightarrow{A M}}*{\overrightarrow{A N}}=0 ,求证：直线 \mathbf{\xi}_{l} 过定点，并求出定点坐标.

[尝试解答]

【例4】 设椭圆 C:(x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) ，右顶点是 A(2,0) ，离心率为 (1)/(2)

(1)求椭圆 C 的方程；

[尝试解答]

第4章

数列

4.1 数列

第1课时 数列的概念及简单表示法

情境与问题

1.一尺之捶，日取其半，万世不竭.(单位:尺)

2 X 16

2.三角形数

3.正方形数

那么，这些数有什么规律，与它所表示图形的序号有什么关系？

知识点1数列的概念及一般形式

思考）1.（1)数列的项和它的项数是否相同？

(2)数列1,2,3,4,5,数列5,4,3,2,1有什么区别？